Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Векторний аналіз



План:


Введення

Векторний аналіз - розділ математики, що поширює методи математичного аналізу на вектори у двох або більше вимірах.


1. Сфера застосування

Об'єктами програми векторного аналізу є:

Найбільше застосування векторний аналіз знаходить в фізики і інженерії. Основні переваги векторних методів перед традиційними координатними:

  1. Компактність. Одне векторне рівняння об'єднує кілька координатних, і його дослідження найчастіше можна проводити безпосередньо, не замінюючи вектори на їх координатну запис.
  2. Інваріантність. Векторне рівняння не залежить від системи координат і без праці переводиться в координатну запис у будь-якій зручній системі координат.
  3. Наочність. Диференціальні оператори векторного аналізу і зв'язують їх співвідношення зазвичай мають просте і наочне фізичне тлумачення.

2. Векторні оператори

Найбільш часто вживані векторні оператори:

Оператор Позначення Опис Тип
Ротор \ Operatorname {rot} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F} Характеризує вихрову складову векторного поля. Вектор \ Rightarrow вектор
Дивергенція \ Operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} Характеризує расходимость, джерела і стоки векторного поля. Вектор \ Rightarrow скаляр
Градієнт \ Operatorname {grad} (f) = \ nabla f Визначає напрямок і швидкість якнайшвидшого зростання скалярного поля. Скаляр \ Rightarrow вектор
Лапласіан \ Delta f = \ nabla ^ 2 f = \ nabla \ cdot \ nabla f Поєднання дивергенції з градієнтом. Скаляр \ Rightarrow скаляр

3. Основні співвідношення

Наведемо зведення практично важливих теорем багатовимірного аналізу в векторної записи.

Теорема Запис Пояснення
Теорема про градієнті \ Varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int_L \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r}. Криволінійний інтеграл від градієнта скалярного поля дорівнює різниці значень поля в граничних точках кривої.
Теорема Гріна \ Int \ limits_ {C} L \, dx + M \, dy = \ iint \ limits_ {D} \ left (\ frac {\ partial M} {\ partial x} - \ frac {\ partial L} {\ partial y} \ right) \, dA Криволінійний інтеграл по замкненому плоскому контуру може бути перетворений в подвійний інтеграл по області, обмеженої контуром.
Теорема Стокса \ Int \ limits_ {\ Sigma} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} = \ oint \ limits_ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} , Поверхневий інтеграл від ротора векторного поля дорівнює криволінійній інтегралу по межі цієї поверхні.
Теорема Остроградського - Гауса \ Iiint \ limits_V \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) dV = \ iint \ limits_ {\ part V} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}, Об'ємний інтеграл від дивергенції векторного поля дорівнює потоку цього поля через граничну поверхню.

4. Історичний нарис

Першим вектори ввів У. Гамільтон у зв'язку з відкриттям у 1843 р. кватерніонів (як їх тривимірну уявну частину). У двох монографіях (1853, 1866 посмертно) Гамільтон ввів поняття вектора і вектор-функції, описав диференціальний оператор \ Nabla (" Набла ", 1846) і багато інших поняття векторного аналізу. Він визначив як операцій над новими об'єктами скалярний і векторне твори, які для кватернионов виходили чисто алгебраїчно (при звичайному їх примноження). Гамільтон ввів також поняття коллинеарности і компланарності векторів, орієнтації векторної трійки і ін

Компактність і інваріантність векторної символіки, використаної в перших працях Максвелла (1873), зацікавили фізиків; незабаром вийшли "Елементи векторного аналізу" Гіббса (1880-і роки), а потім Хевісайд ( 1903) надав векторному обчисленню сучасний вигляд. Примітно, що вже в роботах Максвелла кватерніонів термінологія майже відсутній, фактично замінена на чисто векторну. Термін "векторний аналіз" запропонував Гіббс (1879) у своєму курсі лекцій.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Векторний простір
Векторний потенціал
Векторний процесор
Векторний простір
Векторний добуток
Нормоване векторний простір
Топологічний векторний простір
Нормоване векторний простір
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru