Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Векторний добуток



План:


Введення

Векторне твір у тривимірному просторі.

Векторне твір - це псевдовектори, перпендикулярний площині, побудованої за двома співмножником, що є результатом бінарної операції "векторне множення" над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Твір не є ні комутативних, ні асоціативним (воно є антикоммутативність) і відрізняється від скалярного твори векторів. У багатьох задачах інженерії і фізики потрібно мати можливість будувати вектор, перпендикулярний двох наявних - векторний добуток надає цю можливість. Векторний добуток корисно для "виміру" перпендикулярності векторів - довжина векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх довжин, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні.

Векторний добуток визначено тільки в тривимірному і семімерном просторі. Результат векторного твори, як і скалярного, залежить від метрики Евклидова простору.

На відміну від формули для обчислення по координатах векторів скалярного твори в тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного твору залежить від орієнтації прямокутної системи координат або, інакше, її " хіральності ".


1. Визначення

Векторним добутком вектора \ Mathbf a на вектор \ Mathbf b в просторі \ R ^ 3 називається вектор \ Mathbf c , Що задовольняє наступним вимогам:

  • довжина вектора \ Mathbf c дорівнює добутку довжин векторів \ Mathbf a і \ Mathbf b на синус кута \ Varphi ; Між ними
\ Left | \ mathbf c \ right | = \ left | \ mathbf a \ right | \ left | \ mathbf b \ right | \ sin \ varphi
  • вектор \ Mathbf cортогонален кожному з векторів \ Mathbf a і \ Mathbf b
  • вектор \ Mathbf c спрямований так, що трійка векторів \ Mathbf {abc} є правою.
  • в разі простору \ R ^ 7 потрібно асоціативність трійки векторів \ Mathbf {a, b, c} .

Позначення:

\ Mathbf c = \ left [\ mathbf a \ mathbf b \ right] = \ left [\ mathbf a, \; \ mathbf b \ right] = \ mathbf a \ times \ mathbf b

У літературі [1] визначення векторного твору може даватися по-різному. Наприклад, як визначення дається описане далі вираз векторного твори в координатах в правій і лівій прямокутній системі координат. А далі виводиться дане вище визначення, а також визначення правої і лівої трійки векторів.

Також для початкового визначення може бути взятий набір алгебраїчних властивостей векторного твори, а з них виводитися інше.


2. Праві та ліві трійки векторів у тривимірному просторі

Знаходження напрями векторного твору за допомогою правила правої руки

Розглянемо впорядковану трійку некомпланарних векторів \ Mathbf {a, b, c} в тривимірному просторі. Сумісний початку цих векторів в точці \ Mathbf A (Тобто виберемо довільно в просторі точку \ Mathbf A і паралельно перенесемо кожен вектор так, щоб його початок збігся з точкою \ Mathbf A ). Кінці векторів, суміщених началами в точці \ Mathbf A , Не лежать на одній прямій, оскільки вектори некомпланарних. Розглянемо площину \ Mathbf P - Єдину площину, що проходить через кінці векторів, суміщених началами в точці \ Mathbf A . Тоді можна в площині \ Mathbf P провести через кінці векторів \ Mathbf {a, b, c} , Суміщених началами в точці \ Mathbf A , Єдину окружність і з'ясувати напрямок обходу трьох точок на колі, дивлячись на неї з однією з сторін від площини.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів \ Mathbf {a, b, c} в тривимірному просторі називається правої, якщо спостерігачу, що знаходиться по одну сторону з точкою \ Mathbf A від площини \ Mathbf P , Обхід кінців наведених у загальне початок \ Mathbf A векторів \ Mathbf {a, b, c} у зазначеному порядку здається совершающимся в площині \ Mathbf Pза годинниковою стрілкою. У цьому випадку спостерігачеві, що знаходиться з іншого боку від площини \ Mathbf P , Обхід кінців таких векторів буде здаватися совершающимся проти годинникової стрілки.

B іншому випадку \ Mathbf {a, b, c} - Ліва трійка.

Інше визначення пов'язане з правого рукою людини (див. малюнок), звідки і береться назву.

Усі праві між собою (і ліві між собою) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Зауважимо, що для двох даних векторів розглянутого простору визначення "правої" і "лівої" трійки векторів не залежать від хіральності даної системи координат, більше того, вони взагалі не вимагають завдання в даному просторі будь-якої системи координат, як і не вимагає цього саме векторное твір.


3. Властивості

3.1. Геометричні властивості векторного добутку

Малюнок 1: Площа паралелограма дорівнює векторному добутку.
Рисунок 2: Обсяг паралелепіпеда при використанні векторного і скалярного твори векторів; пунктирні лінії показують проекції вектора c на a b і вектора a на b c, першим кроком є знаходження скалярних творів.
  • Необхідною і достатньою умовою коллинеарности двох векторів є рівність нулю їх векторного добутку.
  • Модуль векторного добутку [\ Mathbf {ab}] дорівнює площі S паралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах \ Mathbf a і \ Mathbf b (Див. Рисунок 1)
  • Якщо \ Mathbf e - одиничний вектор, ортогональний векторам \ Mathbf a і \ Mathbf b і вибраний так, що трійка \ Mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf e - Права, а S - Площа паралелограма, побудованого на них (приведені до спільного початку), то для векторного твори справедлива формула:
[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = S \, \ mathbf e
  • Якщо \ Mathbf c - Будь-який вектор, π - Будь-яка площина, яка містить цей вектор, \ Mathbf e - Одиничний вектор, що лежить в площині π і ортогональний до \ Mathbf c , \ Mathbf g - Одиничний вектор, ортогональний до площини π і спрямований так, що трійка векторів \ Mathbf {ecg} є правою, то для будь-якого лежить в площині π вектора \ Mathbf a справедлива формула
\ Left [\ mathbf a, \; \ mathbf c \ right] = \ mathrm {Pr} _ {\ mathbf e} \, \ mathbf a \ left | \ mathbf c \ right | \ mathbf g.
  • При використанні векторного і скалярного творів можна вирахувати обсяг паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах a, b і c (див. Рисунок 2). Таке твір трьох векторів називається змішаним.
V = | \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) |.

На малюнку показано, що цей обсяг може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні "скалярного" і "векторного" творів місцями:

V = \ mathbf {a \ times b \ cdot c} = \ mathbf {a \ cdot b \ times c} \.

Величина векторного твору залежить від синуса кута між початковими векторами, тому векторне твір може сприйматися як ступінь "перпендикулярності" векторів також, як і скалярний твір може розглядатися як ступінь "паралельності". Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (одиничного вектору), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0, якщо вектори паралельні.


3.2. Алгебраїчні властивості векторного добутку

Подання Опис
\ Left [\ mathbf {a}, \; \ mathbf b \ right] = - \ left [\ mathbf b, \ mathbf a \ right] властивість антикоммутативність
\ Left [\ left (\ alpha \ mathbf a \ right), \; \ mathbf b \ right] = \ left [\ mathbf a, \; \ left (\ alpha \ mathbf b \ right) \ right] = \ alpha \ left [\ mathbf a, \; \ mathbf b \ right] властивість асоціативності щодо множення на скаляр
\ Left [\ left (\ mathbf a + \ mathbf b \ right), \; \ mathbf c \ right] = \ left [\ mathbf a, \; \ mathbf c \ right] + \ left [\ mathbf b, \ ; \ mathbf c \ right] властивість дистрибутивности по додаванню
\ Left [\ left [\ mathbf a, \; \ mathbf b \ right], \; \ mathbf c \ right] + \ left [\ left [\ mathbf b, \; \ mathbf c \ right], \; \ mathbf a \ right] + \ left [\ left [\ mathbf c, \ mathbf a \ right], \; \ mathbf b \ right] = 0 тотожність Якобі, виконується в \ R ^ 3 і порушується в \ R ^ 7
\ Left [\ mathbf a, \; \ mathbf a \ right] = \ mathbf 0
\ Left [\ mathbf a, \; [\ mathbf b, \; \ mathbf c] \ right] ~ = ~ \ mathbf b (\ mathbf a, \; \ mathbf c) - \ mathbf c (\ mathbf a, \ ; \ mathbf b) формула "БАЦ мінус ЦАБ", тотожність Лагранжа
| [\ Mathbf a, \, \ mathbf b] | ^ 2 + (\ mathbf a, \, \ mathbf b) ^ 2 = | \ mathbf a | ^ 2 | \ mathbf b | ^ 2 Це окремий випадок мультипликативности | \ Mathbf {vw} | = | \ mathbf {v} | | \ mathbf {w} | норми кватерніонів
([\ Mathbf a, \, \ mathbf b], \, \ mathbf c) = (\ mathbf a, \, [\ mathbf b, \, \ mathbf c]) значення цього виразу називають змішаним твором векторів a , b , c і позначають (A, \, b, \, c) або \ Langle a, \, b, \, c \ rangle

4. Вираз для векторного твори в декартових координатах

Якщо два вектори \ Mathbf a і \ Mathbf b визначені своїми прямокутними декартовими координатами, а точніше кажучи - представлені в ортонормированном базисі

\ Mathbf a = (a_x, \; a_y, \; a_z)
\ Mathbf b = (b_x, \; b_y, \; b_z)

а система координат права, то їх векторний добуток має вигляд

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = (a_y b_z - a_z b_y, \; a_z b_x - a_x b_z, \; a_x b_y - a_y b_x).

Для запам'ятовування цієї формули зручно використовувати визначник :

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = \ begin {vmatrix} \ mathbf i & \ mathbf j & \ mathbf k \ \ a_x & a_y & a_z \ \ b_x & b_y & b_z \ end {vmatrix}

або

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] _i = \ sum_ {j, k = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {ijk} a_j b_k,

де ε i j k - символ Леві-Чівіта.

Якщо система координат ліва, то їх векторний добуток має вигляд

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = (a_z b_y - a_y b_z, \; a_x b_z - a_z b_x, \; a_y b_x - a_x b_y).

Для запам'ятовування, аналогічно:

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = - \ begin {vmatrix} \ mathbf i & \ mathbf j & \ mathbf k \ \ a_x & a_y & a_z \ \ b_x & b_y & b_z \ end {vmatrix}

або

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] _i = - \ sum_ {j, k = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {ijk} a_j b_k.

Формули для лівої системи координат можна легко отримати з формул правої системи координат, записавши ті ж вектори \ Mathbf a і \ Mathbf b в допоміжній правої системі координат ( \ Mathbf i '= \ mathbf i, \ mathbf j' = \ mathbf j, \ mathbf k '= - \ mathbf k ):

[\ Mathbf a, \; \ mathbf b] = \ begin {vmatrix} \ mathbf i '& \ mathbf j' & \ mathbf k '\ \ a'_x & a'_y & a'_z \ \ b'_x & b'_y & b'_z \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ mathbf i & \ mathbf j & - \ mathbf k \ \ a_x & a_y &-a_z \ \ b_x & b_y &-b_z \ end {vmatrix } = - \ begin {vmatrix} \ mathbf i & \ mathbf j & \ mathbf k \ \ a_x & a_y & a_z \ \ b_x & b_y & b_z \ end {vmatrix}.

5. Узагальнення

5.1. Кватерніони

Векторне твір можна також записати в кватерніонів формі, тому літери \ Mathbf i , \ Mathbf j , \ Mathbf k - Стандартні позначення для ортов в \ R ^ 3 : Вони розглядаються як уявні кватерніони.

Зауважимо, що співвідношення через векторний добуток між \ Mathbf i , \ Mathbf j і \ Mathbf k відповідають правилам множення для кватернионов i , j і k . Якщо уявити вектор (A_1, \; a_2, \; a_3) як кватерніони a 1 i + a 2 j + a 3 k , То векторний добуток двох векторів виходить взяттям векторної частини від твору відповідних їм кватерніонів. Скалярний добуток цих векторів протилежно скалярной частини твори цих кватерніонів.


5.2. Перетворення до матричної формі

Векторний добуток двох векторів можна записати як добуток кососімметріческой матриці і вектора:

\ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = [\ mathbf {a}] _ {\ times} \ mathbf {b} = \ begin {bmatrix} \, 0 & \!-A_3 & \, \, a_2 \ \ \, \, a_3 & 0 & \!-a_1 \ \-a_2 & \, \, a_1 & \, 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} b_1 \ \ b_2 \ \ b_3 \ end {bmatrix}
\ Mathbf {b} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^ T [\ mathbf {a}] _ {\ times} =

де

[\ Mathbf {a}] _ {\ times} \ stackrel {\ rm def} {=} \ begin {bmatrix} \, \, 0 & \!-A_3 & \, \, \, a_2 \ \ \, \, \ , a_3 & 0 & \!-a_1 \ \ \!-a_2 & \, \, a_1 & \, \, 0 \ end {bmatrix}

Нехай \ Mathbf {a} дорівнює векторному добутку:

\ Mathbf {a} = \ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}

тоді

[\ Mathbf {a}] _ {\ times} = (\ mathbf {c} \ mathbf {d} ^ T) ^ T - \ mathbf {c} \ mathbf {d} ^ T.

Така форма запису дозволяє узагальнити векторний твір на вищі розмірності, представляючи псевдовектори ( кутова швидкість, індукція і т. п.) як такі кососімметрічние матриці. Ясно, що такі фізичні величини будуть мати n (n - 1) / 2 незалежних компонент в n -Мірному просторі. У тривимірному просторі виходять три незалежні компоненти, тому такі величини можна представляти як вектори цього простору.

З такою формою запису також часто простіше працювати (наприклад, в en: epipolar geometry).

Із загальних властивостей векторного добутку випливає, що

[\ Mathbf {a}] _ {\ times} \, \ mathbf {a} = \ mathbf {0} і \ Mathbf {a} ^ {T} \, [\ mathbf {a}] _ {\ times} = \ mathbf {0}

а так як [\ Mathbf {a}] _ {\ times} кососімметрічна, то

\ Mathbf {b} ^ {T} \, [\ mathbf {a}] _ {\ times} \, \ mathbf {b} = 0.

У такій формі запису легко доводиться тотожність Лагранжа (правило "бац мінус ЦАБ").


5.3. Поширення на матриці

У 3-хмерном випадку можна визначити векторний добуток матриць і твір матриці на вектор. Це робить очевидним зазначений вище ізоморфізм і дозволяє спростити багато викладення. Уявімо матрицю A як стовпець векторів, тоді

\ Begin {bmatrix} \ mathbf a_1 \ \ \ mathbf a_2 \ \ \ mathbf a_3 \ end {bmatrix} \ times \ mathbf b = \ begin {bmatrix} \ mathbf a_1 \ times \ mathbf b \ \ \ mathbf a_2 \ times \ mathbf b \ \ \ mathbf a_3 \ times \ mathbf b \ end {bmatrix}
\ Begin {bmatrix} \ mathbf a_1 \ \ \ mathbf a_2 \ \ \ mathbf a_3 \ end {bmatrix} \ cdot \ mathbf b = \ begin {bmatrix} \ mathbf a_1 \ cdot \ mathbf b \ \ \ mathbf a_2 \ cdot \ mathbf b \ \ \ mathbf a_3 \ cdot \ mathbf b \ end {bmatrix}

Множення матриці на вектор зліва визначається аналогічно, якщо уявити A як рядок векторів. Транспонування матриці, відповідно, переводить рядок векторів у стовпець векторів, і навпаки. Легко узагальнити багато співвідношення для векторів на співвідношення для векторів і матриць, наприклад ( A - Матриця, \ Mathbf x , \ Mathbf y - Вектори):

A \ cdot (\ mathbf x \ times \ mathbf y) = (A \ times \ mathbf x) \ cdot \ mathbf y
A \ times (\ mathbf x \ times \ mathbf y) = \ mathbf x (A \ cdot \ mathbf y) - \ mathbf y (A \ cdot \ mathbf x)

Після цього можна змінити форму запису для векторного твори:

\ Mathbf x \ times \ mathbf y = E \ cdot (\ mathbf x \ times \ mathbf y) = (E \ times \ mathbf x) \ cdot \ mathbf y

E - Одинична матриця. Звідси очевидні існування і вигляд матриці, що відповідає векторному множенню на вектор зліва. Аналогічно можна отримати вираз для матриці множення на вектор справа. Поширюючи операції над векторами на матриці покомпонентно, представляючи їх як "вектори з векторів", стандартні співвідношення для векторів легко узагальнюються на матриці. Наприклад, теорема Стокса в \ R ^ 3 набуде вигляду:

\ Int \ limits_ {\ Sigma} \ operatorname {rot} \, \ mathbf {A ^ T} \, \ mathbf {d \ Sigma} = \ int \ limits_ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {A} \ cdot \ , d \ mathbf {r},

де ротор матриці A обчислюється як векторний добуток матриці A на оператор Гамільтона зліва. У цих позначеннях дуже легко довести, наприклад, такі форми теореми Стокса:

\ Int \ limits_ {\ Sigma} \ operatorname {grad} \, u \ times \, \ mathbf {d \ Sigma} = \ int \ limits_ {\ partial \ Sigma} u \, d \ mathbf {r},
\ Int \ limits_ {\ Sigma} \ left [\ mathbf {d \ Sigma}; \ left [\ nabla; \ mathbf a \ right] \ right] = \ int \ limits_ {\ partial \ Sigma} \ mathbf a \ times d \ mathbf {r}.

5.4. Розмірності, не рівні трьох

Нехай D - розмірність простору.

Векторне твір, що володіє всіма властивостями звичайного тривимірного векторного твору, тобто бінарне білінійної антисиметричною невироджене відображення \ Mathbb {R} ^ D \ times \ mathbb {R} ^ D \ to \ mathbb {R} ^ D , Можна ввести тільки для розмірностей 3 і 7.

Однак є просте узагальнення на інші натуральні розмірності, починаючи з 3, а якщо потрібно - і на розмірність 2 (останнє, щоправда, порівняно специфічним чином). Тоді це узагальнення, на відміну від неможливого, описаного трохи вище, вводиться не для пари векторів, а лише для набору (D - 1) векторів-співмножників. Цілком аналогічно змішаного добутку, природно узагальнюється в D -Мірному просторі на операцію з D співмножники. Використовуючи символ Леві-Чівіта \ Varepsilon_ {i_1 i_2 i_3 \ ldots i_D} з D індексами, можна явно записати таке (D - 1) -Валентний векторне твір як

P_i (\ mathbf {a, \; b, \; c, \; \ ldots}) = \ sum_ {j, \; k, \; m, \; \ ldots = 1} ^ D \ varepsilon_ {ijk \ ldots } a_j b_k c_m \ ldots

Таке узагальнення дає гіперплощадь розмірності (D - 1) .

Якщо потрібно ввести операцію саме для двох співмножників, що має геометричний зміст, гранично близьке до сенсу векторного твору (тобто представляє орієнтовану площа), то результат вже не буде вектором, тому що при D \ neq 3 не знайдеться єдиною, однозначно певної нормалі до двовимірної площині, натягнутої на множники. Можна ввести бівектор, компоненти якого рівні проекціям орієнтованої площі паралелограма, натягнутого на пару векторів, на координатні площині:

\ P_ {ij} (\ mathbf {a, b}) = a_i b_j - a_j b_i .

Ця конструкція називається зовнішнім твором.

Для двовимірного випадку операція

\ P (\ mathbf {a, b}) = a_1 b_2 - a_2 b_1 .

називається Псевдоскалярним твором, оскільки получающееся простір одновимірно і результат є псевдоскаляр. (Двухіндексное зовнішнє твір, описане вище, можна ввести і для двовимірного простору, однак воно, очевидно, досить тривіально пов'язано з Псевдоскалярним твором, а саме зовнішнє твір у цьому випадку є матрицею, на діагоналі якої нулі, а інші два недіагональних елемента дорівнюють Псевдоскалярний твору і мінус Псевдоскалярний твору).


6. Алгебра Лі векторів

Векторний добуток вводить на \ Mathbb {R} ^ {3} структуру алгебри Лі (оскільки воно задовольняє обом аксіомам - антисиметричність і тотожності Якобі). Ця структура відповідає ототожнення \ R ^ 3 з дотичній алгеброю Лі s o (3) до групи Лі S O (3) ортогональних лінійних перетворень тривимірного простору.


Примітки

  1. І в різних навчальних закладах.

Література

  • Кочин Н. Е. Введення в векторний і тензорний аналіз.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Векторний аналіз
Векторний потенціал
Векторний аналіз
Векторний простір
Векторний процесор
Векторний простір
Топологічний векторний простір
Нормоване векторний простір
Нормоване векторний простір
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru