Векторний потенціал

В векторному аналізі векторний потенціал - це векторне поле, ротор якого дорівнює заданому векторному полю. Він аналогічний скалярному потенціалу, який визначається як скалярний поле, градієнт якого дорівнює заданому векторному полю.

Формально, якщо v - векторне поле, векторним потенціалом називається векторне поле A таке, що

\ Mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.

Якщо A є векторним потенціалом для поля v, то з тотожності

\ Nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0

( дивергенція ротора дорівнює нулю) слід

\ Nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0,

тобто v повинно бути соленоідального векторним полем.

Для будь-якого соленоідального векторного поля, що задовольняє певним умовам, існує векторний потенціал. Зокрема, його існування залежить від області, на якій визначено поле - у разі многосвязной області потенціал вихрового поля зазвичай не існує.


1. Теорема

Нехай

\ Mathbf {v}: \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R ^ 3

- Двічі безперервно диференціюється соленоідального векторне поле. Припустимо, що v (x) убуває досить швидко при | | x | | → ∞. Визначимо

\ Mathbf {A} (\ mathbf {x}) = \ frac {1} {4 \ pi} \ nabla \ times \ int \ limits_ {\ mathbb R ^ 3} \ frac {\ mathbf {v} (\ mathbf { y})} {\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |} \, d \ mathbf {y}.

Тоді A є векторним потенціалом для v, тобто

\ Nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {v}.

Узагальненням цієї теореми є розкладання Гельмгольца, згідно з яким будь векторне поле може бути представлено як сума соленоідального векторного поля та безвіхревое векторного поля.


2. Неоднозначність вибору потенціалу

Векторний потенціал соленоідального векторного поля визначається неоднозначно. Якщо A є векторним потенціалом для v, також їм є

\ Mathbf {A} + \ nabla m

де m - будь-яка безперервно диференційовних скалярна функція. Це є наслідком того факту, що ротор градієнта дорівнює нулю.

В електродинаміці це дає неоднозначність при визначенні потенціалів електромагнітного поля і вирішується накладенням на потенціал додаткової умови калібрування.


3. Векторний потенціал у фізиці

3.1. Рівняння Максвелла

Одним із способів запису рівнянь Максвелла є формулювання в термінах векторного і скалярного потенціалів. Векторний потенціал \ Mathbf A вводиться таким чином, що

\ Mu_0 \ mathbf H = \ mathbf B = \ operatorname {rot} \ mathbf A (В системі СІ).

При цьому рівняння \ Operatorname {div} \ mathbf B = 0 задовольняється автоматично.

Підстановка виразу для \ Mathbf A в

\ Operatorname {rot} \ mathbf E = - \ frac {\ partial \ mathbf B} {\ partial t}

приводить до рівняння

\ Operatorname {rot} \ left (\ mathbf E + \ frac {\ partial \ mathbf A} {\ partial t} \ right) = 0 ,

згідно з яким, так само як і в електростатиці вводиться скалярний потенціал. Однак тепер у \ Mathbf E вносять вклад і скалярний і векторний потенціал:

\ Mathbf E = - \ operatorname {grad} \; \ varphi - \ frac {\ partial \ mathbf A} {\ partial t}

З рівняння \ Operatorname {rot} \ mathbf H = \ mathbf j + \ frac {\ partial \ mathbf D} {\ partial t} слід

\ Operatorname {rot} \; \ operatorname {rot} \ mathbf A = \ mu_0 \ mathbf j + \ epsilon_0 \ mu_0 \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (- \ operatorname {grad} \; \ varphi - \ frac {\ partial \ mathbf A} {\ partial t} \ right)

Використовуючи рівність \ Operatorname {rot} \; \ operatorname {rot} \ mathbf A = \ operatorname {grad} \; \ operatorname {div} \ mathbf A - \ nabla ^ 2 \ mathbf A , Рівняння для векторного і скалярного потенціалів можна записати у вигляді

\ Delta \ mathbf A - \ operatorname {grad} \ left (\ operatorname {div} \ mathbf A + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t} \ right) - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf A} {\ partial t ^ 2} = - \ mu_0 \ mathbf j
\ Delta \ varphi + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ operatorname {div} \ mathbf A = - \ frac {\ rho} {\ epsilon_0}

3.2. Фізичний зміст векторного потенціалу

У класичній електродинаміці векторний потенціал досить часто трактувався як величина, яка не має безпосереднього фізичного сенсу, формально вводиться лише для зручності викладок, хоча вже в структурі дії для класичної електродинаміки векторний потенціал входить таким прямим чином, що це наводить на думку про його фундаментальному характері.

У квантовій теорії це має прозорий фізичний зміст прямого впливу векторного потенціалу на фазу хвильової функції рухомої в магнітному полі частинки. Більше того, вдалося поставити квантові експерименти, які показали, що векторний потенціал доступний досить безпосередньому в деякому розумінні вимірюванню (принаймні, мова йде про те, що векторний потенціал може впливати спостережуваним вимірним чином на квантову частинку навіть тоді, коли напруженість магнітного поля в областях , доступних частці, усюди дорівнює нулю, тобто магнітне поле не може впливати на частку через напруженість, а лише прямо - через векторний потенціал; см. Ефект Ааронового - Бома).

Подібно до того, як скалярний потенціал пов'язаний з поняттям енергії, векторний потенціал виявляє тісний зв'язок з поняттям імпульсу. Так, у разі швидкого відключення магнітного поля частинка, що знаходилася в ньому, отримує додатковий імпульс qA.


Примітки