Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Векторний простір



План:


Введення

Векторне (лінійне) простір - основний об'єкт вивчення лінійної алгебри.


1. Визначення

Лінійне, або векторний простір L \ left (P \ right) над полем P - Це непорожня множина L , На якому введено операції

  1. складання, тобто кожній парі елементів множини \ Mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in L ставиться у відповідність елемент того ж множини, що позначається \ Mathbf {x} + \ mathbf {y} \ in L і
  2. множення на скаляр (тобто елемент поля P ), Тобто будь-якого елементу \ Lambda \ in P і будь-якого елементу \ Mathbf {x} \ in L ставиться у відповідність єдиний елемент з L \ left (P \ right) , Що позначається \ Lambda \ mathbf {x} \ in L (P) .

При цьому на операції накладаються наступні умови:

  1. \ Mathbf {x} + \ mathbf {y} = \ mathbf {y} + \ mathbf {x} , Для будь-яких \ Mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in L (Комутативність додавання);
  2. \ Mathbf {x} + (\ mathbf {y} + \ mathbf {z}) = (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) + \ mathbf {z} , Для будь-яких \ Mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z} \ in L (Асоціативність додавання);
  3. існує такий елемент \ Theta \ in L , Що \ Mathbf {x} + \ theta = \ mathbf {x} для будь-якого \ Mathbf {x} \ in L (Існування нейтрального елемента щодо складання), зокрема L не порожньо;
  4. для будь-якого \ Mathbf {x} \ in L існує такий елемент - \ Mathbf {x} \ in L , Що \ Mathbf {x} + (- \ mathbf {x}) = \ theta (Існування протилежного елемента щодо складання).
  5. \ Alpha (\ beta \ mathbf {x}) = (\ alpha \ beta) \ mathbf {x} (Асоціативність множення на скаляр);
  6. 1 \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (Унітарність: множення на нейтральний (по множенню) елемент поля P зберігає вектор).
  7. (\ Alpha + \ beta) \ mathbf {x} = \ alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {x} (Дистрибутивність множення на вектор щодо складання скалярів);
  8. \ Alpha (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = \ alpha \ mathbf {x} + \ alpha \ mathbf {y} (Дистрибутивність множення на скаляр щодо додавання векторів).

Елементи безлічі L називають векторами, а елементи поля P - Скалярами. Властивості 1-4 збігаються з аксіомами абелевих групи.


2. Найпростіші властивості

  1. Векторний простір є абелевих групою по складанню.
  2. Нейтральний елемент \ Theta \ in L є єдиним, що випливає з групових властивостей.
  3. 0 \ cdot \ mathbf {x} = \ theta для будь-якого \ Mathbf {x} \ in L .
  4. Для будь-якого \ Mathbf {x} \ in L протилежний елемент - \ Mathbf {x} \ in L є єдиним, що випливає з групових властивостей.
  5. (-1) \ Mathbf {x} = - \ mathbf {x} для будь-якого \ Mathbf {x} \ in L .
  6. (- \ Alpha) \ mathbf {x} = \ alpha (- \ mathbf {x}) = - (\ alpha \ mathbf {x}) для будь-яких \ Alpha \ in P і \ Mathbf {x} \ in L .
  7. \ Alpha \ cdot \ theta = \ theta для будь-якого \ Alpha \ in P .

3. Пов'язані визначення і властивості

3.1. Підпростір

Алгебраїчне визначення: Лінійне підпростір або векторне підпростір - непорожня підмножина K лінійного простору L таке, що K саме є лінійним простором по відношенню до певних в L дій додавання і множення на скаляр. Безліч всіх підпросторів зазвичай позначають як L a t (L) . Щоб підмножина було підпростором, необхідно і достатньо, щоб

  • \ Theta \ in K ;
  • для всякого вектора \ Mathbf {x} \ in K , Вектор \ Alpha \ mathbf {x} також належав K , При якому \ Alpha \ in P ;
  • для всяких векторів \ Mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in K , Вектор \ Mathbf {x} + \ mathbf {y} також належав K .

Останні два твердження еквівалентні наступного:

  • для всяких векторів \ Mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in K , Вектор \ Alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {y} також належав K для будь-яких \ Alpha, \ beta \ in P .

Зокрема, простір, що складається з одного елементу {Θ} , Є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є сама собі підпростором. Підпростору, що не збігаються з цими двома, називають власними чи нетривіальними.


3.1.1. Властивості підпросторів

  • Перетин будь-якого сімейства підпросторів - знову підпростір;
  • Сума кінцевого сімейства підпросторів - знову підпростір. Сума підпросторів \ {K_i \ quad | \ quad i \ in 1 \ ldots N \} визначається як безліч, що містить всілякі суми елементів K i :

\ Sum_ {i = 1} ^ N {K_i}: = \ {\ mathbf {x} _1 + \ mathbf {x} _2 + \ ldots + \ mathbf {x} _N \ quad | \ quad \ mathbf {x} _i \ in K_i \ quad (i \ in 1 \ ldots N) \} .

У функціональному аналізі в нескінченновимірних просторах особливо виділяють замкнуті підпростору.


3.2. Базис. Розмірність

  • Кінцева сума виду
\ Alpha_1 \ mathbf {x} _1 + \ alpha_2 \ mathbf {x} _2 + \ ldots + \ alpha_n \ mathbf {x} _n

називається лінійною комбінацією елементів \ Mathbf {x} _1, \ mathbf {x} _2, \ ldots, \ mathbf {x} _n \ in L з коефіцієнтами \ Alpha_1, \ alpha_2, \ ldots, \ alpha_n \ in P .

Лінійна комбінація називається нетривіальною, якщо хоча б один з її коефіцієнтів відмінний від нуля.
  • Елементи \ Mathbf {x} _1, \ mathbf {x} _2, \ ldots, \ mathbf {x} _n називаються лінійно залежними, якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовому елементу θ . В іншому випадку ці елементи називаються лінійно незалежними.
  • Нескінченна підмножина векторів з L називається лінійно залежною, якщо лінійно залежно його деякий кінцеве підмножина, і лінійно незалежним, якщо будь-яке його кінцеве підмножина лінійно незалежно.
  • Кількість елементів (потужність) максимального лінійно незалежної підмножини простору не залежить від вибору цього підмножини і називається рангом, або розмірністю, простору, а саме це підмножина - базисом (базисом Гамель або лінійним базисом). Елементи базису також називають базисними векторами. Властивості базису:
    • Будь-які n лінійно незалежних елементів n -Мірного простору утворюють базис цього простору.
    • Будь-який вектор \ Mathbf {x} \ in L можна представити (єдиним чином) у вигляді кінцевої лінійної комбінації базисних елементів:
\ Mathbf {x} = \ alpha_1 \ mathbf {x} _1 + \ alpha_2 \ mathbf {x} _2 + \ ldots + \ alpha_n \ mathbf {x} _n .

3.3. Лінійна оболонка

Лінійна оболонка \ Mathcal L (X) підмножини X лінійного простору L - Перетин всіх підпросторів L , Що містять X .

Лінійна оболонка є підпростором L .

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X . Кажуть також, що лінійна оболонка \ Mathcal L (X) натягнута на безліч X .

Лінійна оболонка \ Mathcal L (X) складається з різноманітних лінійних комбінацій різних кінцевих підсистем елементів з X . Зокрема, якщо X - Кінцеве безліч, то \ Mathcal L (X) складається з усіх лінійних комбінацій елементів X .

Якщо X - Лінійно незалежна безліч, то воно є базисом \ Mathcal L (X) і тим самим визначає його розмірність.


4. Приклади


5. Додаткові структури


Література

  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. вид. МЦНМО, 1998.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Топологічний векторний простір
Топологічний векторний простір
Нормоване векторний простір
Нормоване векторний простір
Векторний процесор
Векторний потенціал
Векторний добуток
Векторний аналіз
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru