Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Вектор-функція



План:


Введення

Вектор-функція - функція, значеннями якої є вектори в векторному просторі \ Mathbb V двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

  • одна скалярна змінна - тоді значення вектор-функції визначають у \ Mathbb V деяку криву;
  • m скалярних змінних - тоді значення вектор-функції утворюють у \ Mathbb V , Взагалі кажучи, m-мірну поверхню;
  • векторна змінна - в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на \ Mathbb V .

1. Вектор-функція однієї скалярної змінної

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не складає труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної \ Mathbf {r} (t) відображає певний інтервал дійсних чисел t_1 \ leqslant t \ leqslant t_2 в безліч просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти \ Mathbf {{\ hat {i}}}, \ mathbf {{\ hat {j}}}, \ mathbf {{\ hat {k}}} , Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції x (t), y (t), z (t):

\ Mathbf {r} (t) = x (t) \ mathbf {{\ hat {i}}} + y (t) \ mathbf {{\ hat {j}}} + z (t) \ mathbf {{\ hat {k}}}

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють в просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція \ Mathbf {r} (t) має межу \ Mathbf {r_0} в точці t = t 0 , Якщо \ Lim_ {t \ to t_0} | \ mathbf {r} (t) - \ mathbf {r_0} | = 0 (Тут і далі | \ Mathbf {v} | позначають модуль вектора \ Mathbf {v} ). Межа вектор-функції має звичайні властивості:

  • Межа суми вектор-функцій дорівнює сумі меж доданків (в припущенні, що вони існують).
  • Межа скалярного твори вектор-функцій дорівнює скалярному добутку меж співмножників.
  • Межа векторного твори вектор-функцій дорівнює векторному добутку меж співмножників.

Безперервність вектор-функції визначається традиційно.


1.1. Похідна вектор-функції по параметру

Визначимо похідну вектор-функції \ Mathbf {r} (t) по параметру:

\ Frac {d} {dt} \ mathbf {r} (t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ mathbf {r} (t + h) - \ mathbf {r} (t)} {h } .

Якщо похідна в точці t існує, вектор-функція називається дифференцируемой в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть x '(t), \ y' (t), \ z '(t) .

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії см.: диференціальна геометрія кривих.


2. Вектор-функція декількох скалярних змінних

Для наочності обмежимося випадком двох змінних в тривимірному просторі. Значення вектор-функції \ Mathbf {r} (u, v) (Їх годограф) утворюють, взагалі кажучи, двовимірну поверхню, на якій аргументи u, v можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, \ v) має вигляд:

x = x (u, \ v); \ y = y (u, \ v); \ z = z (u, \ v)

Аналогічно нагоди однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: \ Frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} . Ділянка поверхні буде невиродженим (тобто в нашому випадку - двовимірним), якщо на ньому \ Left [\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ right] не звертається тотожно в нуль.

Координатна сітка на сфері

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

u = u (t); \ v = v (t) ,

де t - параметр кривої. Залежності u (t), \ v (t) передбачаються диференційовними, причому в даній області їх похідні не повинні одночасно звертатися в нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

u = t; \ v = const - Перша координатна лінія.
u = const; \ v = t - Друга координатна лінія.

Якщо на поверхні немає особливих точок ( \ Left [\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}, \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial v} \ right] ніде не звертається в нуль), то через кожну точку поверхні проходять точніше дві координатні лінії.

Детальніше про геометричні додатках вектор-функцій декількох скалярних змінних см.: Теорія поверхонь.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Вектор
4-вектор
Радіус-вектор
Квазіволновой вектор
Вектор Дарбу
Хвильовий вектор
Вектор (завод)
Вектор стану
Коваріантний вектор
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru