У цій статті вектори виділені жирним шрифтом, а їх абсолютні величини - курсивом, наприклад, | \ Mathbf {A} | = A .

В класичній механіці вектором Лапласа - Рунге - Ленца називається вектор, в основному використовується для опису форми і орієнтації орбіти, по якій одне небесне тіло обертається навколо іншого (наприклад, орбіти, по якій планета обертається навколо зірки). У випадку з двома тілами, взаємодія яких описується законом всесвітнього тяжіння Ньютона, вектор Лапласа - Рунге - Ленца являє собою інтеграл руху, тобто його напрямок і величина є постійними незалежно від того, в якій точці орбіти вони обчислюються [1]; кажуть, що вектор Лапласа - Рунге - Ленца зберігається при гравітаційній взаємодії двох тіл. Це твердження можна узагальнити для будь-якої задачі з двома тілами, взаємодіючими за допомогою центральної сили, яка змінюється обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Така задача називається Кеплерови завданням [2].

Наприклад, такий потенціал виникає при розгляді класичних орбіт (без урахування квантування) в задачі про рух негативно зарядженого електрона, що рухається в електричному полі позитивно зарядженого ядра. Якщо вектор Лапласа - Рунге - Ленца заданий, то форма їх відносного руху може бути отримана з простих геометричних міркувань, з використанням законів збереження цього вектора і енергії.

Згідно принципом відповідності у вектора Лапласа - Рунге - Ленца є квантовий аналог, який був використаний в першому виведенні спектра атома водню [3], ще перед відкриттям рівняння Шредінгера.

У задачі Кеплера є незвичайна особливість: кінець вектора імпульсу \ Mathbf {p} завжди рухається по колу [4] [5]. Через розташування цих кіл для заданої повної енергії E проблема Кеплера математично еквівалентна частці, вільно переміщається в чотиривимірний сфері S_ {3} [6]. З цієї математичної аналогії, що зберігається вектор Лапласа - Рунге - Ленца еквівалентний додатковим компонентам кутового моменту в чотиривимірному просторі [7].

Вектор Лапласа - Рунге - Ленца також відомий як вектор Лапласа, вектор Рунге - Ленца і вектор Ленца, хоча жоден з цих учених не вивів його вперше. Вектор Лапласа - Рунге - Ленца відкривався знову кілька разів [8]. Він також еквівалентний безрозмірного вектору ексцентриситету в небесній механіці [9]. Точно так само для нього немає ніякого загальноприйнятого позначення, хоча зазвичай використовується \ Mathbf {A} . Для різних узагальнень вектора Лапласа - Рунге - Ленца, які визначені нижче, використовується символ \ Mathcal {A} .


1. Контекст

Одиночна частка, що рухається під впливом будь консервативної центральної сили, має, принаймні, чотири інтеграла руху (зберігаються при русі величини): повна енергія E і три компоненти кутового моменту (вектора \ Mathbf {L} ). Орбіта частинки лежить у площині, яка визначається початковим імпульсом частинки, \ Mathbf {p} (Або, що еквівалентно, швидкістю \ Mathbf {v} ) І координатами, тобто радіус-вектором \ Mathbf {r} між центром сили і часткою (див. рис. 1). Ця площина перпендикулярна постійному вектору \ Mathbf {L} , Що може бути виражено математично за допомогою скалярного добутку \ Mathbf {r} \ cdot \ mathbf {L} = 0 .

Как определено ниже, вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} всегда находится в плоскости движения - то есть, \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 - для любой центральной силы. Также \mathbf{A} является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [2]. Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор \mathbf{A} является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор \mathbf{A} не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathcal{A} может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор - сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях [10] [11].


2. Історія

Вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа - Рунге - Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия [8]. Яков Герман был первым, кто показал, что \mathbf{A} сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [12], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Херманна была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году [13]. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение \mathbf{A} вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники [14].

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже [9], использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса \mathbf{p} двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3) [4]. В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа [15]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера [16], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода [17].

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера [3]. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге - Ленца.


3. Математическое определение

Рис. 1: Вектор Лапласа - Рунге - Ленца \scriptstyle\mathbf{A} (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента \scriptstyle\mathbf{L} направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы \scriptstyle\mathbf{p}\times\mathbf{L} , \scriptstyle(mk/r)\mathbf{r} і \scriptstyle\mathbf{A} изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор \scriptstyle\mathbf{A} является постоянным по направлению и величине.

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением \mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^2}\mathbf{\hat{r}}, вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} определён математически по формуле [2]

\mathbf{A}=\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}},

де

  • m\!\, - масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы,
  • \mathbf{p}\!\, - вектор импульса,
  • \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\!\, - вектор углового момента,
  • k\!\, - параметр, описывающий величину центральной силы,
  • \mathbf{\hat{r}}\!\, - единичный вектор, то есть \mathbf{\hat{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r} , Де \mathbf{r}\!\, - радиус-вектор положения частицы, и r - его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия E сохраняется

E=\frac{p^2}{2m}-\frac{k}{r}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{k}{r}.

Из центральности силы следует, что вектор углового момента \mathbf{L} также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} перпендикулярен вектору углового момента \mathbf{L} и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Рівняння \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 верно, потому что вектора \mathbf{p}\times\mathbf{L} і \mathbf{r} перпендикулярны \mathbf{L} .

Это определение вектора Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} применимо для единственной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить m на приведённую массу этих двух тел и \mathbf{r} на вектор между этими телами.


3.1. Круговой годограф импульса

Рис. 2: Конец вектора импульса \scriptstyle\mathbf{p} (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси \scriptstyle y в точці \scriptstyle A/L (показан пурпурным), с радиусом \scriptstyle mk/L (показан зелёным). Кут \scriptstyle\eta определяет эксцентриситет \scriptstyle e эллиптической орбиты ( \scriptstyle\cos\eta=e ). З теоремы о вписанном угле для круга следует, что \scriptstyle \eta является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью \scriptstyle p_x , \scriptstyle p_x=\pm p_0 .

Сохранение вектора Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} и вектора углового момента \mathbf{L} используется в доказательстве того, что вектор импульса \mathbf{p} движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение \mathbf{A} і \mathbf{L}, приходим к уравнению для \mathbf{p}

L^2\mathbf{p}=\mathbf{L}\times\mathbf{A}-mk\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{L}.

Направляя вектор \mathbf{L} вдоль оси z, а главную полуось - по оси x, приходим к уравнению

p_x^2+(p_y-A/L)^2=(mk/L)^2.

Другими словами, вектор импульса \mathbf{p} ограничен окружностью радиуса mk/L, центр которой расположен в точке с координатами (0,\;A/L) . Ексцентриситет e соответствует косинусу угла \eta, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную p_0=\sqrt{2m|E|} . Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.


3.2. Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин: энергия E и компоненты векторов Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} и момента импульса \mathbf{L} - связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа - Рунге - Ленца, полученного выше A^2=m^2k^2+2mEL^2 . Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину \mathbf{A} (и эксцентриситет e орбиты) можно определить из полного углового момента L и энергии E, то утверждается, что только направление \mathbf{A} сохраняется независимо. Кроме того, вектор \mathbf{A} должен быть перпендикулярным \mathbf{L} - это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с dстепенями свободы может обладать максимум 2d-1 интегралами движения, поскольку 2d начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем d интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2d-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой [18]. Поскольку решение уравнения Гамильтона - Якоби в одной системе координат может привести только к d интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат [19]. Проблема Кеплера - максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы ( d=3) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона - Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах [20], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже [21].


3.3. Уравнение Гамильтона - Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа - Рунге - Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона - Якоби в параболических координатах (\xi,\;\eta), которые определяются следующим образом

\xi=r+x,
\eta=r-x,

де r - радиус в плоскости орбиты

r=\sqrt{x^2+y^2}.

Обратное преобразование этих координат запишется в виде

x=\frac{1}{2}(\xi-\eta),
y =\sqrt{\xi\eta}.

Разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения [20] [22]

2\xi p_\xi^2-mk-mE\xi=-\beta,
2\eta p_\eta^2-mk-mE\eta=\beta,

де \beta - интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса p_x і p_y можно показать, что \beta эквивалентен вектору Лапласа - Рунге - Ленца

\beta=p_y(xp_y-yp_x)-mk\frac{x}{r}=A_x.

Этот подход Гамильтона - Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathcal{A} в присутствии электрического поля \mathbf{E} [20] [23]

\mathcal{A}=\mathbf{A}+\frac{mq}{2}\left[(\mathbf{r}\times\mathbf{E})\times\mathbf{r}\right],

де q - заряд обращающейся частицы.


3.4. Альтернативная формулировка

На відміну від импульса \mathbf{p} і углового момента \mathbf{L}, у вектора Лапласа - Рунге - Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную mk, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

де \mathbf{v} - вектор скорости. Направление этого скалированного вектора \mathbf{e} совпадает с направлением \mathbf{A}, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить \mathbf{A} на m ,

\mathbf{M}=\mathbf{v}\times\mathbf{L}-k\mathbf{\hat{r}}

или на p_0

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор \mathbf{L} ). В редких случаях, знак вектора Лапласа - Рунге - Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа - Рунге - Ленца включают \mathbf{a} , \mathbf{R} , \mathbf{F} , \mathbf{J} і \mathbf{V} . Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа - Рунге - Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Рис. 3: Вектор углового момента \scriptstyle\mathbf{L}, вектор Лапласа - Рунге - Ленца \scriptstyle\mathbf{A} и вектор Гамильтона, бинормаль \scriptstyle\mathbf{B}, являются взаимно перпендикулярными; \scriptstyle\mathbf{A} і \scriptstyle \mathbf{B} указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль - вектор \mathbf{B} изучен Уильямом Гамильтоном [9]

\mathbf{B}=\mathbf{p}-\left(\frac{mk}{L^2r}\right)(\mathbf{L}\times\mathbf{r}),

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A}=\mathbf{B}\times\mathbf{L} є векторным произведением \mathbf{B} і \mathbf{L} (рис. 3). Вектор \mathbf{B} обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как \mathbf{A}, так и \mathbf{L} . Подобно вектору Лапласа - Рунге - Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, \mathbf{A} і \mathbf{B} можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор \mathbf{W}

\mathbf{W}=\alpha\mathbf{A}\otimes\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}\otimes\mathbf{B},

де \otimes обозначает тензорное произведение, а \ Alpha і \beta - произвольные множители [10]. Записанное в компонетной записи это уравнение читается так

W_{ij}=\alpha A_iA_j+\beta B_iB_j.

Векторы \mathbf{A} і \mathbf{B} ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора \mathbf{W}, то есть как его собственные вектора. \mathbf{W} перпендикулярен \mathbf{L}

поскольку \mathbf{A} і \mathbf{B} перпендикулярны, то \mathbf{L}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{L}\cdot\mathbf{B}=0 .


4. Вывод орбит Кеплера

Рис. 4: Упрощенная версия рис. 1. Определяется угол \theta между \scriptstyle \mathbf{A} і \scriptstyle\mathbf{r} в одной точке орбиты.

Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A}, можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов \mathbf{A} і \mathbf{r} (положения планеты):

\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-mkr,

де \theta является углом между \mathbf{r} і \mathbf{A} (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении , и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения :

\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)

з эксцентриситетом e\!\,, заданным по формуле:

e=\frac{A}{mk}=\frac{|\mathbf{A}|}{mk}.

Приходим к выражению квадрата модуля вектора \mathbf{A} в виде

A^2=m^2k^2+2mEL^2,

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

e^2-1=\frac{2L^2}{mk^2}E.

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита - гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет - единица, и орбита - парабола. Во всех случаях, вектор \mathbf{A} направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).


4.1. Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила \mathbf{F}, действующая на частицу, предполагается центральной. Тому

\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}=f(r)\mathbf{\hat{r}}

для некоторой функции f(r) радиуса r . Оскільки угловой момент \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} сохраняется под действием центральных сил, то \frac{d}{dt}\mathbf{L}=0 і

де импульс записан в виде \mathbf{p}=m\frac{d\mathbf{r}}{dt} , І тройное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

Тождество

приводит к уравнению

\frac{d}{dt}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})=-mf(r)r^2\left[\frac{1}{r}\frac{d\mathbf{r}}{dt}-\frac{\mathbf{r}}{r^2}\frac{dr}{dt}\right]= -mf(r)r^2\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right).

Для спеціального випадку центральної сили, яка залежить обернено пропорційною квадрату відстані f (r) = \ frac {-k} {r ^ 2} , Останній вираз одно

Тоді \ Mathbf {A} зберігається в цьому випадку

\ Frac {d} {dt} \ mathbf {A} = \ frac {d} {dt} (\ mathbf {p} \ times \ mathbf {L}) - \ frac {d} {dt} (mk \ mathbf { \ hat {r}}) = 0.

Як показано нижче, вектор Лапласа - Рунге - Ленца \ Mathbf {A} є окремим випадком узагальненого зберігається вектора \ Mathcal {A} , Який може бути визначений для будь-якої центральної сили [11] [10]. Однак більшість центральних сил не формують замкнутих орбіт (див. теорема Бертрана), аналогічний вектор \ Mathcal {A} рідко має просте визначення і в загальному випадку являє собою багатозначну функцію кута \ Theta між \ Mathbf {r} і \ Mathcal {A} .


4.2. Зміна під дією збурюючих центральних сил

Рис. 5: Повільно прецессірует еліптична орбіта, з ексцентриситетом \ Scriptstyle e = 0 {,} 9 . Така прецесія виникає в проблемі Кеплера, якщо притягає центральна сила трохи відрізняється від закону тяжіння Ньютона. Швидкість прецесії можна обчислити, використовуючи наведені в параграфі формули.

У багатьох практичних проблемах, типу планетарного руху, взаємодія між двома тілами тільки приблизно залежить обернено пропорційно квадрату відстані. У таких випадках вектор Лапласа - Рунге - Ленца \ Mathbf {A} не постійний. Однак, якщо збурює потенціал h (r) залежить тільки від відстані, то повна енергія E і вектор кутового моменту \ Mathbf {L} зберігаються. Тому траєкторія руху все ще знаходиться в перпендикулярній до \ Mathbf {L} площині, і величина A зберігається, згідно з рівнянням A ^ 2 = m ^ 2k ^ 2 +2 mEL ^ 2 . Отже, напрямок \ Mathbf {A} повільно обертається по орбіті в площині. Використовуючи канонічну теорію збурень і координати дію-кут, можна прямо показати [2], що \ Mathbf {A} обертається зі швидкістю

\ Frac {\ partial} {\ partial L} \ langle h (r) \ rangle = \ frac {\ partial} {\ partial L} \ left \ {\ frac {1} {T} \ int \ limits_0 ^ T h (r) \, dt \ right \} = \ frac {\ partial} {\ partial L} \ left \ {\ frac {m} {L ^ 2} \ int \ limits_0 ^ {2 \ pi} r ^ 2h ( r) \, d \ theta \ right \},

де T - Період орбітального руху та рівність L \, dt = mr ^ 2 \, d \ theta використовувалося, щоб перетворити інтеграл по часу в інтеграл по куту (рис. 5). Наприклад, беручи до уваги ефекти загальної теорії відносності, приходимо до добавці, яка на відміну від звичайної гравітаційної сили Ньютона залежить назад пропорційно кубу відстані [24] :

h (r) = \ frac {kL ^ 2} {m ^ 2c ^ 2} \ left (\ frac {1} {r ^ 3} \ right).

Підставляючи цю функцію в інтеграл і використовуючи рівняння

\ Frac {1} {r} = \ frac {mk} {L ^ 2} \ left (1 + \ frac {A} {mk} \ cos \ theta \ right),

щоб висловити r в термінах \ Theta , швидкість прецесії перицентра, викликана цим обуренням, запишеться у вигляді [24]

\ Frac {6 \ pi k ^ 2} {TL ^ 2c ^ 2}.

яка близька за значенням до величини прецесії для Меркурія непоясненим ньютонівської теорією гравітації [25]. Це вираз використовується для оцінки прецесії, пов'язаної з поправками загальної теорії відносності для подвійних пульсарів [26]. Це згоду з експериментом є сильним аргументом на користь загальної теорії відносності [27].


5. Теорія груп

5.1. Перетворення Лі

Рис. 6: Перетворення Лі, з якого виводиться збереження вектора Лапласа - Рунге - Ленца \ Scriptstyle \ mathbf {A} . Коли скаліруемий параметр \ Scriptstyle \ lambda змінюється, енергія і кутовий момент теж змінюються, але ексцентриситет \ Scriptstyle e і вектор \ Scriptstyle \ mathbf {A} не змінюються.

Існує інший метод виведення вектора Лапласа - Рунге - Ленца, який використовує варіацію координат без залучення швидкостей [28]. Скалірованіе координат \ Mathbf {r} і часу t з різним ступенем параметра \ Lambda (Рис. 6)

t \ to \ lambda ^ 3t, \; \ mathbf {r} \ to \ lambda ^ 2 \ mathbf {r}, \; \ mathbf {p} \ to \ frac {1} {\ lambda} \ mathbf {p} .

Це перетворення змінює повний кутовий момент L і енергію E

L \ to \ lambda L, \; E \ to \ frac {1} {\ lambda ^ 2} E,

але зберігає твір EL ^ 2 . Звідси випливає, що ексцентриситет e і величина A зберігаються в уже згаданому раніше рівнянні

A ^ 2 = m ^ 2k ^ 2e ^ 2 = m ^ 2k ^ 2 +2 mEL ^ 2.

Напрямок \ Mathbf {A} також зберігається, оскільки півосі не змінюються при скалірованіі. Це перетворення залишає вірним третій закон Кеплера, а саме те, що піввісь a і період T формують константу T ^ 2 / a ^ 3 .


5.2. Дужки Пуассона

Для трьох компонент L_i вектора кутового моменту \ Mathbf {L} можна визначити дужки Пуассона

[L_i, \; L_j] = \ sum_ {s = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {ijs} L_s,

де індекс i пробігає значення 1, 2, 3 і \ Varepsilon_ {ijs} - Абсолютно антисиметрична тензор, тобто символ Леві-Чівіта (третій індекс підсумовування s , Щоб не плутати з силовим параметром k , Певним вище). В якості дужок Пуассона використовуються квадратні дужки (а не фігурні), як і в літературі і, в тому числі, щоб інтерпретувати їх як квантовомеханічних комутаційні співвідношення в наступному розділі.

Як показано вище, змінений вектор Лапласа - Рунге - Ленца \ Mathbf {D} можна визначити з тією ж розмірністю, що і кутовий момент, розділивши \ Mathbf {A} на p_0 . Дужка Пуассона \ Mathbf {D} з вектором кутового моменту \ Mathbf {L} запишеться у Схожі відео

[D_i, \; L_ {j}] = \ sum_ {s = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {ijs} D_s.

Дужка Пуассона \ Mathbf {D} з \ Mathbf {D} залежить від знака E , Тобто коли повна енергія E негативна (еліптичні орбіти під дією центральної сили, яка залежить обернено пропорційно квадрату відстані) або позитивна (гіперболічні орбіти). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

[D_i,\;D_j]=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

[D_i,\;D_j]=-\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s.

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

C_1=\mathbf{D}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=\frac{mk^2}{2|E|},
C_2=\mathbf{D}\cdot\mathbf{L}=0

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент \mathbf{D} і \mathbf{L}

[C_1,\;L_i]=[C_1,\;D_i]=[C_2,\;L_i]=[C_2,\;D_i]=0.

C_2 равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C_1 нетривиален и зависит только от m , k і E . Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.


5.3. Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

\delta q_i=\varepsilon g_i(\mathbf{q},\;\mathbf{\dot{q}},\;t)

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на полную производную по времени

\delta L=\varepsilon\frac{d}{dt}G(\mathbf{q},\;t)

соответствует сохранению величины

J=-G+\sum_i g_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right).

Сохранённая компонента вектора Лапласа - Рунге - Ленца A_s соответствует вариации координат [29]

\delta x_i=\frac{\varepsilon}{2}[2p_ix_s-x_ip_s-\delta_{is}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})],

де i равняется 1, 2 и 3, а x_i і p_i - i -ые компоненты векторов положения \mathbf{r} и импульса \mathbf{p}, соответственно. Как обычно, \delta_{is} - символ Кронекера. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как

\delta L=\frac{1}{2}\varepsilon mk\frac{d}{dt}\left(\frac{x_s}{r}+[p^2x_s-p_s(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})]\right).

Это приводит к сохранению компоненты A_s


5.4. Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа - Рунге - Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии - непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии - непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента \mathbf{L} . В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом l (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии \scriptstyle l . Все круги проходят через две точки \scriptstyle\pm p_0=\pm\sqrt{2m|E|} на оси \scriptstyle p_x (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, и \scriptstyle\sigmaизоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента \mathbf{L}, так и вектора Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{A} (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента l і m . Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями [28]. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами l і m , атомные орбитали типа s ( l=0 ) І p ( l=1 ). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

|\mathbf{e}|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2.

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой [6]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырехмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трехмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом n . Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента \mathbf{L} и скалированного вектора Лапласа - Рунге - Ленца \mathbf{D} формируют алгебру Ли для SO(4). [7] Проще говоря, эти шесть величин \mathbf{D} і \mathbf{L} соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша вселенная - четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

ds^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2-e_4^2.

Фок [6] и Баргман [7] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном [30] [31].


5.4.1. Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной \scriptstyle\eta сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают \scriptstyle\eta_x ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор \scriptstyle \mathbf{w}) к ( \scriptstyle\eta_x - \scriptstyle\eta_y) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте \scriptstyle \alpha соответствует эксцентриситету \scriptstyle e=\sin\alpha . Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать [30] [32] [33]. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены (w,\;x,\;y,\;z) , Де (x,\;y,\;z) представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора \mathbf{r} . Трёхмерный вектор импульса \mathbf{p} связан с четырёхмерным вектором \boldsymbol{\eta} на четырёхмерной единичной сфере посредством

де \mathbf{\hat{w}} - единичный вектор вдоль новой оси w . Оскільки \boldsymbol{\eta} имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для \mathbf{p} . Например, для компоненты x

p_x=p_0\frac{\eta_x}{1-\eta_w}

и аналогично для p_y і p_z . Другими словами, трёхмерный вектор \mathbf{p} является стереографической проекцией четырёхмерного вектора \boldsymbol{\eta}, умноженному на p_0 (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось z направлена вдоль вектора углового момента \mathbf{L}, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси y . Так как движение происходит в плоскости, а \mathbf{p} і L ортогональны, p_z=\eta_z=0, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе \boldsymbol{\eta}=(\eta_w,\;\eta_x,\;\eta_y) . Сімейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере \boldsymbol{\eta}, все из которых пересекают ось \eta_x в этих двух фокусах \eta_x=\pm 1, соответствующих фокусам годографа импульса при p_x=\pm p_0 . Большие круги связаны простым вращением вокруг оси \eta_x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение \eta_w . Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа - Рунге - Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты \boldsymbol{\eta} и используя эллиптические цилиндрические координат (\alpha,\;\beta,\;\varphi) [34]

\eta_w=\mathrm{cn}\,\alpha\,\mathrm{cn}\,\beta,
\eta_x=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\cos\varphi,
\eta_y=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\sin\varphi,
\eta_z=\mathrm{dn}\,\alpha\,\mathrm{sn}\,\beta,

де використовуються еліптичні функції Якобі : \ Mathrm {sn} , \ Mathrm {cn} і \ Mathrm {dn} .


6. Застосування і узагальнення

6.1. Квантова механіка атома водню

Рис. 9: Рівні енергії водневого атома, передбачені з використанням комутаційних співвідношень кутового моменту і векторних операторів Лапласа - Рунге - Ленца; ці рівні енергії були перевірені експериментально.

Дужки Пуассона дають простий спосіб для квантування класичної системи. Комутатор двох квантовомеханічних операторів дорівнює скобці Пуассона відповідних класичних змінних, помноженої на i \ hbar [35]. Виконуючи це квантування і вираховуючи власні значення C_ {1} оператора Казимира для проблеми Кеплера, Вольфганг Паулі вивів енергетичний спектр водородоподобного атома (рис. 9) і, таким чином, його атомний емісійний спектр [3]. Це витончене рішення було отримано до винаходу рівняння Шредінгера [36].

Особливість квантовомеханічної оператора для вектора Лапласа - Рунге - Ленца \ Mathbf {A} полягає в тому, що імпульс і оператори кутового моменту не комутують один з одним, отже, векторне твір \ Mathbf {p} і \ Mathbf {L} має бути визначено ретельно [37]. Як правило, оператори в декартовій системі координат A_s визначені за допомогою сімметрізованного твори

A_s =-mk \ hat {r} _s + \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {sij} (p_il_j + l_jp_i),

з якого визначаються відповідні сходові оператори

A_0 = A_3,
A_ {\ pm 1} = \ mp \ frac {1} {\ sqrt {2}} (A_1 \ pm iA_2).

Нормований оператор першого інваріанта Казимира може бути визначений подібним чином

C_1 = - \ frac {mk ^ 2} {2 \ hbar ^ 2} H ^ {-1}-I,

де H ^ {-1} - Оператор, зворотний до оператора енергії ( гамільтоніан) і I - Одиничний оператор. Застосовуючи ці сходові оператори до власним станам | Lmn \ rangle операторів повного кутового моменту, азимутального кутового моменту і енергії, можна показати, що власні стану першого оператора Казимира задаються формулою n ^ 2-1 . Отже, рівні енергії даються виразом

E_n = - \ frac {mk ^ 2} {2 \ hbar ^ 2n ^ 2},

яке ідентично формулою Рідберга для атома водню (рис 9).


6.2. Узагальнення на інші потенціали і СТО

Вектор Лапласа - Рунге - Ленца був узагальнений на інші потенціали і навіть на спеціальну теорію відносності. Найбільш загальну форму цього вектора можна записати у вигляді [10]

\ Mathcal {A} = \ left (\ frac {\ partial \ xi} {\ partial u} \ right) (\ mathbf {p} \ times \ mathbf {L}) + \ left [\ xi-u \ left ( \ frac {\ partial \ xi} {\ partial u} \ right) \ right] L ^ 2 \ mathbf {\ hat {r}},

де u = 1 / r (Див. теорема Бертрана) та \ Xi = \ cos \ theta , З кутом \ Theta , Визначеним як

\ Theta = L \ int \ limits ^ u \ frac {du} {\ sqrt {m ^ 2c ^ 2 (\ gamma ^ 2-1)-L ^ 2u ^ 2}}.

Тут \ Gamma - релятивістський фактор. Як і раніше, можна отримати зберігається вектор бинормали \ Mathbf {B} , Взявши векторне твір з зберігається вектором кутового моменту

\ Mathcal {B} = \ mathbf {L} \ times \ mathcal {A}.

Ці два вектори можна з'єднати в існуючий двокомпонентний тензор W

\ Mathcal {W} = \ alpha \ mathcal {A} \ otimes \ mathcal {A} + \ beta \ mathcal {B} \ otimes \ mathcal {B}.

Для прикладу обчислимо вектор Лапласа - Рунге - Ленца для нерелятівістского ізотропного гармонічного осцилятора. [10] Розглянемо центральну силу:

\ Mathbf {F} (r) =-k \ mathbf {r}

вектор кутового моменту зберігається, і тому рух відбувається в площині. Зберігається тензор можна переписати в більш простому вигляді:

\ Mathbf {W} = \ frac {1} {2m} \ mathbf {p} \ otimes \ mathbf {p} + \ frac {k} {2} \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r},

хоча потрібно зауважити, що p і r не перпендикулярні, як A і B . Відповідний вектор Лапласа - Рунге - Ленца має більш складну запис

де \ Omega_0 = \ sqrt {\ frac {k} {m}} - Частота осцилятора.


Література

  1. Арнольд В. І. Математичні методи класичної механіки, 5-е изд .. - Москва: Едіторіал УРСС, 2003. - P. 416. - ISBN 5-354-00341-5 , До пастки в електронному вигляді є 3-е изд. за 1988 рік, див. Додавання 8, на стор 381
  2. 1 2 3 4 Голдштейн Г. Класична механіка. - Наука, 1975. - P. 416.
  3. 1 2 3 Pauli, W (1926). "ber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift fr Physik 36: 336-363.
  4. 1 2 Hamilton, WR (1847). "The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction". Proceedings of the Royal Irish Academy 3: 344-353.
  5. Хікок_Ф.А. Графіки космічного польоту. Машинобудування (1968). Глава 3. Аналіз траєкторій за допомогою полярних діаграм. на стр. 42; Гулд Х., Тобочнік Я. Комп'ютерне моделювання у фізику. Том 1. 1990, ЗАВДАННЯ 4.9. Властивості орбіт в просторі швидкостей, стр. 88;
  6. 1 2 3 Fock, V (1935). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms". Zeitschrift fr Physik 98: 145-154.
  7. 1 2 3 Bargmann, V (1936). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock". Zeitschrift fr Physik 99: 576-582.
  8. 1 2 Goldstein, H. (1975). "Prehistory of the Runge-Lenz vector". American Journal of Physics 43: 735-738.
    Goldstein, H. (1976). "More on the prehistory of the Runge-Lenz vector". American Journal of Physics 44: 1123-1124.
  9. 1 2 3 Hamilton, WR (1847). "On the Application of the Method of Quaternions to some Dynamical Questions". Proceedings of the Royal Irish Academy 3: Appendix III, pp. xxxvi-l.
  10. 1 2 3 4 5 Fradkin, DM (1967). "Existence of the Dynamic Symmetries O 4 and SU 3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37: 798-812.
  11. 1 2 Yoshida, T (1987). "Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector". European Journal of Physics 8: 258-259.
  12. Hermann, J (1710). "Metodo d'investigare l'orbite de 'pianeti". Giornale de Letterati D'Italia 2: 447-467.
    Hermann, J (1710). "Extrait d'une lettre de M. Herman M. Bernoulli date de Padoe le 12. Juillet 1710". Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 519-521.
  13. Bernoulli, J (1710). "Extrait de la Rponse de M. Bernoulli M. Herman date de Basle le 7. Octobre 1710". Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 521-544.
  14. Laplace PS Trait de mcanique celeste. - 1799. - P. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
  15. Gibbs JW Vector Analysis. - New York: Scribners, 1901. - P. p. 135.
  16. Runge C Vektoranalysis. - Leipzig: Hirzel, 1919. - P. Volume I.
  17. Lenz, W (1924). "ber den Bewegungsverlauf und Quantenzustnde der gestrten Keplerbewegung". Zeitschrift fr Physik 24: 197-207.
  18. Evans, NW (1990). "Superintegrability in classical mechanics". Physical Review A 41: 5666-5676.
  19. Sommerfeld A Atomic Structure and Spectral Lines. - London: Methuen, 1923. - P. 118.
  20. 1 2 3 Landau LD Mechanics. - 3 rd edition. - Pergamon Press, 1976. - P. p. 154. - ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) AND ISBN 0-08-029141-4 (softcover) ; Ландау Л.Д., Ліфшиц О.М. Теоретична фізика. Механіка. Том 1. ізд.5. 2004. 15. Кеплерови завдання, "зберігається вектор" на стор 56; заключний 52. Умовно-періодичний рух, завдання з рішенням в полярних координатах на стор 217.
  21. Evans, NW (1991). "Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system". Journal of Mathematical Physics 32: 3369-3375.
  22. Dulock, VA; McIntosh HV (1966). "On the Degeneracy of the Kepler Problem". Pacific Journal of Mathematics 19: 39-55.
  23. Redmond, PJ (1964). "Generalization of the Runge-Lenz Vector in the Presence of an Electric Field". Physical Review 133: B1352-B1353.
  24. 1 2 Einstein, A (1915). "Erklrung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativittstheorie.". Sitzungsberichte der der Kniglich Preuischen Akademie der Wissenschaften 47 (2): 831-839.
  25. Le Verrier, UJJ (1859). "Sur la thorie de Mercure et sur ​​le mouvement du prihlie de cette plante; Lettre de M. Le Verrier M. Faye.". Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) 49: 379-383. [1]
  26. Will CM General Relativity, an Einstein Century Survey. - SW Hawking and W Israel, eds .. - Cambridge: Cambridge University Press, 1979. - P. Chapter 2.
  27. Pais A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. - Oxford University Press, 1982.
    Пайс, Абрахам. (1989) Наукова діяльність та життя Альберта Ейнштейна. Пер. з англ. В. І. та О. І. Мацарський; Под ред. А. А. Логунова. - М.: Наука, 1989. - 566, [1] с., [4] л. мул., 22 см - ISBN 5-02-014028-7.
  28. 1 2 Prince, GE; Eliezer CJ (1981). "On the Lie symmetries of the classical Kepler problem". Journal of Physics A: Mathematical and General 14: 587-596.
  29. Lvy-Leblond, JM (1971). "Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics". American Journal of Physics 39: 502-506.
  30. 1 2 Bander, M; Itzykson C (1966). "Group Theory and the Hydrogen Atom (I)". Reviews of Modern Physics 38: 330-345.
  31. Bander, M; Itzykson C (1966). "Group Theory and the Hydrogen Atom (II)". Reviews of Modern Physics 38: 346-358.
  32. Rogers, HH (1973). "Symmetry transformations of the classical Kepler problem". Journal of Mathematical Physics 14: 1125-1129.
  33. Guillemin V Variations on a Theme by Kepler. - American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42, 1990. - ISBN 0-8218-1042-1
  34. Lakshmanan, M; Hasegawa H. "On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces". Journal of Physics A 17: L889-L893.
  35. Dirac PAM Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition. - Oxford University Press, 1958.
  36. Schrdinger, E (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem". Annalen der Physik 384: 361-376.
  37. Bohm A. Quantum Mechanics: Foundations and Applications. - 2 nd edition. - Springer Verlag, 1986. - P. 208-222.

8. Додаткове читання

  • Leach, PGL; GP Flessas (2003). "Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz vector". J. Nonlinear Math. Phys. 10: 340-423. Стаття присвячена узагальненню вектора Лапласа - Рунге - Ленца на потенціали відмінні від кулонівського. arxiv.org