Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Вектор (математика)



План:


Введення

Вектор \ Overrightarrow {AB}

Вектор - поняття, яке визначається в різних розділах математики різному.


1. Поняття вектора в абстрактної алгебри

Нехай \ Mathfrak F = \ langle F; +, * \ rangle - Деяке поле з аддитивной операцією +, мультиплікативної операцією *, аддитивной одиницею 0 і мультиплікативної одиницею 1. Нехай \ Mathfrak V = \ langle V; + \ rangle - Деяка абелева група з одиницею \ Mathbf 0 . Якщо існує операція F \ times V \ to V , Така що для будь-яких a, b \ in F і для будь-яких \ Mathbf x, \ mathbf y \ in V виконуються співвідношення:

1. (A + b) \ mathbf x = a \ mathbf x + b \ mathbf x ,

2. a (\ mathbf x + \ mathbf y) = a \ mathbf x + a \ mathbf y ,

3. (A * b) \ mathbf x = a (b \ mathbf x) ,

4. 1 \ mathbf x = \ mathbf x ,

тоді \ Mathfrak V називається векторним простором над полем \ Mathfrak F , Елементи V називаються векторами, елементи F - скалярами, а зазначена операція F \ times V \ to V - Множенням вектора на скаляр.


2. Поняття вектора в стандартному евклідовому n-мірному просторі

Вектор в арифметичному n-мірному просторі
Є окремим випадком визначення вектора в абстрактній алгебрі. Якщо як \ Mathfrak F = \ mathfrak R = \ langle R; +, * \ rangle взяти полі дійсних чисел з операціями додавання і множення. \ Mathfrak V = \ mathfrak R ^ n = \ langle R ^ n; + \ rangle , Де R n - декартова ступінь безлічі R; для \ Mathfrak V операцію "+" задамо наступним чином: (A 1,..., a n) + (b 1,..., b n) = (a 1 + b 1,..., a n + b n) , Нейтральний елемент: \ Mathbf 0 = (0, ..., 0), зворотний елемент: - (A 1,..., a n) = (- a 1,..., - a n) ; Операцію множення на скаляр: a (a 1,..., a n) = (a * a 1,..., a * ​​a n) . Тоді вектор, що задається кортежем довжиною n, що складається з дійсних чисел є арифметичним вектором векторного простору \ Mathfrak R ^ n над полем дійсних чисел \ Mathfrak R .

n-мірний простір задається як R n - декартова ступінь безлічі дійсних чисел, точка-як кортеж (A 1,..., a n) довжини n з дійсних чисел, що відповідає визначенню простору як безлічі точок.

Вектор в геометрії (пов'язаний вектор) - упорядкована пара точок, одна з яких називається початком, друга - кінцем вектора.

Два вектора рівні, якщо різниці по кожній з координат з однаковими номерами кінцевої і початкової точки для цих векторів рівні. Ці різниці називаються просторовими координатами вектора.

Вільний вектор задається класом всіх рівних пов'язаних векторів і вважається рівним кожному з цих пов'язаних векторів і таким чином може бути визначений як вектор в арифметичному просторі (кортеж чисел довжини n (просторових координат рівних йому пов'язаних векторів) з операціями додавання і множення на скаляр).

Результатом операцій з пов'язаними векторами приймається вектор, початкова точка якого співпадає з початковою точкою перший доданок при додаванні векторів і початковій точці вихідного вектора при множенні вектора на скаляр.

Також існує більш поширене визначення вектора як спрямованого відрізка, але воно вимагає визначення прямої та відрізка в n-мірному просторі.

Пряма, на якій лежить ненульовий вектор \ Mathbf a з початком в точці M 0 = (m 1,..., m n) , Заданий вільним вектором з просторовими координатами (A 1,..., a n) - Безліч точок (X 1,..., x n) , Що задовольняє умові:

\ Frac {x_1-m_1} {a_1} = \ frac {x_2-m_2} {a_2 }=...= \ frac {x_n-m_n} {a_n}

Відрізок MN прямий L - безліч точок O прямий L, що лежать між 2-ма точками M, N цієї прямої:

min (x_ {i_M}, x_ {i_N}) \ leqslant x_ {i_O} \ leqslant max (x_ {i_M}, x_ {i_N}), 1 \ leqslant i \ leqslant n, O \ in L , Точки M і N називаються кінцевими точками відрізка. Відрізок називається спрямованим, якщо його кінцеві точки впорядковані.

При введення скалярного твори, кута і довжини вектора, яка задає відстань між двома точками як відстань між початковою і кінцевою точками вектора (як показано нижче ([1], [2], [3])) векторний простір R n стає евклідовим нормованим простором і при n = 3 відповідає моделі фізичного тривимірного простору; при n = 2 - площині цього простору; при n = 1 точка відповідає числу на числовій прямій, вільний вектор - різниці двох чисел, а довжина вектора відповідає модулю; простір при n> 3 не має наочної геометричної інтерпретації, так як фізичний простір трехмерно.

Скалярний твір визначається за формулою: \ Mathbf a \ cdot \ mathbf b = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i b_i , [1]
(Де a i, b i - Просторові координати векторів \ Mathbf a, \ mathbf b )

Довжина вектора: | \ Mathbf a | = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} {X_i} ^ 2} , [2]
(Де X i - Просторові координати вектора.)

Кут між 2-ма векторами \ Mathbf a, \ mathbf b (Де a i, b i - Просторові координати векторів \ Mathbf a, \ mathbf b ) Задається через скалярний твір:
\ Theta = \ arccos \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i b_i} {| \ mathbf a | | \ mathbf b |} , [3]


3. Вектор в лінійному просторі

Лінійне простір - це безліч елементів, які називаються векторами, над якими певним чином визначені операції додавання і множення на число. У будь-якому лінійному просторі можна виділити особливу систему векторів, званих базисом лінійного простору. Кількість векторів у базисі одно розмірності простору. Будь-який вектор з простору можна уявити, як лінійну комбінацію базисних векторів. Тобто, якщо у нас є базис \ Vec {e_1 },..., \ vec {e_n} \ in L , То \ Forall \ vec {x} \ in L \ exists \ alpha_1, .., \ alpha_n \ in F: \ vec {x} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ vec {e_i} , Де F - Це поле, над яким визначено лінійний простір L .

Вибір базису в лінійному просторі неоднозначний, проте коефіцієнти векторів при вимірюванні базису пов'язані певним чином. Нехай є базис \ Vec {e_1 },..., \ vec {e_n} і \ Vec {f_1 },..., \ vec {f_n} . Причому: \ Vec {e_i} = \ sum_ {j = 1} ^ n p_ {ij} \ vec {f_j} . Матриця P e f , Отримана з коефіцієнтів p i j називатися матрицею переходу від базису e а базису f і пов'язує координати вектора в різних базисах наступному чином: \ Vec {x_e} = P_ {ef} \ vec {x_f} . Зв'язок між матрицями переходу між двома базисами: P_ {ef} = P_ {fe} ^ {-1} . Вектора можуть мати різну природу: направлені відрізки, матриці, числа, функції та інші, проте всі лінійні простору однієї розмірності ізоморфні між собою.


3.1. Операції над векторами

Нехай в лінійному просторі вибраний базис \ Vec {e} _1, \ dots, \ vec {e} _n і в ньому представлені вектора вектора \ Vec {a} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ vec {e} _i , \ Vec {b} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ beta_i \ vec {e} _i , Тоді сумою векторів \ Vec {a} + \ vec {b} буде називається наступний вектор: \ Vec {a} + \ vec {b} = \ sum_ {i = 1} ^ n (\ alpha_i + \ beta_i) \ vec {e} _i .
Нехай є число λ , Тоді твором вектора \ Vec {a} на число λ буде називатися наступний вектор: \ Lambda \ vec {a} = \ sum_ {i = 1} ^ n (\ lambda \ alpha_i) \ vec {e_i}
Два ненульових вектора \ Vec {a} і \ Vec {b} називаються колінеарними, якщо \ Exists \ lambda \ not = 0: \ vec {a} = \ lambda \ vec {b} .


3.2. Евклідові та нормовані простору

Функція (\ Vec {a}, \ vec {b}) (В іншому позначенні \ Vec {a} \ cdot \ vec {b} ), Що ставить будь-яким двом векторам \ Vec {a}, \ vec {b} у відповідність число і задовольняє наступним аксіомам:

  1. Лінійність по першому аргументу: (\ Alpha \ vec {a} _1 + \ beta \ vec {a} _2, \ vec {b}) = \ alpha (\ vec {a} _1, \ vec {b}) + \ beta (\ vec {a} _2, \ vec {b}) \ forall \ alpha, \ beta \ in F
  2. Ермітових симетричність: (\ Vec {a}, \ vec {b}) = \ overline {(\ vec {b}, \ vec {a})} (У разі якщо вектора визначені над полем дійсних чисел, то (\ Vec {a}, \ vec {b}) = (\ vec {b}, \ vec {a}) )
  3. Позитивна визначеність: \ Forall \ vec {a} (\ vec {a}, \ vec {a}) \ ge 0, (\ vec {a}, \ vec {a}) = 0 тоді і тільки тоді, коли \ Vec {a} = 0 ,

називається скалярним добутком вектора \ Vec {a} на вектор \ Vec {b} . Конечномерное лінійний простір з введеним скалярним добутком називається евклідовим. Для просторів над полем комплексних чисел іноді застосовують термін унітарне простір.

Два не нульових вектора \ Vec {a}, \ vec {b} називаються ортогональними, якщо (\ Vec {a}, \ vec {b}) = 0 .
Базис \ Vec {e} _1, \ dots, \ vec {e} _n евклідова простору називається ортогональним, якщо \ Forall i, j (i \ not = j) (\ vec {e_i}, \ vec {e_j}) = 0 . Базис називається ортонормированном, якщо (\ Vec {e_i}, \ vec {e_j}) = \ delta_ {ij} , Де δ i j - символ Кронекера.

Скалярний твір є білінійної формою, тому його можна записати в наступному вигляді:
(\ Vec {a}, \ vec {b}) = \ vec {a} ^ TA_e \ vec {b} , Де A e - Матриця Грамма.
У разі ортонормированного базису матриця буде одиничною, і тоді, якщо \ Vec {a} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ vec {e} _i , \ Vec {b} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ beta_i \ vec {e} _i , То
(\ Vec {a}, \ vec {b}) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ beta_i у разі дійсного простору і (\ Vec {a}, \ vec {b}) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i \ overline {\ beta_i} у разі комплексного.

Так само в лінійному просторі можна ввести поняття норми. Це функція, яка ставить у відповідність кожному вектору лінійного простору невід'ємне дійсне число задовольняє наступним аксіомам:

  1. \ | \ Vec {x} \ | \ ge 0 \ forall \ vec {x} \ in L, \ | \ vec {x} \ | = 0 тоді і тільки тоді, коли \ Vec {x} = \ vec {0} .
  2. \ | \ Alpha \ vec {x} \ | = | \ alpha | \ | \ vec {x} \ | \ forall \ alpha \ in F, \ forall \ vec {x} \ in L .
  3. \ | \ Vec {x + y} \ | \ leqslant \ | \ vec {x} \ | + \ | \ vec {y} \ | \ forall \ vec {x}, \ vec {y} \ in L .

Кут φ між векторами \ Vec {a}, \ vec {b} визначається, як cos \ phi = \ frac {(\ vec {a}, \ vec {b})} {\ | \ vec {a} \ | \ | \ vec {b} \ |}
.


4. Геометрична інтерпретація

Вектор в геометрії - упорядкована пара точок, одна з яких називається початком, друга - кінцем вектора. Операція складання вводиться за правилом трикутника: нехай є вектора \ Vec {u} і \ Vec {v} . Обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігалося з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

Операція множення вводиться наступним чином: нехай є вектор \ Vec {a} і число λ , Тоді вектор \ Lambda \ vec {a} виходить зміною довжини вектора \ Vec {a} в λ разів. Напрямок вектора зберігається, якщо λ> 0 і змінюється, якщо λ <0 .

Розкладання геометричного вектора по базису є упорядкована сукупність проекцій вектора на базисні вектора.

Два геометричних вектора називаються ортогональними, якщо вони перпендикулярні один одному.

Норма геометричного вектора визначається як довжина соответвуют йому відрізка. Найчастіше називається модулем вектора і позначається як | \ Vec {a} | .

Скалярний твір на безлічі геометричних векторів вводиться, як (\ Vec {a}, \ vec {b}) = | \ vec {a} | | \ vec {b} | cos (\ phi) . Скалярний твір будь-якого вектора \ Vec {a} на одиничний вектор є проекція вектора \ Vec {a} на напрям одиничного вектора.


4.1. Вільні, ковзаючі і фіксовані вектори

Іноді замість того, щоб розглядати в якості векторів безліч всіх рівних спрямованих відрізків, беруть тільки деяку модифікацію цієї множини ( фактормножество). Так, говорять про "вільних" (коли ототожнюються всі рівні за довжиною і напрямку спрямовані відрізки, зважаючи повністю рівними або одним і тим же вектором), "змінних" (ототожнюються між собою всі спрямовані відрізки, рівні в сенсі вільних векторів, початку і кінці яких розташовані на одній прямій) і "фіксованих" векторах (по суті справи, просто про спрямованих відрізках, коли різний початок означає вже нерівність векторів).

Кажуть, що вільні вектори \ Overrightarrow {AB} і \ \ Overrightarrow {CD} рівні, якщо знайдуться точки E і F такі, що чотирикутники A B F E і C D F E - паралелограми.

  • Зауваження. "Хитрощі" (введення додаткових точок) у визначенні рівності стосується, насамперед, випадку, коли точки A, B, C, D розташовуються на одній прямій. В іншому випадку визначення виглядає простіше:

Кажуть, що вільні вектори \ Overrightarrow {AB} і \ \ Overrightarrow {CD} , Що не лежать на одній прямій, рівні, якщо чотирикутник A B D C - паралелограм.

Кажуть, що ковзні вектори \ Overrightarrow {AB} і \ \ Overrightarrow {CD} рівні, якщо

  • точки A, B, C, D розташовуються на одній прямій,
  • вектори \ Overrightarrow {AB} і \ \ Overrightarrow {CD} рівні між собою як вільні вектори.

Неформально кажучи, що ковзає вектору дозволено рухатися уздовж його прямий без зміни величини і напряму.

  • Зауваження. Ковзні вектори особливо вживані в механіці. Найпростіший приклад ковзаючого вектора в механіці - сила. Перенесення такого початку вектора вздовж прямої, на якій він лежить, не змінює моменту сили ні щодо жодної точки; перенесення ж його на іншу пряму, навіть якщо не змінювати величини і напряму вектора, може викликати зміну його моменту (швидше навіть майже завжди викликає): тому не можна розглядати силу як вільний вектор.

Кажуть, що фіксовані вектори \ Overrightarrow {AB} і \ \ Overrightarrow {CD} рівні, якщо попарно збігаються точки A і C , B і D .

Вектором в залежності від ситуації випадку називається спрямований відрізок, а в інших випадках різні вектори - це різні класи еквівалентності спрямованих відрізків, що визначаються якимось конкретним ставленням еквівалентності. Причому ставлення еквівалентності може бути різним, визначаючи тип вектора ("вільний", "фіксований" ітд). Простіше кажучи, всередині класу еквівалентності всі вхідні в нього спрямовані відрізки розглядаються як абсолютно рівні, і кожен може однаково представляти весь клас.


4.2. Операції над векторами

4.2.1. Додавання

Операцію складання геометричних векторів можна визначити по різному, в залежності від ситуації і типу расматривается векторів:

Два вектора u, v і вектор їх суми


Правило трикутника. Для складання двох векторів \ Vec {u} і \ Vec {v} за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігалося з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

Правило паралелограма. Для складання двох векторів \ Vec {u} і \ Vec {v} за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початку збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка з їх загального початку.

А модуль (довжину) вектора суми \ Vec {v + u} = \ vec {u} + \ vec {v} визначають за теоремі косинусів | \ Vec {u + v} | = \ sqrt {| u | ^ 2 + | v | ^ 2-2 | u | \ cdot | v | \ cdot \ cos \ alpha}, де \ Alpha \, - Кут між векторами, коли початок одного збігається з кінцем іншого. Так само використовується формула | \ Vec {u + v} | = \ sqrt {| u | ^ 2 + | v | ^ 2 +2 | u | \ cdot | v | \ cdot \ cos \ alpha}, тепер \ Alpha \, - Кут між векторами виходять з однієї точки.

Складання двох ковзних векторів визначено лише у випадку, коли прямі, на яких вони розташовані, перетинаються. Тоді кожен з векторів переноситься уздовж своєї прямої в точку перетину цих прямих, після чого складання здійснюється за правилом паралелограма.

Складання двох фіксованих векторів визначено лише у випадку, коли вони мають спільний початок. Їх складання в цьому випадку здійснюється за правилом паралелограма.

Додавання колінеарних ковзних векторів

Якщо ковзні вектори паралельні, то при їх складанні головна складність полягає у визначенні прямій, на якій буде розташована їхня сума. (Величину і напрям вектора суми було б природно визначити точно так само, як і у випадку складання вільних векторів.) В механіці при вивченні статики для вирішення питання про складання паралельних сил, які, як відомо, задаються ковзаючими векторами, вводиться додаткова гіпотеза: до системи векторів можна додати два вектори, рівних за величиною, протилежних за напрямком та розташованих на одній прямій, що перетинає прямі, на яких розташовані дані вектора. Нехай, наприклад, треба скласти ковзні вектори \ Vec {a} і \ Vec {b} , Розташовані на паралельних прямих. Додамо до них вектори \ Vec {c} і - \ Vec {c} , Розташовані на одній прямій. Прямі, на яких розташовані вектори \ Vec {a} і \ Vec {c} , \ Vec {b} і - \ Vec {c} перетинаються. Тому визначені вектори

\ Vec {a} '= \ vec {a} + \ vec {c}, \ quad \ vec {b}' = \ vec {b} - \ vec {c}

Прямі, на яких розташовані вектори \ Vec {a} ' і \ Vec {b} ' , Перетинаються завжди, за винятком випадку, коли вектори \ Vec {a} і \ Vec {b} рівні за величиною і протилежні за напрямком, в якому говорять, що вектори \ Vec {a} і - \ Vec {a} утворюють пару (векторів).

Таким чином, під сумою векторів \ Vec {a} і \ Vec {b} можна розуміти суму векторів \ Vec {a} ' і \ Vec {b} ' , І ця сума векторів визначена коректно у всіх випадках, коли вектори \ Vec {a} і \ Vec {b} не утворюють пару.


4.2.2. Векторний добуток

Векторним добутком вектора \ Vec {a} на вектор \ Vec {b} називається вектор \ Vec {c} , Що задовольняє наступним вимогам:

  • довжина вектора \ Vec {c} дорівнює добутку довжин векторів \ Vec {a} і \ Vec {b} на синус кута φ між ними

\ Left | \ vec c \ right | = \ left | \ vec a \ right | \ cdot \ left | \ vec b \ right | \ sin \ varphi

  • вектор \ Vec {c}ортогонален кожному з векторів \ Vec {a} і \ Vec {b}
  • вектор \ Vec {c} спрямований так, що трійка векторів \ Vec {a} \ vec {b} \ vec {c} є правою.

Позначення: \ Vec c = \ left [\ vec a \ vec b \ right] = \ left [\ vec a, \ vec b \ right] = \ vec a \ times \ vec b

Геометрично векторний добуток \ Vec a \ times \ vec b є орієнтована площа паралелограма, побудованого на векторах \ Vec a, \ vec b , Представлена псевдовектори, ортогональним цього паралелограма.

Властивості векторного твори:

  1. При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак ( антикоммутативність), тобто \ Vec a \ times \ vec b = - (\ vec b \ times \ vec a)
  2. Векторне добуток має сочетательних властивістю щодо скалярного множника, тобто \ Lambda (\ vec a \ times \ vec b) = (\ lambda \ vec a) \ times \ vec b = \ vec a \ times (\ lambda \ vec b)
  3. Векторне добуток має розподільчим властивістю : (\ Vec a + \ vec b) \ times \ vec c = \ vec a \ times \ vec c + \ vec b \ times \ vec c

4.2.3. Змішане твір

Змішане твір (\ Vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c}) векторів \ Vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c} - скалярний твір вектора \ Vec {a} на векторний добуток векторів \ Vec {b} і \ Vec {c} :

(\ Vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c}) = \ left (\ vec {a}, [\ vec {b}, \ vec {c}] \ right) = \ vec {a } \ cdot \ left (\ vec {b} \ times \ vec {c} \ right)

(Рівність записано для різних позначень скалярного і векторного твору).

Іноді змішане твір називають потрійним скалярним добутком векторів, по всій видимості через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).

Геометрично змішане твір (\ Vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c}) є (орієнтований) обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах \ Vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c} .


4.3. Позначення

Вектор, представлений набором n елементів (компонент) a_1, a_2, \ ldots, a_n допустимо визначити таким чином:

\ Langle a_1, a_2, \ ldots, a_n \, \ rangle, \ \ left (a_1, a_2, \ ldots, a_n \, \ right) .

Для того, щоб підкреслити, що це вектор (а не скаляр), використовують межу зверху, стрілочку зверху, жирний або готичний шрифт:

\ Bar a, \ \ vec a, \ mathbf a, \ mathfrak A, \ \ mathfrak a.

Складання векторів майже завжди позначається знаком плюс:

\ Vec {a} + \ vec {b} .

Множення на число - просто написанням поруч, без спеціального знака, наприклад:

k \ vec {b} ,

причому число при цьому зазвичай пишуть зліва.

Множення на матрицю також позначають написанням поруч, без спеціального знака, але тут перестановка співмножників в загальному випадку впливає на результат. Дія лінійного оператора на вектор також позначається написанням оператора ліворуч, без спеціального знака.


5. Вектор як послідовність

Вектор - ( послідовність, кортеж) однорідних елементів. Це найбільш загальне визначення в тому сенсі, що може бути не задано звичайних векторних операцій взагалі, їх може бути менше, або вони можуть не задовольняти звичайним аксіомам лінійного простору. Саме в такому вигляді вектор розуміється в програмуванні, де, як правило, позначається ім'ям- ідентифікатором з квадратними дужками (наприклад, object []). Перелік властивостей моделює прийняте в теорії систем визначення класу і стану об'єкта. Так типи елементів вектора визначають клас об'єкта, а значення елементів - його стан. Втім, ймовірно, це вживання терміна вже виходить за рамки звичайно прийнятого в алгебрі, та й в математиці взагалі.

Багато математичні об'єкти (наприклад матриці, тензори, функції і т. д.), в тому числі володіють структурою більш загальної, ніж рахунковий або кінцевий впорядкований список, задовольняють аксіомам векторного простору, тобто є з точки зору алгебри векторами.


6. Історія

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрям і (необов'язково) точку програми. Зачатки векторного числення з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел ( Гаусс, 1831). Розвинені операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонів обчислення (вектор утворювали уявні компоненти кватерніони). Гамільтон запропонував сам термін вектор ( лат. vector , Що несе) і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл у своїх працях з електромагнетизму, тим самим звернувши увагу вчених на нове літочислення. Незабаром вийшли "Елементи векторного аналізу" Гіббса (1880-і роки), а потім Хевісайд ( 1903) надав векторному аналізу сучасного вигляду.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Вектор
4-вектор
Вектор-06Ц
Вектор (біологія)
Вектор Дарбу
Нульовий вектор
Хвильовий вектор
Одиничний вектор
Дотичний вектор
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru