Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Велика піввісь



План:


Введення

Велика піввісь - це один з основних геометричних параметрів об'єктів, утворених за допомогою конічного перетину.


1. Еліпс

Основні параметри еліпса

Великий віссю еліпса називається його найбільший діаметр, пряма проходить через центр і два фокуса. А велика піввісь становить половину цієї відстані, і таким чином, йде від центру, через фокус, і на край еліпса. А під кутом в 90 до великої півосі розташовується мала піввісь - це мінімальна відстань від центру еліпса до його краю. Для окремого випадку кола, велика і мала півосі рівні і є радіусами. Таким чином, можна думати про велику та малу півосях як про, свого роду, радіусах еліпса.

Довжина великої півосі a \, \! пов'язана з довжиною малої півосі b \, \! через ексцентриситет e \, \! і конічний перетин l \, \! , Наступним чином:

b = a \ sqrt {1-e ^ 2}, \,
\ Ell = a (1-e ^ 2), \,
a \ ell = b ^ 2. \,

Велика піввісь являє собою середнє значення найбільшого і найменшого відстані від точки еліпса до його фокусів. Розглянемо тепер рівняння в полярних координатах, з точкою на початку координат (полюс) і променем, що починається з цієї точки (полярна вісь):

r (1-e \ cos \ theta) = \ ell. \,

Отримаємо середні значення r = {\ ell \ over {1 + e}} \, \! і r = {\ ell \ over {1-e}} \, \! і велику піввісь a = {\ ell \ over 1-e ^ 2}. \,


2. Парабола

Графік побудови параболи найпростішої функції y = x 2

Параболу можна отримати як межа послідовності еліпсів, де один фокус залишається постійним, а інший відсувається в тому, зберігаючи l \, \! постійним. Таким чином a \, \! і b \, \! прагнуть до нескінченності, причому a \, \! швидше, ніж b \, \! .


3. Гіпербола

Велика піввісь гіперболи становить половину мінімальної відстані між двома гілками гіперболи, на позитивної і негативної сторони осі x \, \! (Зліва і справа відносно початку координат). Для гілки розташованої на позитивній стороні, піввісь буде дорівнює:

\ Frac {\ left (xh \ right) ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {\ left (yk \ right) ^ 2} {b ^ 2} = 1.

Якщо виразити її через конічний перетин і ексцентриситет, тоді вираз набуде вигляду:

a = {\ ell \ over e ^ 2-1} .

Пряма, що містить велику вісь гіперболи, називається поперечною віссю гіперболи. [1]


4. Астрономія

4.1. Орбітальний період

В небесній механіці орбітальний період T \, \! звернення малих тіл по еліптичній або круговій орбіті навколо більшого центрального тіла розраховується за формулою:

T = 2 \ pi \ sqrt {a ^ 3 \ over \ mu}

де:

a \, \! - Це розмір великої півосі орбіти
μ - Це стандартний гравітаційний параметр (en: standard gravitational parameter)

Слід звернути увагу, що в даній формулі для всіх еліпсів період обертання визначається значенням великої півосі, незалежно від ексцентриситету.

В астрономії велика піввісь, поряд з орбітальним періодом, є одним з найважливіших орбітальних елементів орбіти космічного тіла.

Для об'єктів Сонячної системи велика піввісь пов'язана з орбітальним періодом за третім законом Кеплера.

\ Frac {T_1 ^ 2} {T_2 ^ 2} = \ frac {a_1 ^ 3} {a_2 ^ 3}

де:

T \, \! - Орбітальний період в роках;
a \, \! - Велика піввісь в астрономічних одиницях.

Цей вислів є окремим випадком загального рішення задачі двох тіл Ісаака Ньютона :

T ^ 2 = \ frac {4 \ pi ^ 2} {G (M + m)} a ^ 3 \,

де:

G \, \! - гравітаційна постійна
M \, \! - Маса центрального тіла
m \, \! - Маса обертається навколо нього супутника. Як правило, маса супутника настільки мала в порівнянні з масою центрального тіла, що нею можна знехтувати. Тому, зробивши відповідні спрощення в цій формулі, отримаємо цю формулу в спрощеному вигляді, який наведено вище.

Орбіта руху супутника навколо спільного з центральним тілом центру мас (барицентра), являє собою еліпс. Велика піввісь використовується в астрономії завжди стосовно середній відстані між планетою та зіркою, в результаті орбіти планет Сонячної системи приведені до геліоцентричної системи, а не до системи руху навколо центру мас. Цю різницю найзручніше проілюструвати на прикладі системи Земля-Місяць. Відношення мас в цьому випадку становить 81,30059. Велика піввісь геоцентричної орбіти Місяця становить 384400 км. У той час як відстань до Місяця відносно центру мас системи Земля-Місяць становить 379700 км, через вплив маси Місяця центр мас знаходиться не в центрі Землі, а в 4700 км від нього. У підсумку середня орбітальна швидкість Місяця відносно центру мас становить 1,010 км / с, а середня швидкість Землі 0,012 км / с. А загальна сума цих швидкостей дає орбітальну швидкість Місяця 1,022 км / с; теж саме значення можна отримати, розглядаючи рух Місяця щодо центру Землі, а не центру мас.


4.2. Середня відстань

Часто говорять, що велика піввісь є середньою відстанню між центральним і орбітальним тілом. Це не зовсім вірно, тому що під середньою відстанню можна розуміти різні значення - залежно від величини, з якої виробляють усереднення:

  • усереднення по ексцентричної аномалії. В такому випадку середня відстань буде точно так само велика піввісь орбіти.
  • усереднення по істинної аномалії, тоді середня відстань буде точно так само малої півосі орбіти.
  • усереднення по середньої аномалії дасть значення середньої відстані, усереднене за часом:
a \ left (1 + \ frac {e ^ 2} {2} \ right). \,
  • усереднення по радіусу, яке отримують з наступного співвідношення:
\ Sqrt {ab} = a \ sqrt [4] {1-e ^ 2}. \,



4.3. Енергія; розрахунок великої півосі методом векторів стану

В небесній механіці велика піввісь a \, \! може бути розрахована методом векторів орбітального стану:

a = {- \ mu \ over {2 \ varepsilon}} \,

для еліптичних орбіт

a = {\ mu \ over {2 \ varepsilon}} \,

для гіперболічної траєкторії

і

\ Varepsilon = {v ^ 2 \ over {2}} - {\ mu \ over \ left | \ mathbf {r} \ right |}

(en: specific orbital energy)

і

\ Mu = G (M + m) \,

(Стандартний гравітаційний параметр), де:

v \, \! - Орбітальна швидкість супутника, на основі вектора швидкості,
r \, \! - Вектор положення супутника в координатах системи відліку, щодо якої мають бути обчислені елементи орбіти (наприклад, геоцентричний в площині екватора - на орбіті навколо Землі, або геліоцентричний в площині екліптики - на орбіті навколо Сонця),
G \, \! - гравітаційна стала,
M \, \! і m \, \! - Маси тіл.

Велика піввісь розраховується на основі загальної маси і питомої енергії, незалежно від значення ексцентриситету орбіти.


Примітки

  1. 7.1 Alternative Characterization - www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Велика п'ятниця
Велика Новосілка
Велика Влахія
Велика Клоака
Велика Касабланка
Велика рада
Велика Михайлівка
Велика Вірменія
Велика Албанія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru