Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Вимірна функція



План:


Введення

Вимірні функції представляють природний клас функцій, що зв'язують простору з виділеними алгебра, зокрема вимірними просторами.


1. Визначення

Нехай (X, \ mathcal {F}) і (Y, \ mathcal {G}) дві множини з виділеними алгебра підмножин. Тоді функція f: X \ to Y називається \ Mathcal {F} / \ mathcal {G} -Вимірної, або просто вимірної, якщо повний прообраз будь-якого безлічі з \ Mathcal {G} належить \ Mathcal {F} , Тобто

\ Forall B \ in \ mathcal {G}, \; f ^ {-1} (B) \ in \ mathcal {F},

де f - 1 (B) означає повний прообраз множини B .


2. Зауваження

  • Якщо \, X і \, Y - топологічні простори, і алгебри \ Mathcal {F} і \ Mathcal {G} явно не вказані, то передбачається, що це борелевскіе σ-алгебри відповідних просторів.
  • Зміст даного визначення в тому, що якщо на множині \, X задана міра, то дана функція індукує (передає) цей захід і на безліч \, Y .

3. Вещественнозначние вимірні функції

Нехай дана функція f: (X, \ mathcal {F}) \ to (\ mathbb {R}, \ mathcal {B} (\ mathbb {R})) . Тоді дане вище визначення вимірності еквівалентно будь-якому з нижченаведених:

  • Функція f вимірна, якщо
\ Forall c \ in \ mathbb {R}, \; \ {x \ in X \ mid f (x) \ le c \} \ in \ mathcal {F} .
  • Функція f вимірна, якщо
\ Forall a, b \ in \ mathbb {R} , Таких що a \ le b , Маємо \ {X \ in X \ mid f (x) \ in | a, b | \} \ in \ mathcal {F} ,

де | A, b | позначає будь-який інтервал, відкритий, напіввідкритий або замкнутий.


4. Пов'язані визначення


5. Приклади


6. Історія

У 1901 році французький математик Лебег, на основі побудованої їм теорії інтеграла Лебега, поставив завдання: знайти клас функцій, більш широкий, ніж аналітичні, однак при цьому допускає застосування до нього багатьох аналітичних методів. До цього часу вже існувала загальна теорія міри, розроблена Е. Борелем (1898), і перші роботи Лебега спиралися на борелевскую теорію. Однак у дисертації Лебега (1902) теорія міри була істотно узагальнена до "Заходи Лебега". Лебег визначив поняття вимірних множин, обмежених вимірних функцій та інтегралів для них, довів, що всі "звичайні" обмежені функції, досліджувані в аналізі, вимірні, і що клас вимірних функцій замкнутий щодо основних аналітичних операцій, включаючи операцію граничного переходу. У 1904 році Лебег узагальнив свою теорію, знявши умова обмеженості функції.

Дослідження Лебега знайшли широкий науковий відгук, їх продовжили і розвинули багато математиками: Е Борель, М. Рісс, Дж. Віталі, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузін, Д. Ф. Єгоров та ін Було введено поняття збіжності в міру (1909), глибоко досліджені топологічні властивості класу вимірних функцій.

Праці Лебега мали ще одне важливе концептуальне значення: вони були повністю засновані на спірній в ті роки канторовской теорії множин, і плідність лебеговской теорії послужила вагомим аргументом для прийняття теорії множин як фундаменту математики.


Література

  • Колмогоров А. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 4-е вид., М.: Наука, 1976, 544 с.
  • Медведєв Ф. А. До історії поняття вимірної функції. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Фізматгіз, 1959. - № 12. - С. 481-492.
  • Xалмош П. Теорія міри. М.: Видавництво іноземної літератури, 1953.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функція
R-функція
θ-функція
Функція Аккермана
Функція Уолша
Атомарна функція
Фінітних функція
Хі-функція Лежандра
Функція Мебіуса
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru