Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Випадкова величина



План:


Введення

Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті досвіду одне з багатьох значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її вимірювання не можна точно передбачити.

Формальне математичне визначення наступне: нехай (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P}) - ймовірнісна простір, тоді випадковою величиною називається функція X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} , вимірна щодо \ Mathcal {F} і борелевской σ-алгебри на \ Mathbb {R} . Ймовірнісна поведінка окремої (незалежно від інших) випадкової величини повністю описується її розподілом.


1. Визначення

1.1. Простір елементарних подій

Простір елементарних подій Ω у разі кидання гральної кістки

Якщо кидається гральна кістка, то в результаті верхньою межею може виявитися одна з шести граней з кількістю точок від однієї до шести. Випадання будь-якої межі в даному випадку в теорії ймовірностей називається елементарним подією ~ \ Omega_k [1], тобто

  • ~ \ Omega_1 - Грань з однією точкою;
  • ~ \ Omega_2 - Грань з двома точками;
  • ...
  • ~ \ Omega_6 - Грань з шістьма точками.

Безліч всіх граней ~ \ {\ Omega_1, \ ldots, \ omega_6 \} утворює простір елементарних подій ~ \ Omega , підмножини якого називаються випадковими подіями ~ A_n [1]. У разі одноразового підкидання ігровий кістки прикладами подій є

  • випадання межі з непарною кількістю точок, тобто подія ~ A - Це випадання межі з однією точкою або грані з трьома крапками, або грані з п'ятьма точками). Математично подія ~ A записується як безліч, що містить елементарні події: ~ \ Omega_1 , ~ \ Omega_3 і ~ \ Omega_5 . Таким чином, ~ A = \ {~ \ omega_1, ~ \ omega_3, ~ \ omega_5 \} ;
  • випадання межі з парною кількістю точок, тобто подія ~ A - Це випадання межі з двома крапками або межі з чотирма точками, або грані з шістьма точками. Математично подія ~ A записується як безліч, що містить елементарні події: ~ \ Omega_2 , ~ \ Omega_4 і ~ \ Omega_6 . Таким чином, ~ A = \ {~ \ omega_2, ~ \ omega_4, ~ \ omega_6 \} ;

1.2. Алгебра подій

Безліч випадкових подій утворює алгебру подій \ Mathfrak {A} [2], якщо виконуються наступні умови:

  1. \ Mathfrak {A} містить пусте безліч ~ \ Varnothing .
  2. Якщо подія A належить \ Mathfrak {A} , То і його додаток належить \ Mathfrak {A} . За допомогою кванторів це записує так: \ Forall A \ in \ mathfrak {A} : \ Omega \ setminus A \ in \ mathfrak {A} .
  3. Якщо A 1 і A 2 належать \ Mathfrak {A} , То їх об'єднання також належить ~ \ Mathfrak {A} . За допомогою кванторів це записується таким чином ( \ Forall A_1, A_2 \ in \ mathfrak {A} ) ( A_1 \ cup A_2 ) \ In \ mathfrak {A} .

Якщо замість третього умови \ Mathfrak {A} задовольняє іншій умові: об'єднання рахункового підродини з \ Mathfrak {A} також належить ~ \ Mathfrak {A} , То безліч випадкових подій \ Mathfrak {A} утворює σ-алгебру подій.

σ -Алгебра подій є окремим випадком σ-алгебри множин.

Найменша серед усіх можливих σ -Алгебр, елементами якої є всі інтервали на речовій прямий, називається борелевской σ-алгеброю ~ \ Mathcal {B} на множині дійсних чисел ~ \ Mathbb {R} .


1.3. Ймовірність

Якщо кожному елементарному події поставити у відповідність число p_i \ in [0,1] , Для якого виконується умова:

~ \ Sigma p_i = 1 ,

то вважається, що задані ймовірності елементарних подій p_i \ in [0,1] . Ймовірність події, як рахункового підмножини простору елементарних подій, визначається як сума ймовірностей тих елементарних подій, які належать цій події. Вимога счетності важливо, так як, інакше сума буде не визначена.

Розглянемо приклад визначення ймовірності різних випадкових подій. Наприклад, якщо подія є порожнім безліччю, то його вірогідність дорівнює нулю [3] :

P (~ \ varnothing) = 0 .

Якщо подією є простір елементарних подій, то його вірогідність дорівнює одиниці:

P (~ \ Omega) = 1 .

Ймовірність події (підмножини простору елементарних подій) дорівнює сумі ймовірностей тих елементарних подій, які включає в себе розглядається подія.



1.4. Визначення випадкової величини

Випадковою величиною називається функція ~ \ Xi \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} , вимірна щодо \ Mathcal {F} і борелевской σ-алгебри на \ Mathbb {R} [4].

Випадкову величину можна визначити і іншим еквівалентним способом [4]. Функція ~ \ Xi \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} називається випадковою величиною, якщо для будь-яких дійсних чисел a і b безліч подій ~ \ Omega , Таких що ~ \ Xi (\ omega) \ in (a, b) , Належить \ Mathcal {F} .


2. Класифікація

Випадкові величини можуть приймати дискретні, безперервні і дискретно-безперервні значення. Відповідно випадкові величини класифікують на дискретні, безперервні і дискретно-безперервні (змішані).

На схемі випробувань може бути визначена як окрема випадкова величина (одномірна / скалярна), так і ціла система одновимірних взаємозалежних випадкових величин (багатовимірна / векторна).

  • Приклад змішаної випадкової величини - час очікування при переході через автомобільну дорогу в місті на нерегульованому перехресті.
  • У нескінченних схемах (дискретних або безперервних) вже спочатку елементарні результати зручно описувати кількісно. Наприклад, номери градацій типів нещасних випадків при аналізі ДТП; час безвідмовної роботи приладу при контролі якості і т. п.
  • Числові значення, що описують результати дослідів, можуть характеризувати не обов'язково окремі елементарні випадки в схемі випробувань, але й відповідати якимось більш складним подіям.

З одного боку, з одного схемою випробувань і з окремими подіями в ній одночасно може бути пов'язано відразу кілька числових величин, які потрібно аналізувати спільно.

  • Наприклад, координати ( абсциса, ордината) якогось розриву снаряда при стрільбі по наземній цілі; метричні розміри (довжина, ширина і т. д.) деталі при контролі якості; результати медобстеження (температура, тиск, пульс тощо) при діагностиці хворого; дані перепису населення ( за віком, статтю, достатку та ін.)

Оскільки значення числових характеристик схем випробування відповідають у схемі деяким випадковим подіям (з їх певними імовірностями), то і самі ці значення є випадковими (з тими ж імовірностями). Тому такі числові характеристики та прийнято називати випадковими величинами. При цьому розклад ймовірностей за значеннями випадкової величини називається законом розподілу випадкової величини.


3. Методи опису

Частково задати випадкову величину, описавши цим всі її імовірнісні властивості як окремої випадкової величини, можна за допомогою функції розподілу, щільності ймовірності і характеристичної функції, визначаючи ймовірності можливих її значень. Функція розподілу F (x) є ймовірністю того, що значення випадкової величини менше дійсного числа x. З цього визначення випливає, що ймовірність попадання значення випадкової величини в інтервал [a, b) дорівнює F (b)-F (a). Перевага використання функції розподілу полягає в тому, що з її допомогою вдається досягти однакового математичного опису дискретних, безперервних і дискретно-безперервних випадкових величин. Тим не менш, існують різні випадкові величини, що мають однакові функції розподілу.

Якщо випадкова величина дискретна, то повне і однозначне математичне опис її розподілу визначається зазначенням ймовірностей p k = P (ξ = x k) всіх можливих значень цієї випадкової величини. Як приклад розглянемо біноміальний і пуассоновский закони розподілу.

Біномінальної закон розподілу описує випадкові величини, значення яких визначають кількість "успіхів" і "невдач" при повторенні досвіду N разів. У кожному досвіді "успіх" може настати з імовірністю p, "невдача" - з імовірністю q = 1-p. Закон розподілу в цьому випадку визначається формулою Бернуллі :

P_ {k, n} = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ {n-k} .

При прагненні n до нескінченності твір np залишається рівною константі λ , А закон розподілу сходиться до закону Пуассона, який описується наступною формулою:

p (k) \ equiv \ mathbb {P} (Y = k) = \ frac {\ lambda ^ k} {k!} \, e ^ {- \ lambda} ,

де


4. Найпростіші узагальнення

Випадкова величина, взагалі кажучи, може приймати значення в будь-якому вимірному просторі. Тоді її частіше називають випадковим вектором або випадковим елементом. Наприклад,

  • Вимірна функція X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ n називається n-мірним випадковим вектором (щодо борелевской σ -Алгебри на \ Mathbb {R} ^ n ).
  • Вимірна функція X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {C} ^ n називається n-мірним комплексним випадковим вектором (також щодо відповідної борелевской σ -Алгебри).
  • Вимірна функція, що відображає розподіл простір у простір підмножин деякого (кінцевого) множини, називається (кінцевим) випадковим безліччю.

Примітки

  1. 1 2 Чернова Н. І. Глава 1. 2. Елементарна теорія ймовірностей / / Теорія ймовірностей - www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html # SECTION000222 - Навчальний посібник. - К.: Новосибірський гос. ун-т, 2007. - 160 с.
  2. Чернова Н. І. Глава 3. 1. Алгебра та сигма-алгебра подій / / Теорія ймовірностей - www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html # SECTION000410 - Навчальний посібник. - К.: Новосибірський гос. ун-т, 2007. - 160 с.
  3. Чернова Н. І. ГЛАВА 1 2. Елементарна теорія ймовірностей / / Теорія ймовірностей - www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html # SECTION000225 - Навчальний посібник. - К.: Новосибірський гос. ун-т, 2007. - 160 с.
  4. 1 2 Чернова Н. І. Глава 6. Випадкові величини та їх розподілу 1. Випадкові величини / / Теорія ймовірностей - www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node23.html # SECTION000710 - Навчальний посібник. - К.: Новосибірський гос. ун-т, 2007. - 160 с.

Література

  • Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірності - 8-е изд. доп. і испр .. - М .: Едіторіал УРСС, 2005. - 448 с.
  • Математичний енциклопедичний словник / Гол. ред. Прохоров Ю. В. - 2-е вид. - М .: "Радянська енциклопедія", 1998. - 847 с.
  • Тихонов В.І., Харисов В. Н. Статистичний аналіз і синтез радіотехнічних пристроїв і систем - Навчальний посібник для ВНЗ. - М .: Радіо і зв'язок, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0.
  • Чернова Н. І. Теорія ймовірностей - www.nsu.ru / mmf / tvims / chernova / tv / lec / lec.html - Навчальний посібник. - К.: Новосибірський гос. ун-т, 2007. - 160 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Випадкова подія
Фотометрична величина
Векторна величина
Зоряна величина
Величина (значення)
Скалярна величина
Інтенсивна величина
Безрозмірна величина
Фізична величина
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru