Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Висота трикутника



План:


Введення

Висота у трикутниках різного типу

Висота трикутника - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямий, що містить протилежну сторону. Залежно від типу трикутника висота може міститися всередині трикутника (для остроугольного трикутника), збігатися з його стороною (бути катетом прямокутного трикутника) або проходити поза трикутника (для тупоугольние трикутника).


1. Властивості

Triangle.Orthocenter.svg
  • Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається Ортоцентр. - Це твердження легко довести, використовуючи векторне тотожність, справедливе для будь-яких точок A, B, C, E, не обов'язково навіть лежать в одній площині:
\ Overrightarrow {EA} \ cdot \ overrightarrow {BC} + \ overrightarrow {EB} \ cdot \ overrightarrow {CA} + \ overrightarrow {EC} \ cdot \ overrightarrow {AB} = 0

(Для доказу тотожності слід скористатися формулами

\ Overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {EB} - \ overrightarrow {EA}, \, \ overrightarrow {BC} = \ overrightarrow {EC} - \ overrightarrow {EB}, \, \ overrightarrow {CA} = \ overrightarrow {EA } - \ overrightarrow {EC}

В якості точки E слід взяти перетин двох висот трикутника.)

Мінімальна з висот трикутника володіє багатьма екстремальними властивостями. Наприклад:

  • Мінімальна ортогональна проекція трикутника на прямі, що лежать у площині трикутника, має довжину, рівну найменшою з його висот.
  • Мінімальний прямолінійний розріз в площині, через який можна протягти непохитну трикутну пластину, повинен мати довжину, рівну найменшою з висот цієї пластини.
  • При безперервному русі двох точок по периметру трикутника назустріч один одному, максимальна відстань між ними за час руху від першої зустрічі до другої, не може бути менше довжини найменшою з висот трикутника.

Мінімальна висота в трикутнику завжди проходить всередині цього трикутника.


2. Основні співвідношення

  • h_a = \ frac {2S} {a},

де S - площа трикутника, a - сторона трикутника, на яку опущена висота.

h_c = \ frac {1} {2} \ sqrt {4a ^ 2-c ^ 2},

де c - Заснування.

  • h = \ frac {a \ sqrt 3} {2} - Висота в рівносторонньому трикутнику.

3. Теорема про висоту прямокутного трикутника

Якщо висота довжиною h, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу довжиною c на відрізки m і n, відповідні b і a, то вірні такі рівності:

  • h 2 = n m
  • a 2 = c n ; b 2 = c m
  • h c = a b

4. Мнемонічне вірш

Підйом
схожа на кота,
Який, вигнувши спину,
І під прямим кутом
З'єднає вершину
І бік хвостом.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Геометрія трикутника
Галактика Трикутника
Медіана трикутника
Галактика Трикутника
Центроид трикутника
Висота польоту
Відносна висота
Геодезична висота
Безіменна висота
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru