Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Власні вектори, значення і простору



План:


Введення

Синім кольором позначений власний вектор. Він, на відміну від червоного, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню λ = 1 . Будь-який вектор, паралельний синього вектору, також буде власним, відповідним тому ж власному значенню. Безліч всіх таких векторів (разом з нульовим) утворює власне підпростір.

1. Визначення власного числа, власного і кореневого векторів лінійного оператора

Нехай L - лінійний простір над полем K , A \ colon L \ to L - лінійне перетворення.

Власним вектором лінійного перетворення A називається такий ненульовий вектор x \ in L , Що для деякого \ Lambda \ in K

\ A x = \ lambda x

Власним значенням лінійного перетворення A називається таке число \ Lambda \ in K , Для якого існує власний вектор, тобто рівняння A x = λ x має ненульове рішення x \ in L .

Спрощено кажучи, власний вектор - будь-який ненульовий вектор x, який відображається оператором в колінеарний λ x , А відповідний скаляр λ називається власним значенням оператора.

Власним підпростором лінійного перетворення A для даного власного числа \ Lambda \ in K називається безліч всіх власних векторів x \ in L , Відповідних даному власному числу (доповнене нульовим вектором). Позначимо його E λ . За визначенням,

E_ {\ lambda} = \ ker (A-\ lambda \ cdot E)

де E - Одиничний оператор.

Корнєвим вектором лінійного перетворення A для даного власного значення \ Lambda \ in K називається такий ненульовий вектор x \ in L , Що для деякого натурального числа m

(A-\ lambda \ cdot E) ^ m x = 0

Якщо m є найменшим з таких натуральних чисел (тобто (A-\ lambda \ cdot E) ^ {m-1} x \ neq 0 ), То m називається висотою кореневого вектора x .

Корнєвим підпростором лінійного перетворення A для даного власного числа \ Lambda \ in K називається безліч всіх кореневих векторів x \ in L , Відповідних даному власному числу (доповнене нульовим вектором). Позначимо його V λ . За визначенням,

V_ {\ lambda} = \ bigcup_ {m = 1} ^ {\ infty} \ ker (A-\ lambda \ cdot E) ^ m = \ bigcup_ {m = 1} ^ {\ infty} V_ {m, \ lambda },

де V_ {m, \ lambda} = \ ker (A-\ lambda \ cdot E) ^ m


2. Властивості власних значень, власних і кореневих векторів і просторів

2.1. Загальний випадок

Підпростір V \ subset L називається інваріантним підпростором лінійного перетворення A ( A -Інваріантним підпростором), якщо

AV \ subseteq V .
  • Власні підпростору E λ , Кореневі підпростори V λ і підпростору V m, λ лінійного оператора A є A -Інваріантними.
  • Власні вектори є кореневими (висоти 1): E_ {\ lambda} \ subseteq V_ {\ lambda} ;
  • Кореневі вектори можуть не бути власними: наприклад, для перетворення двовимірного простору, заданого матрицею
A = \ begin {pmatrix} 1 & 1 \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix}
(A - E) 2 = 0 , І всі вектори є кореневими, відповідними власному числу 1, але A має єдиний власний вектор (з точністю до множення на число).
  • Для різних власних значень кореневі (і, отже, власні) підпростору мають тривіальне (нульове) перетин:
V_ {\ lambda} \ bigcap V_ {\ mu} = \ {0 \} якщо \ Lambda \ neq \ mu .

2.2. Скінченновимірні лінійні простору

Вибравши базис в n -Мірному лінійному просторі L , Можна зіставити лінійному перетворенню A \ colon L \ to L квадратну n \ times n матрицю і визначити для неї характеристичний многочлен матриці

P_A (\ lambda) = \ det (A-\ lambda \ cdot E) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} a_k \ lambda ^ k .
  • Характеристичний многочлен не залежить від базису в L . Його коефіцієнти є інваріантами оператора A . Зокрема, a_0 = \ det \, A , a_ {n-1} = \ operatorname {tr} \, A не залежать від вибору базису.
  • Власні значення, і тільки вони, є корінням характеристичного многочлена матриці.
  • Кількість різних власних значень не може перевищувати розмір матриці.
  • Якщо вибрати в якості базисних векторів власні вектора оператора, то матриця A в такому базисі стане діагональної, причому на діагоналі будуть стояти власні значення оператора. Зазначимо, однак, що далеко не будь-яка матриця допускає базис з власних векторів (загальна структура описується нормальної Жорданових формою).
  • Для позитивно певної симетричної матриці A процедура знаходження власних значень і власних векторів є ні чим іншим як пошуком напрямів і довжин півосей відповідного еліпса.

Нехай числове поле алгебраїчно замкнуто (наприклад, є полем комплексних чисел). Тоді характеристичний многочлен розкладається в добуток n лінійних множників

P_A (\ lambda) = \ prod_ {i = 1} ^ n (\ lambda - \ lambda_i)
де \ Lambda_i \; (i = 1, \ ldots, n) - Власні значення; деякі з λ i можуть бути рівні. Кратність власного значення λ i - Це число множників рівних λ - λ i в розкладанні характеристичного многочлена на лінійні множники (називається також алгебраїчна кратність власного значення).
  • Розмірність кореневого простору V_ {\ lambda_i} дорівнює кратності власного значення.
  • Векторний простір L розкладається в пряму суму кореневих підпросторів (по теоремі про Жорданових формі):
L = \ bigoplus_ {\ lambda_i} V_ {\ lambda_i}
де підсумовування проводиться по всіх λ i - Власним числах A .
  • Геометрична кратність власного значення λ i - Це розмірність відповідного власного підпростору E_ {\ lambda_i} ; Геометрична кратність власного значення не перевершує його кратності, оскільки E_ {\ lambda_i} \ subseteq V_ {\ lambda_i}

2.3. Гільбертові простору над полем комплексних чисел і нормальні оператори

Наявність скалярного твору дозволяє виділити важливі класи операторів, власні значення та власні вектори яких мають ряд додаткових корисних властивостей.

Нормальним оператором називається оператор A , Комутуючих зі своїм сполученим A * :

A A * = A * A .

Приватними класами нормальних операторів є самосопряженним (ермітових) оператори ( A = A * ), Антіермітови оператори ( A = - A * ) І унітарні оператори ( A - 1 = A * ), А також їх речові варіанти: симетричні оператори, антисиметричною оператори і ортогональні перетворення.

  • Всі кореневі вектори нормального оператора є власними.
  • Власні вектори нормального оператора A , Які відповідають різним власним значенням, ортогональні. Тобто якщо A x = λ x , A y = μ y і \ Lambda \ neq \ mu , То (X, y) = 0 . (Для довільного оператора це невірно.)
  • Всі власні значення самосопряженним оператора є речовими.
  • Всі власні значення антіермітового оператора є уявними.
  • Всі власні значення унітарного оператора лежать на одиничному колі | Λ | = 1 .
  • У конечномерное випадку, сума розмірностей власних підпросторів нормального оператора A \ colon \ C ^ n \ to \ C ^ n , Які відповідають усім власним значенням, дорівнює розмірності матриці, а векторний простір розкладається в ортогональну суму власних підпросторів:
L = \ bigoplus_ {\ lambda_i} E_ {\ lambda_i},
де підсумовування проводиться по всіх λ i - Власним числах A , А E_ {\ lambda_i} взаємно ортогональні для різних λ i .
  • Остання властивість для нормального оператора над \ C є характеристичним: оператор нормальний тоді і тільки тоді, коли його матриця має діагональний вигляд в якому-небудь ортонормированном базисі (в конечномерное випадку).

2.4. Позитивні матриці

Квадратна речова n \ times n матриця A = (a i j) називається позитивною, якщо всі її елементи позитивні: a i j> 0 .

Теорема Перрона (окремий випадок теореми Перрона-Фробеніуса): Позитивна квадратна матриця A має позитивне власне значення r , Яке має алгебраїчну кратність 1 і строго перевершує абсолютну величину будь-якого іншого власного значення цієї матриці. Власному значенню r відповідає власний вектор e r , Всі координати якого суворо позитивні. Вектор e r - Єдиний власний вектор A (З точністю до множення на число), що має невід'ємні координати.

Власний вектор e r може бути обчислений за допомогою прямих ітерацій: виберемо довільний початковий вектор v 0 з позитивними координатами. Покладемо:

v_ {k +1} = \ frac {A v_ {k}} {\ | A v_ {k} \ |}

Послідовність v k сходиться до нормованого власному вектору e_r / \ | e_r \ | .

Інша область застосування методу прямих ітерацій - пошук власних векторів позитивно певних симетричних операторів.


Література

  • Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. - М .: Наука, 1966. - 576 с.
  • Вілкінсон Д. Х. Алгебраїчна проблема власних значень. - М .: Наука, 1970. - 564 с.
  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри М.: Наука, 1971.
  • Тадея Д. К. Лекції з алгебри. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич І. Р., Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ізотропності простору
Розмірність простору
Однорідність простору
Кривизна простору-часу
Метрика простору-часу
Філософія простору-часу
Психологія сприйняття простору
Простору Бервальде-Моора
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru