Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Вписана окружність



План:


Введення

Коло, вписане в многокутник ABCDE

Коло називається вписаною в кут, якщо вона лежить всередині кута і стосується його сторін. Центр кола, вписаного в кут, лежить на бісектрисі цього кута.

Коло називається вписаною в опуклий багатокутник, якщо вона лежить всередині даного багатокутника і стосується всіх прямих, що проходять через його боку.


1. У многоугольнике

Якщо в даний опуклий багатокутник можна вписати коло, то бісектриси усіх кутів даного багатокутника перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

  • Радіус вписаного в багатокутник кола дорівнює відношенню його площі до напівпериметр
r = \ frac {S} {p}

2. У трикутнику

Властивості вписаного кола:

  • У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одну.
  • Центр O вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину биссектрис трикутника.
  • Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює
r = \ frac {S} {p} = \ sqrt {\ frac {(p-a) (p-b) (p-c)} {p}}
  • Якщо AB - підстава рівнобедреного \ Triangle ABC , То коло, що стосується сторін \ Angle ACB в точках A і B, проходить через точку О.
  • Формула Ейлера: R 2 - 2 R r = | O I | 2 , Де R - Радіус описаного навколо трикутника кола, r - Радіус вписаного в нього кола, O - центр описаного кола, I - центр вписаного кола.
  • Якщо пряма, що проходить через точку О паралельно стороні AB, перетинає сторони BC та CA в точках A 1 і B 1, то A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 .
  • Точки дотику вписаного в трикутник T окружності з'єднані відрізками - виходить трикутник T 1
  • Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює \ Frac {a + b-c} {2} .
  • Відстань від вершини З трикутника до точки, в якій вписана окружність стосується боку одно d = \ frac {a + b-c} {2} = p-c .
  • Відстань від вершини C до центру вписання кола одно l_c = \ frac {r} {\ sin (\ frac {\ gamma} {2})} , Де r - радіус вписання кола, а γ - кут вершини C.
  • Відстань від вершини C до центру вписання кола може так само бути знайдено за формулою l_c = \ sqrt {(p-c) ^ 2 + r ^ 2}
  • Теорема про тризуба або про трилисника: Якщо W - Точка перетину бісектриси кута A з описаної колом, а I - Центр вписаного кола, то | W I | = | W B | = | W C | .
  • Лемма Вертера [ ]: Нехай окружність V стосується сторін A B , A C і дуги B C описаної окружності трикутника A B C . Тоді точки дотику кола V зі сторонами і центр вписаного кола трикутника A B C лежать на одній прямій. Це твердження - окремий випадок леми Накаями [ джерело? ].

3. У чотирикутнику

Описаний чотирикутник, якщо у нього немає самоперетинів ("простий"), повинен бути опуклим.

У опуклий чотирикутник ABCD можна вписати окружність тоді і тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні: A B + C D = B C + A D .

У всякому описаному чотирикутнику середини діагоналей і центр вписаного кола лежать на одній прямій ( теорема Ньютона). На ній же лежить середина відрізка з кінцями у точках перетину протилежних сторін чотирикутника. Ця пряма називається прямий Гауса. Центр вписаною в чотирикутник кола - точка перетину висот трикутника з вершинами в точці перетину діагоналей і точках перетину протилежних сторін (теорема Брокар).


4. У сферичному трикутнику

Вписана окружність для сферичного трикутника - це коло, що стосується всіх його сторін.

  • Тангенс радіуса [1] вписаною в сферичний трикутник кола дорівнює [2] :73-74
\ Operatorname {tg} r = \ sqrt {\ frac {\ sin (pa) \ sin (pb) \ sin (pc)} {\ sin p}} \,
  • Вписана в сферичний трикутник коло належить сфері. Радіус, проведений з центру сфери через центр вписаного кола перетне сферу в точці перетину бісектрис кутів (дуг великих кругів сфери, ділять кути навпіл) сферичного трикутника [2] :20-21 .

Примітки

  1. Тут радіус кола вимірюється по сфері, тобто представляє собою градусну міру дуги великого кола, що з'єднує точку перетину радіуса сфери, проведеного з центру сфери через центр кола, зі сферою і точку дотику окружністю сторони трикутника.
  2. 1 2 Степанов М. М. Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 154 с.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Окружність
Описана окружність
Окружність Аполлонія
Одинична окружність
Вневпісанная окружність
Стична окружність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru