1. Поняття математичного вузла

Вузли - предмети прості і наочні. Ви, звичайно, зустрічалися з ними в повсякденному житті, але, може бути, не підозрювали, що це ще й математичні об'єкти; більш того, в останні 20 років математики та фізики з величезним інтересом і дивовижною інтенсивністю стали займатися відповідними теоріями, особливо теорією вузлів . Досить сказати, що за цей час чотири медалі Філдса були отримані саме за роботи, пов'язані з цією теорією. А саме, лауреатами медалі Філдса в різний час стали Володимир Дрінфельд з Харкова, який працює в Чикаго, Максим Концевич з Москви, що працює в Парижі, Воган Джонс з Нової Зеландії, який працює в Каліфорнії, і Едвард Віттен, фізик-теоретик, який працює в Прінстоні.

Example of Knots.jpg

Чим відрізняється математичний вузол від вузлів, які зав'язують на краватках або на шнурках черевик? Природно, в математиці вузол - це якась абстракція: розглядається не мотузка і не шнур, а нескінченно тонка, гнучка і розтяжна нитку. Крім того, розглядаючи математичний вузол, потрібно або якось зафіксувати його кінці (зазвичай говорять, що один кінець йде в нескінченність "вгору", а інший - в нескінченність "вниз", або просто з'єднати їх (див. мал.). В останньому випадку модель вузла - замкнута несамопересекающаяся крива у просторі. Будемо припускати, що ця крива є ламаною, тобто складається з відрізків (втім, на малюнках ми майже завжди будемо зображати вузли у вигляді гладких кривих, вважаючи окремі ланки ламаної. Найпростіший вузол - тривіальний (проста окружність). Вузол називається нетривіальним, якщо він не еквівалентний тривіальним, тобто його не можна "поворушити" (можливо розтягуючи, але не розриваючи мотузку) так, щоб він перетворився на тривіальний.

Трилисник і вісімка

Ось кілька прикладів нетривіальних вузлів: вузол на рис. зліва називається трилисником, вузол на рис. праворуч - вісімкою. (Зазвичай вузли розглядають з орієнтацією, тобто вважають, що заданий напрямок обходу кривої, цей напрямок зображується стрілкою.)


2. Група вузлів

Knot's multiplication 2.jpg

Якщо вважати вузли кривими, кінці яких йдуть у нескінченність, то множення вузлів визначається природним чином: твір вузлів а й b - це просто нитка, на якій зав'язаний спочатку вузол а, потім вузол b (рис. праворуч). Це множення асоціативно: для будь-яких вузлів а, b і с вірно рівність: (ab) c = a (bc). Ясно, що тривіальний вузол (тобто просто вертикальна пряма) є одиничним елементом. Жоден нетривіальний вузол не має зворотної. Покажемо, що два вузли, зав'язані на одній мотузці, можна переставити. Дійсно, нехай на нитки зав'язаний спочатку вузол a, потім вузол b. Спершу, не чіпаючи вузол a, "затягнемо" вузол b в маленький вузлик. Потім укладемо цей вузлик в маленький скляну кульку і будемо рухати його вгору по нитці. У підсумку ця кулька виявиться нагорі, і його можна перетворити знову у вузол b. Таким чином, умножніе вузлів коммутативно: ab = ba.
Отже, вірна

Теорема про вузли. Вузли утворюють асоціативний і комутативну систему щодо множення.

У цій системі є одиничний елемент, але немає зворотних.

3. Комп'ютер розв'язує вузли

Перший крок у цій теорії полягає у зведенні (складної) просторової задачі розв'язування вузла до (більш простий) завданню застосування простих операцій до кривих на площині. Ці операції придумав в 1920-і роки німецький математик Рейдемейстер.
Має місце

Лемма Рейдемейстера. Якщо вузол можна розв'язати (перетворити в окружність) в просторі, то його плоску діаграму можна розплутати на площині за допомогою операцій Рейдемейстера.


4. Деякі типи вузлів