Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гамильтонова механіка


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Гамильтонова механіка є переформуліровка класичної механіки. Була створена в 1833 Уїльямом Гамільтоном. Вона виникла з лагранжевої механіки, інший формулювання класичної механіки, введеної Лагранжем в 1788. Гамильтонова механіка може бути сформульована без залучення лагранжевої механіки з використанням сімплектіческіх різноманіть.

Незважаючи на формальну еквівалентність лагранжевої і гамильтоновой механіки, остання, крім привнесених нею корисних технічних доповнень, зіграла істотну роль для більш глибокого розуміння як математичної структури класичної механіки, так і її фізичного змісту, включаючи зв'язок з механікою квантової (Гамільтон спочатку хотів сформулювати класичну механіку як короткохвильовий межа деякої хвильової теорії, що практично повністю відповідає сучасному погляду).

Існує точка зору, що формалізм Гамільтона взагалі більш фундаментальний і органічний, в тому числі і в особливості для квантової механіки ( Дірак), хоча ця точка зору і не стала загальновизнаною, в основному, видимо через те, що помітна частина таких інтерпретацій втрачає явну (тільки явну) лоренц-коваріантного, а також тому, що ця точка зору не дала такого практичного виходу, який переконав би в її важливості всіх. Втім, слід зауважити, що евристично вона, ймовірно, була не останньою серед спонукальних причин, що призвели до відкриття рівняння Дірака - одного з найбільш фундаментальних рівнянь квантової теорії.


1. Переформуліровка лагранжевої механіки

Починаємо з лагранжевої механіки, рівняння руху в якій засновані на узагальнених координатах

\ {Q_1, q_2, \ dots, q_N \} або \ Left \ {\, q_j | j = 1, \ ldots, N \, \ right \} , Або, зовсім скорочено ~ Q - Подразумевающее весь набір координат, якщо їх більше однієї,

і відповідних узагальнених швидкостях

\ {\ Dot q_1, \ dot q_2, \ dots, \ dot q_N \} або \ Left \ {\, \ dot {q} _j | j = 1, \ ldots, N \, \ right \} , Або зовсім скорочено \ Dot {q} - Подразумевающее весь набір узагальнених швидкостей.

Лагранжіана запишеться у вигляді

L (q, \ dot {q}, t) , Означаючому L (q_1, q_2, \ dots, q_N, \ dot q_1, \ dot q_2, \ dots, \ dot q_N, t)

з q, \ dot q представляють у короткої записи усі N координат і N швидкостей. Гамильтонова механіка ставить своєю метою замінювати узагальнені швидкості узагальненими змінними імпульсу, також відомими як сполучені імпульси. Таким чином можна спростити певні системи, наприклад, в квантовій механіці, яка інакше була б ще більш складною.

Для кожної узагальненої швидкості існує відповідний їй узагальнений імпульс, визначений як

p_j = {\ partial L \ over \ partial \ dot {q} _j} .

В декартових координатах узагальнені імпульси - це фізичні лінійні імпульси. В полярних координатах узагальнений імпульс, відповідний кутової швидкості - фізичний кутовий момент. Для довільного вибору узагальнених координат важко отримати інтуїтивну інтерпретацію сполучених цим координатам імпульсів або вгадати їх вираження, не використовуючи прямо наведену вище формулу.

  • Втім, якщо якась координата виявилася циклічної, тобто якщо функція Лагранжа від неї не залежить, а залежить тільки від її похідної за часом, то сполучений їй імпульс є інтегралом руху (зберігається в часі), що кілька прояснює сенс узагальнених імпульсів. Корисно також зауважити, що взагалі саме тимчасова похідна узагальненого імпульсу є одним з доданків рівняння Лагранжа: \ Dot {p_j} = \ frac {d} {dt} {\ partial L \ over \ partial \ dot {q} _j} .

У цьому формулюванні, залежною від вибору системи координат, не надто очевидний той факт, що різні узагальнені координати є в дійсності не чим іншим, як різними коордінатізаціямі одного і того ж сімплектіческого різноманіття.

Функція Гамільтона - перетворення Лежандра лагранжіана :

H \ left (q, p, t \ right) = \ sum_i \ dot {q} _i p_i - L (q, \ dot {q}, t) .

Якщо рівняння перетворення, що визначають узагальнені координати, незалежні від t , Можна показати, що H дорівнює повній енергії: E = T + V .

Повний диференціал гамільтоніана запишеться у вигляді:

\ Begin {matrix} dH & = & \ sum_i \ left [\ left ({\ partial H \ over \ partial q_i} \ right) dq_i + \ left ({\ partial H \ over \ partial p_i} \ right) dp_i \ right] + \ left ({\ partial H \ over \ partial t} \ right) dt \ qquad \ qquad \ quad \ quad \ \ \ \ & = & \ sum_i \ left [\ dot {q} _i \, dp_i + p_i \, d \ dot {q} _i - \ left ({\ partial L \ over \ partial q_i} \ right) dq_i - \ left ({\ partial L \ over \ partial \ dot {q} _i} \ right) d \ dot {q} _i \ right] - \ left ({\ partial L \ over \ partial t} \ right) dt \ end {matrix}

Підставляючи попереднє визначення сполучених імпульсів в це рівняння і порівнюючи коефіцієнти, ми отримуємо рівняння руху гамильтоновой механіки, відомі як канонічні рівняння Гамільтона :

{\ Partial H \ over \ partial q_j} = - \ dot {p} _j, \ qquad {\ partial H \ over \ partial p_j} = \ dot {q} _j, \ qquad {\ partial H \ over \ partial t } = - {\ partial L \ over \ partial t}

Рівняння Гамільтона являють собою диференціальні рівняння першого порядку, і, таким чином, їх легше вирішувати, ніж рівняння Лагранжа, які є диференціальними рівняннями другого порядку. Однак кроки, що призводять до рівнянь руху, більш трудомісткі, ніж у лагранжевої механіці - починаючи з узагальнених координат і функції Лагранжа, ми повинні обчислити гамільтоніан, висловити кожну узагальнену швидкість в термінах сполучених імпульсів і замінити узагальнені швидкості в гамільтоніаном сполученими імпульсами. В цілому, є невеликий виграш в роботі від вирішення проблеми в гамільтонових, а не в лагранжевих формалізмі, хоча в кінцевому рахунку це призводить до тих же рішенням, що і лагранжевого механіка та закони руху Ньютона.

Основне призначення гамильтонова підходу - те, що він забезпечує основу для більш фундаментальних результатів в класичній механіці.


2. Отримання рівнянь Гамільтона безпосередньо з принципу стаціонарного дії

Просте пряме отримання гамильтоновой форми механіки виходить з гамильтоновой запису дії:

S = \ int (\ sum_j p_j dq_j - H (p, q) dt) = \ int (\ sum_j p_j \ dot {q} _j - H (p, q)) dt ,

яке можна вважати фундаментальним постулатом механіки в цьому формулюванні [1]. (Під p і q без індексів тут мається на увазі весь набір узагальнених імпульсів і координат). Умова стаціонарності дії

\ \ Delta S = 0

дає можливість отримати канонічні рівняння Гамільтона, причому варіювання тут ведеться незалежно по \ \ Delta p_j і \ \ Delta q_j . Так отримуємо (знову, але тепер без використання лагранжевих способу) канонічні рівняння Гамільтона:

\ Dot {p} _j = - {\ partial H \ over \ partial q_j},
\ Dot {q} _j = {\ partial H \ over \ partial p_j},

Використовуючи друге, можна висловити все \ P_j через набір \ Q_i і \ \ Dot {q_i} , Після чого вираз під інтегралом стане, очевидно, просто функцією Лагранжа. Таким чином ми отримуємо лагранжевого формулювання принципу стаціонарного (найменшого) дії з гамильтоновой.


3. Математичний формалізм

Будь гладка функція H: M \ to \ mathbb {R} на сімплектіческом різноманітті M може використовуватися, щоб визначити гамільтонових систем. Функція H відома як гамільтоніан або енергетична функція. Сімплектіческое різноманіття називають фазовим простором. Гамільтоніан породжує спеціальне векторне поле на сімплектіческом різноманітті, відомому як сімплектіческое векторне поле.

Сімплектіческое векторне поле (також називається Гамільтона векторним полем) породжує гамільтонів потік на різноманітті. Інтегральні криві векторного поля є однопараметричним сімейством перетворень різноманіття з параметром, званим час. Еволюція в часі задається сімплектоморфізмамі. З теореми Ліувілля випливає, що кожен сімплектоморфізм зберігає форму обсягу у фазовому просторі. Безліч сімплектоморфізмов, породжуваних Гамільтона потоком, зазвичай називають гамильтоновой механікою гамильтоновой системи.

Гамільтонових векторне поле також породжує спеціальну операцію - дужка Пуассона. Дужка Пуассона діє на функції на сімплектіческом різноманітті, таким чином надаючи простору функцій на різноманітті структуру алгебри Лі.

Зокрема для даної функції f

\ Frac {d} {dt} f = \ frac {\ partial} {\ partial t} f + \ {\, f, H \, \}.

Якщо ми маємо розподіл імовірності ρ, то можна показати, що його конвективна похідна дорівнює нулю, так як швидкість фазового простору ( {\ Dot p_i}, {\ dot q _i} ) Має нульову дивергенцію, і ймовірність зберігається. Отримаємо

\ Frac {\ partial} {\ partial t} \ rho = - \ {\, \ rho, H \, \}.

Це вираз називають рівнянням Ліувілля. Кожна гладка функція G над сімплектіческім різноманіттям задає сімейство однопараметричних сімплектоморфізмов, і якщо \ {G, H \} = 0 , То G зберігається фазовим потоком.

Интегрируемость гамільтонових векторних полів - невирішене питання. Взагалі, Гамільтона системи - хаотичні; поняття заходи, повноти, інтегрованості і стабільності погано визначені. В даний час дослідження динамічних систем присвячені, головним чином, вивченню якісна властивостей систем, і їх змін.


Примітки

  1. Це (з точністю до постійного множника, який можна опустити при підходящому виборі одиниць виміру), мабуть, найбільш прямо записане вираз для фази
    \ Phi = \ int (\ sum_j k_j dx_j - \ omega (k_j, x_j) dt)
    в квантовій механіці (з точки зору Фейнмановськие інтеграла по траєкторіях або при простому квазікласичному розгляді руху хвильового пакета), де імпульс і енергія є з точністю до того ж постійного множника (константи Планка) - частотою і хвильовим вектором
    p_j = \ hbar k_j, E = \ hbar \ omega
    (Тут для простоти використані декартові координати). Метод же стаціонарної фази \ \ Delta \ phi = 0 дає класичне наближення, що повністю аналогічно излагаемому гамільтонових способу, іншими словами, просто його повторює. Зауважимо також, що в цілому це один з найбільш прямих способів встановити аналогію між поширенням "точкових" хвильових пакетів збурень в широкому класі середовищ і рухом матеріальної точки механіки. Аналогія ж ця, зокрема, дозволяє отримати ще одну корисну точку зору на природу і властивості узагальнених імпульсів.

5. Зовнішні посилання


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Гамильтонова система
Механіка
Механіка
Точна механіка
Механіка (термінологія)
Зрушення (механіка)
Обчислювальна механіка
Спадкова механіка
Прикладна механіка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru