Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гамільтоніан


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Гамільтоніан ( \ Hat H або H) в квантової теорії - оператор повної енергії системи (СР Функція Гамільтона). Назва "гамільтоніан", як і назва "функція Гамільтона", походить від прізвища ірландського математика Вільяма Роуена Гамільтона.

Його спектр - це безліч можливих значень, при вимірюванні повної енергії системи. Спектр гамільтоніана може бути дискретним або безперервним. Також може бути ситуація (наприклад для кулонівського потенціалу) коли спектр складається з дискретною і безперервною частини.

Так як енергія - речова величина, гамільтоніан є ермітових оператором.


1. Рівняння Шредінгера

Гамільтоніан генерує тимчасову еволюцію квантових станів. Якщо \ Left | \ psi (t) \ right \ rangleстан системи в момент часу t, то

H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.

Це рівняння називається рівняння Шредінгера. (Воно виглядає також як і рівняння Гамільтона - Якобі класичної механіки). Знаючи стан в початковий момент часу (t = 0), ми можемо вирішити рівняння Шредінгера і отримати вектор стану в будь-який наступний момент часу. Зокрема, якщо H не залежить від часу, то

\ Left | \ psi (t) \ right \ rangle = e ^ {-iHt / \ hbar} \ left | \ psi (0) \ right \ rangle.

Оператор експоненти в правій частині рівняння Шредінгера визначається через степеневий ряд по H.

По властивості * - гомоморфізм, оператор

U = e ^ {-iHt / \ hbar}

унітаріїв. Це оператор тимчасової еволюції, або пропагатор замкнутої квантової системи.

Якщо Гамільтоніан не залежить від часу, {U (t)} утворює однопараметричної групу; звідси випливає принцип детальної рівноваги.


2. Вирази для гамільтоніана

2.1. Вільна частка

Якщо у частинки немає потенційної енергії, то Гамільтоніан найпростіший. Для одного виміру:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2}

і для трьох вимірів:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2

2.2. Потенційна яма

Для частинки в постійному потенціалі V = V 0 (немає залежності від координати і часу), в одному вимірі, Гамільтоніан такої:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V_0

в трьох вимірах

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + V_0

2.3. Простий гармонійний осцилятор

Для простого гармонійного осцилятора в одному вимірі, потенціал залежить від координати (але не від часу), як:

V = \ frac {k} {2} x ^ 2 = \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2

де кутова частота, коефіцієнт пружності k, і маса m осцилятора задовольняють співвідношенню:

\ Omega ^ 2 = \ frac {k} {m}

тому Гамільтоніан має вигляд:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2

Для трьох вимірів гамільтоніан приймає вид

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} r ^ 2

де тривимірний радіус-вектор r, його модуль визначається так:

r ^ 2 = \ bold {r} \ cdot \ bold {r} = | \ bold {r} | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2

Повний Гамільтоніан це сума одновимірних гамільтоніаном:

\ Begin {align} \ hat {H} & = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 } {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} \ right) + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) \ \ & = \ left (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2 \ right) + \ left (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} y ^ 2 \ right) + \ left (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} z ^ 2 \ right) \ \ \ end {align}

3. У квантовій теорії поля

У класичній теорії поля роль узагальнених координат відіграють функції поля в кожній точці простору-часу; в квантовій теорії поля вони стають операторами. Для системи взаємодіючих полів гамільтоніан являє собою суму операторів енергії вільних полів і енергію їх взаємодії. На відміну від лагранжіана, гамільтоніан не дає явно релятивістськи-інваріантного опису системи - енергія в різних інерційних системах відліку різна, хоча для релятивістських систем ця інваріантність може бути доведена.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Блоковий гамільтоніан
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru