Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гармонійна функція



План:


Введення

Гармонійна функція - речова функція U , Визначена і двічі безперервно диференціюється на евклідовому просторі D (Або його відкритому підмножині), яка задовольняє рівнянню Лапласа :

\ Delta U = 0, \

де \ Delta = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x_i ^ 2} - оператор Лапласа, тобто сума других похідних по всіх прямокутним декартовим координатах x i (n = dim D - розмірність простору).

Наприклад, гармонійної функцією є електростатичний потенціал в точках, де відсутня заряд.


1. Властивості

1.1. Принцип максимуму

Функція U, гармонійна в області D , Досягає свого максимуму і мінімуму тільки на кордоні \ Partial D . Таким чином, гармонійна функція не може мати під внутрішній точці області локального екстремуму, за винятком тривіального випадку постійною D функції. Однак функція може бути невизначена на кордоні, тому правильніше сказати \ Forall m \ in D \ inf_ {Q \ in D} U (Q) <U (m) <\ sup_ {Q \ in D} U (Q)


1.2. Теорема Ліувілля

Гармонійна функція, визначена на \ Bbb {R} ^ n і обмежена зверху чи знизу, постійна.

1.3. Властивість середнього

Якщо функція u гармонійна в деякому кулі B (x 0) з центром в точці x 0 , То її значення в точці x 0 одно її середньому значенню по межі цієї кулі або по кулі:

u (x_0) = \ frac {1} {\ mu \ partial B} \ int \ limits_ {\ partial B} u dS = \ frac {1} {\ mu B} \ int \ limits_ {B} u dV

де μ B - Об'єм кулі B (x 0) , \ Mu \ partial B - Площа його межі. Назад, будь-яка функція, що володіє властивістю середнього в певній області, є в цій галузі гармонійної.


1.4. Дифференцируемость

Функція, гармонійна в області, нескінченно дифференцируема в ній.

Література

  • Владимиров В.С., Жарінов В. В. Рівняння математичної фізики - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
R-функція
Функція
θ-функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Аккермана
Функція помилок
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru