В математики гармонійний ряд являє собою суму, складену з нескінченної кількості членів, зворотних послідовним числам натурального ряду [1] :

\ Sum_ {k = 1} ^ \ mathcal {1} ​​\ frac {1} {k} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ cdots + \ frac {1} {k} + \ cdots .

Ряд названий гармонійним, так як складається з "гармонік": k -Я гармоніка, яку видобувають із скрипкової струни, - це основний тон, вироблений струною завдовжки \ Frac {1} {k} від довжини вихідної струни. [2]


1. Сума перших n членів ряду

Окремі члени ряду прагнуть до нуля, але його сума розходиться. n-ної часткової сумою s n гармонійного ряду називається n-ное гармонійне число:

s_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ cdots + \ frac {1} {n}

1.1. Деякі значення часткових сум

\ Begin {matrix} s_1 & = & 1 \ \ \ \ s_2 & = & \ frac {3} {2} & = & 1 {,} 5 \ \ \ \ s_3 & = & \ frac {11} {6} & \ approx & 1 {,} 833 \ \ \ \ s_4 & = & \ frac {25} {12} & \ approx & 2 {,} 083 \ end {matrix}\ Begin {matrix} s_5 & = & \ frac {137} {60} & \ approx & 2 {,} 283 \ \ \ \ s_6 & = & \ frac {49} {20} & = & 2 {,} 45 \ \ \ \ s_7 & = & \ frac {363} {140} & \ approx & 2 {,} 593 \ \ \ \ s_8 & = & \ frac {761} {280} & \ approx & 2 {,} 718 \ end { matrix}

1.2. Формула Ейлера

У 1740 році Л. Ейлером було отримано асимптотичний вираз для суми перших n членів ряду [1] :

s_n = \ ln (n) + \ gamma + \ varepsilon _n \! ,

де \ Gamma = 0 {,} 5772 ... \! - постійна Ейлера - Маскероні, а \ Ln - натуральний логарифм.

При n \ rightarrow \ infty \! значення \ Varepsilon _n \ rightarrow 0 \! , Отже, для великих n:

s_n \ approx \ ln (n) + \ gamma - Формула Ейлера для суми перших n членів гармонійного ряду.
Приклад використання формули Ейлера
n \!s_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} \!\ Ln (n) + \ gamma \!\ Varepsilon _n \! , (%)
10 2,93 2,88 1,7
25 3,82 3,80 0,5

Більш точна асимптотична формула для часткової суми гармонійного ряду:

s_n \ asymp \ ln (n) + \ gamma + \ frac {1} {2n} - \ frac {1} {12n ^ 2} + \ frac {1} {120n ^ 4} - \ frac {1} {252n ^ 6} \ dots = \ ln (n) + \ gamma + \ frac {1} {2n} - \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {B_ {2k}} {2k \, n ^ {2k}} , Де B_ {2k} - числа Бернуллі.

Даний ряд розходиться, проте помилка обчислень по ньому ніколи не перевищує половини першого відкинутого члена.


1.3. Теоретико-числові властивості часткових сум

\ Forall n> 1 \; \; \; \; s_n \ notin \ mathbb {N}

2. Збіжність ряду

s_n \ rightarrow \ infty при n \ rightarrow \ infty

Гармонійний ряд розходиться дуже повільно (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 10 43 елементів ряду).

Расходимость гармонійного низки можна продемонструвати, порівнявши його з телескопічним поруч :

v_n = \ ln (n +1) - \ ln n = \ ln \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) \ underset {+ \ infty} {\ sim} \ frac {1} {n } ,

часткова сума якого, очевидно, дорівнює:

\ Sum_ {i = 1} ^ {n-1} v_i = \ ln n \ sim H_n .

2.1. Доказ Орема

Доказ расходимости можна побудувати, групуючи доданки наступним чином:

\ Begin {align} \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k} & {} = 1 + \ left [\ frac {1} {2} \ right] + \ left [\ frac { 1} {3} + \ frac {1} {4} \ right] + \ left [\ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} \ right] + \ left [\ frac {1} {9} + \ cdots \ right] + \ cdots \ \ & {}> 1 + \ left [\ frac {1} {2} \ right] + \ left [\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right] + \ left [\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right] + \ left [\ frac {1} {16} + \ cdots \ right] + \ cdots \ \ & {} = 1 + \ \ frac {1} {2} \ \ \ + \ quad \ frac {1} {2} \ \ quad + \ \ qquad \ quad \ frac {1} {2} \ qquad \ \ quad \ + \ quad \ \ \ frac {1} {2} \ \ quad + \ \ cdots. \ End {align}

Останній ряд, очевидно, розходиться. Це доказ належить середньовічному вченому Миколі Орему (бл. 1350).


2.2. Альтернативне доказ расходимости

Припустимо, що гармонійний ряд сходиться до суми ~ S :

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k} = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ cdots = S

Тоді, перегруппіруя дробу, отримаємо:

Винесемо з другої дужки \ Tfrac {1} {2} :

Замінила другу дужку на ~ S :

S = \ left (1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} + \ cdots \ right) + \ frac {1} {2} S

Перенесемо \ Tfrac {1} {2} S в ліву частину:

\ Frac {1} {2} S = \ left (1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} + \ cdots \ right)

Підставимо назад замість ~ S суму ряду:

\ Frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {8} + \ cdots = 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} + \ cdots

Це рівність, очевидно, невірно, так як одиниця більше однієї другої, одна третина більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином, наше припущення про збіжності ряду помилково, і ряд розходиться.

(1 - \ frac {1} {2}) + (\ frac {1} {3} - \ frac {1} {4}) + \ cdots не дорівнює 0, тому кожна з дужок позитивна.

Це означає, що S - є нескінченність і наші операції по додаванню або відніманню її з обох сторін рівності неприпустимі.


3. Часткові суми

n-ая часткова сума гармонійного ряду,

H_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k}, \!

називається n-им гармонійним числом.

Різниця між n-м гармонійним числом і натуральним логарифмом n сходиться до постійної Ейлера-Маскероні.

Різниця між різними гармонійними числами ніколи не дорівнює цілому числу і ніяке гармонійне число, крім H_1 = 1 , Не є цілим [3].


4. Пов'язані ряди

4.1. Ряд Діріхле

Узагальненим гармонічним рядом (або поруч Діріхле) називають ряд [1] [4]

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ \ alpha} = 1 + \ frac {1} {2 ^ \ alpha} + \ frac {1} {3 ^ \ alpha} + \ frac {1} {4 ^ \ alpha} + \ cdots + \ frac {1} {k ^ \ alpha} + \ cdots .

Узагальнений гармонійний ряд розходиться при α ≤ 1 і сходиться при α> 1 [4].

Сума узагальненого гармонічного ряду порядку α дорівнює значенню дзета-функції Рімана :

\ Sum_ {k = 1} ^ \ mathcal {1} ​​\ frac {1} {k ^ \ alpha} = \ zeta (\ alpha)

Для парних це значення явно виражається через число пі, наприклад, \ Zeta (2) = \ frac {\ pi ^ 2} {6} , А вже для α = 3 його значення аналітично невідомо.


4.2. Знакозмінний ряд

Перші 14 часткових сум Знакозмінні гармонійного ряду (чорні відрізки), що показують збіжність до натурального логарифму від 2 (червона лінія).

На відміну від гармонійного ряду, у якого всі доданки беруться зі знаком "+", ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n} \; = \; 1 \, - \, \ frac {1} {2} \, + \ , \ frac {1} {3} \, - \, \ frac {1} {4} \, + \, \ frac {1} {5} \, - \, \ cdots

сходиться по ознакою Лейбніца. Тому кажуть, що такий ряд володіє умовної збіжністю. Його сума дорівнює натуральному логарифму 2:

1 \, - \, \ frac {1} {2} \, + \, \ frac {1} {3} \, - \, \ frac {1} {4} \, + \, \ frac {1} {5} \, - \, \ cdots \; = \; \ ln 2.

Ця формула - окремий випадок ряду Меркатора (англ.), ряду Тейлора для натурального логарифма.

Схожий ряд може бути отриманий з ряду Тейлора для арктангенс :

\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n}} {2n +1} \; \; = \; \; 1 \, - \, \ frac {1} {3} \, + \, \ frac {1} {5} \, - \, \ frac {1} {7} \, + \, \ cdots \; \; = \; \; \ frac {\ pi} {4 }.

Це відомо як ряд Лейбніца.


4.3. Випадковий гармонійний ряд

Бірон Шмуланд з Університету Альберти розглянув [5] [6] властивості випадкового ряду

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {s_ {n}} {n}, \!

де s n незалежні, однаково розподілені випадкові величини, які приймають значення +1 і -1 з однаковою ймовірністю . Показано, що цей ряд сходиться з імовірністю 1, і сума ряду є випадкова величина з цікавими властивостями. Наприклад, функція щільності ймовірності, обчислена в точках +2 або -2 має значення 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., відрізняючись від \ Frac {1} {8} на менш ніж 10 -42. Стаття Шмуланда пояснює, чому ця величина близька, але не дорівнює 1/8.


4.4. "Стоншена" гармонійний ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Якщо розглянути гармонійний ряд, в якому залишені тільки доданки, знаменники яких не містять цифри 9, то виявиться, що сума, що залишилася сходиться до числа <80 [7]. Більше того, доведено, що якщо залишити доданки, що не містять будь заздалегідь обраної послідовності цифр, то отриманий ряд буде сходитися. Проте з цього буде помилково укладати про збіжність вихідного гармонійного ряду, тому із зростанням розрядів у числі n, все менше доданків береться для суми "стоншеного" ряду. Тобто в кінцевому рахунку ми відкидаємо переважна більшість членів утворюють суму гармонійного ряду, щоб не перевершити обмежуючу зверху геометричну прогресію.


Примітки

  1. 1 2 3 Математичний енциклопедичний словник - www.termist.com/bibliot/stud/ma_en_sl/24/139_1.htm. / Гол. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. І. Адян, Н. С. Бахвалов, В. І. Бітюцький та ін - М.: Сов. енциклопедія, 1988. - 847 с. стр. 139.
  2. Р.Грехем, Д.Кнут, О.Паташнік Конкретна математика. Підстава інформатики - М.: Мир; БІНОМ. Лабораторія знань, 2006. - Стр. 47. - С. 703 ISBN 503003773X
  3. Harmonic Number - from Wolfram MathWorld - mathworld.wolfram.com / HarmonicNumber.html
  4. 1 2 Довідник з математики для інженерів і учнів втузів. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1981, 718 с.
  5. "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
  6. Schmuland's preprint of Random Harmonic Series - www.stat.ualberta.ca / people / schmu / preprints / rhs.pdf
  7. Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72 - www.qbyte.org/puzzles/p072s.html