Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Геодезична



План:


Введення

Геодезична (Геодезична лінія) - крива певного типу, узагальнення поняття " пряма "у викривлених просторах. Конкретне визначення геодезичної лінії залежить від типу простору. Наприклад, на двовимірної поверхні, вкладеної в евклидово тривимірний простір, геодезичні лінії - це лінії, досить малі дуги яких є на цій поверхні найкоротшими шляхами між їх кінцями. На площині це будуть прямі, на круговому циліндрі - гвинтові лінії, на сфері - великі кола.

Геодезичні лінії активно використовуються в релятивістської фізики.


1. Диференціальна геометрія

1.1. Різноманіття з аффинной связностью

У многообразиях з аффинной связностью \ Nabla геодезична - це крива γ (t) , Яка задовольняє рівнянню

\ Nabla_ {\ dot \ gamma} \ dot \ gamma = 0.

В координатному вигляді можна переписати це рівняння, використовуючи символи Крістоффеля

\ Frac {d ^ 2x ^ \ lambda} {dt ^ 2} + \ Gamma ^ {\ lambda} _ {~ \ mu \ nu} \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ frac {dx ^ \ nu} {dt} = 0 \, де x μ (t) - Координати кривої.

Іншими словами, крива є геодезичної, якщо паралельно переносимий вздовж неї вектор, колишній дотичним до кривої в початковій точці, залишається дотичним скрізь.


1.2. Ріманови і псевдоріманови різноманіття

В ріманових і псевдоріманових просторах, геодезична визначається як критична крива інтеграла енергії

E (\ gamma) = \ int \ limits_ \ gamma \ limits \! g (\ dot \ gamma (t), \ dot \ gamma (t)) \, dt.

Тут γ (t) - Крива в просторі, g - метрика. (У фізиці цей інтеграл прийнято називати інтегралом дії).

Ця умова еквівалентно тому, що

\ Nabla_ {\ dot \ gamma} \ dot \ gamma = 0

уздовж всієї кривої, де \ Nabla позначає зв'язність Леві-Чівіта.


2. Метрична геометрія

В метричних просторах геодезична визначається як локально найкоротша з рівномірною параметризацією (часто з натуральним параметром).

Для ріманових многовидів, це визначення задає той же клас кривих, що і диференційно-геометричне визначення, наведене вище.


3. Використання в фізиці

Геодезичні лінії активно використовуються в релятивістській фізиці. Так, наприклад, траєкторія вільно падаючого незарядженого пробного тіла в загальної теорії відносності і взагалі в метричних теоріях гравітації є геодезичної лінією найбільшого власного часу, тобто часу, вимірюваного годинами, що рухаються разом з тілом.

Часто фізичну теорію, що володіє дією або виражену в гамильтоновой формі, можна переформулювати як завдання відшукання геодезичних ліній на деякому рімановим або псевдорімановом різноманітті.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Геодезична висота
Геодезична прецесія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru