Геометрія



План:


Введення

Геометрія (від греч. γη - Земля і μετρέω - "Міряю") - розділ математики, що вивчає просторові структури, відносини та їх узагальнення.


1. Класифікація

Загальноприйняту в наші дні класифікацію різних розділів геометрії запропонував Фелікс Клейн у своїй "Ерлангенском програмі" ( 1872). Згідно Клейну, кожний розділ вивчає ті властивості геометричних об'єктів, які зберігаються ( інваріантні) при дії деякої групи перетворень, специфічною для кожного розділу. Відповідно до цієї класифікації, у класичній геометрії можна виділити наступні основні розділи.

  • Евклідова геометрія, в якій передбачається, що розміри відрізків і кутів при переміщенні фігур на площині не змінюються. Іншими словами, це теорія тих властивостей фігур, які зберігаються при їх перенесенні, обертанні і відображенні.
    • Планіметрія - розділ евклідової геометрії, який досліджує фігури на площині.
    • Стереометрія - розділ евклідової геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
  • Проективна геометрія, що вивчає проектні властивості фігур, тобто властивості, що зберігаються при їх проективних перетвореннях. Інваріанти в цій геометрії - це властивості, зберігаються при заміні фігур на подібні їм, але іншого розміру.
  • Афінна геометрія, яка використовує дуже загальні аффінниє перетворення. У ній довжини та величини кутів не мають істотного значення, але прямі переходять у прямі.
  • Нарисна геометрія - інженерна дисципліна, в основі якої лежить метод проекцій. Цей метод використовує дві і більше проекцій (ортогональних або косокутних), що дозволяє представити тривимірний об'єкт на площині.

Сучасна геометрія включає в себе наступні додаткові розділи.

  • Багатовимірна геометрія.
  • Неевклідові геометрії.
    • Сферична геометрія.
    • Геометрія Лобачевського.
  • Ріманова геометрія.
  • Геометрія різноманіть.
  • Топологія - наука про безперервних перетвореннях самого загального виду, тобто властивості об'єктів, які залишаються незмінними при безперервних деформаціях. У топології не розглядаються ніякі метричні властивості об'єктів.

По використовуваних методів виділяють також такі інструментальні підрозділи.

  • Аналітична геометрія - геометрія координатного методу. У ній геометричні об'єкти описуються алгебраїчними рівняннями в декартових (іноді аффінних) координатах і потім досліджуються методами алгебри та аналізу.
  • Диференціальна геометрія - вивчає лінії і поверхні, заданої диференційовними функціями, за допомогою диференціальних рівнянь.

2. Історія

Муза геометрії, Лувр

Традиційно вважається, що родоначальниками геометрії як систематичної науки є древні греки, що перейняли у єгиптян ремесло землемерия і вимірювання обсягів тіл і перетворили його в сувору наукову дисципліну. При цьому античні геометри від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей, склали перші систематичні і доказові праці з геометрії. Центральне місце серед них займають складені близько 300 до н.е.. "Початки" Евкліда. Ця праця більше двох тисячоліть вважався зразковим викладенням у дусі аксіоматичного методу: всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доказуваних припущень - аксіом.

Геометрія греків, звана сьогодні евклідової, або елементарною, займалася вивченням простих форм: прямих, площин, відрізків, правильних багатокутників і багатогранників, конічних перерізів, а також куль, циліндрів, призм, пірамід і конусів. Обчислювалися їх площі і обсяги. Перетворення в основному обмежувалися подобою.

Жінка навчає дітей геометрії. Ілюстрація з паризької рукописи Евклідових " Почав ", початок XIV століття.

Середні століття трохи дали геометрії, і наступним великим подією в її історії стало відкриття Декартом в XVII столітті координатного методу (" Міркування про метод ", 1637). Точкам зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з'явилася аналітична геометрія, що вивчає фігури і перетворення, які в координатах задаються алгебраїчними рівняннями. Приблизно одночасно з цим Паскалем і Дезаргом розпочато дослідження властивостей плоских фігур, не змінних при проектуванні з однієї площини на іншу. Цей розділ отримав назву проективної геометрії. Метод координат лежить в основі з'явилася дещо пізніше диференціальної геометрії, де фігури і перетворення все ще задаються в координатах, але вже довільними достатньо гладкими функціями.

Ф. Клейн в "Ерлангенском програмі" систематизував всі види однорідних геометрій; згідно з ним геометрія вивчає всі ті властивості фігур, які інваріантні відносно перетворень з деякої групи. При цьому кожна група задає свою геометрію. Так, ізометрії (руху) задає евклидову геометрію, група афінних перетворень - аффинную геометрію.


Література

  • Геометрія / / Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона : В 86 томах (82 т. і 4 доп.) - СПб. , 1890-1907.
  • Шаль, Мішель. Історичний огляд походження і розвитку геометричних методів. Москва: М. Катков, 1883. Т. 1-2.
  • Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М.: Наука.
  • Том 1. З найдавніших часів до початку Нового часу. (1970)
  • Том 2. Математика XVII сторіччя. (1970)
  • Том 3. Математика XVIII сторіччя. (1972)
  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука.
  • Том 2. Геометрія. Теорія аналітичних функцій. 1981.
  • Мацуо Комацу. Різноманіття геометрії. М.: "Знання", 1981.
  • Левітін Карл. Геометрична рапсодія. М.: "Знання", 1984.

http://znaimo.com.ua