Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Геометрія Лобачевського



План:


Введення

Демонстрація трьох видів геометрій:
1) евклідова, 2) Рімана (з позитивною кривизною), 3) Лобачевського (з негативною кривизною)

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) - одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельні, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Евклидова аксіома про паралельні (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) говорить:

Через точку, не лежить на даній прямій, проходить не більше однієї прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського, замість неї приймається наступна аксіома:

Через точку, не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Широко поширена помилка, що в геометрії Лобачевського паралельні прямі перетинаються [1]. Геометрія Лобачевського має великі застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне і філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії, математики і науки взагалі.


1. Історія

1.1. Спроби докази п'ятого постулату

Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельних. Він входив до списку постулатів в "Засадах" Евкліда. Відносна складність і неінтуітівность його формулювання викликала відчуття його вторинність і породжувала спроби вивести його як теорему з інших постулатів Евкліда.

Серед багатьох намагалися довести п'ятий постулат були, зокрема, такі великі вчені.

  • Давньогрецькі математики Птолемей ( II ст.) і Прокл ( V ст.) (грунтувався на припущенні про кінцівку відстані між двома паралельними).
  • Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X - початок XI ст.) (грунтувався на припущенні, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує пряму лінію).
  • Іранські математики Омар Хайям (2-я половина XI - початок XII ст.) і Насир ад-Дін ат-Тусі ( XIII ст.) (грунтувалися на припущенні, що дві сходяться прямі не можуть при продовженні стати розходяться без перетину).
  • Першу в Європі відому нам спробу докази аксіоми паралельності Евкліда запропонував жив в Провансі (Франція) Герсонід (він же Леві бен Гершем, XIV століття). Його доказ спиралося на твердження про існування прямокутника [2].
  • Німецький математик Клавіус ( 1574).
  • Італійські математики
  • Англійська математик Валліс ( 1663, опубліковано в 1693) (грунтувався на припущенні, що для будь-якої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура).
  • Французький математик Лежандр ( 1800) (грунтувався на припущенні, що через кожну точку всередині гострого кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони кута, і в нього також були інші спроби доведення).

При цих спробах докази п'ятого постулату математики вводили (явно або неявно) деяке нове твердження, що здавалося їм більш очевидним.

Були зроблені спроби використовувати доказ від протилежного:

  • італійський математик Саккери ( 1733) (сформулювавши суперечить постулату твердження, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частина з них суперечливими, він вважав постулат доведеним),
  • німецький математик Ламберт (близько 1766, опубліковано в 1786) ( провівши дослідження, він визнав, що не зміг виявити в побудованій їм системі протиріччя).

Нарешті, стало виникати розуміння про те, що можлива побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті:

  • німецькі математики Швейкарт ( 1818) і Таурінус ( 1825) (однак вони не усвідомили, що така теорія буде логічно настільки ж стрункою).

1.2. Створення неевклідової геометрії

Лобачевський в роботі "Про основи геометрії" ( 1829), першою його друкованою роботі по неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що допущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну, як і евклідова, і вільний від протиріч.

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойя, а Карл Фрідріх Гаусс прийшов до таких висновків ще раніше. Однак праці Бойя не привернули уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише по декілька листів і щоденникових записів. Наприклад, у листі 1846 астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так відгукнувся про роботу Лобачевського:

Цей твір містить у собі підстави тієї геометрії, яка повинна була б мати місце і при тому становила б строго послідовне ціле, якби евклідова геометрія не була б справжньою ... Лобачевський називає її "уявною геометрією"; Ви знаєте, що вже 54 роки (з 1792 р.) я поділяю ті ж погляди з деяким розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов для себе в творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, яким ішов я сам; воно виконано Лобачевським майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на це твір, який, напевно, принесе Вам абсолютно виняткове насолоду. [3]

У результаті Лобачевський виступив як перший найбільш яскравий і послідовний пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її "уявною геометрією", проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, а як можливу і корисну теорію просторових відносин. Проте доказ її несуперечності було дано пізніше, коли були вказані її інтерпретації (моделі).


1.3. Затвердження геометрії Лобачевського

Лобачевський помер в 1856. Через кілька років було опубліковано листування Гаусса, у тому числі кілька захоплених відгуків про геометрію Лобачевського, і це привернуло увагу до праць Лобачевського. З'являються переклади їх на французьку та італійську мови, коментарі видатних геометрів. Публікується та праця Бойя.

В 1868 виходить стаття Е. Бельтрамі про інтерпретації геометрії Лобачевського. Бельтрамі визначив метрику площині Лобачевського і довів, що вона має усюди постійну негативну кривизну. Така поверхня тоді вже була відома - це псевдосфера Міндінга. Бельтрамі зробив висновок, що локально площину Лобачевського ізометрічни ділянці псевдосфери (див. нижче). Остаточно несуперечність геометрії Лобачевського була доведена в 1871, після появи моделі Клейна.

Вейерштрасс присвячує геометрії Лобачевського спеціальний семінар у Берлінському університеті ( 1870). Казанське фізико-математичне товариство організовує видання повного зібрання творів Лобачевського, а в 1893 століття російського математика відзначається в міжнародному масштабі.


2. Моделі

Моделі геометрії Лобачевського дали доказ її несуперечності, точніше показали, що геометрія Лобачевського настільки ж несуперечливою, як геометрія Евкліда.

Сам Лобачевський дав основи своєї аналітичної геометрії, і тим самим він вже фактично намітив таку модель. Він також зауважив що орісфера в просторі Лобачевського ізометрічни евклідової площини, тим самим фактично запропонував зворотну модель. Тим не менш, саме поняття про модель прояснилося в роботах Клейна та інших.


2.1. Псевдосфера

Псевдосфера

Італійський математик Е. Бельтрамі в 1868 зауважив, що геометрія на шматку площині Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни, простий приклад яких представляє псевдосфера. Якщо точкам і прямим на кінцевому шматку площині Лобачевського зіставляти точки і найкоротші лінії ( геодезичні) на псевдосфері і руху в площині Лобачевського зіставляти переміщення фігури по псевдосфері з згинанням, тобто деформацією, що зберігає довжини, то всякої теоремі геометрії Лобачевського відповідатиме факт, що має місце на псевдосфері. При цьому довжини, кути, площі розуміються в сенсі природного виміру їх на псевдосфері.

Проте тут дається тільки локальна інтерпретація геометрії, тобто на обмеженій ділянці, а не на всій площині Лобачевського.


2.2. Модель Клейна

Через точку Р проходить нескінченно багато "прямих", не перетинають "прямої" а

В 1871 Клейн запропонував першу повноцінну модель площині Лобачевського.

Площиною служить внутрішність круга, прямий - хорда кола без кінців, а точкою - точка всередині кола. "Рухом" назвемо будь-яке перетворення круга в самого себе, яке переводить хорди в хорди. Відповідно, рівними називаються фігури всередині кола, переводяться одна в іншу такими перетвореннями. Тоді виявляється, що будь-геометричний факт, описаний на такій мові, представляє теорему або аксіому геометрії Лобачевського. Іншими словами, будь-яке твердження геометрії Лобачевського на площині є не що інше, як затвердження евклідової геометрії, що відноситься до фігур усередині круга, лише переповів у зазначених термінах. Евклидова аксіома про паралельні тут явно не виконується, так як через точку P , Не лежить на даній хорді а (тобто "прямий"), проходить скільки завгодно не перетинають її хорд ("прямих") (наприклад, b , b ' ).

У цій моделі відстань між точками A і B на хорді N M визначається через подвійне ставлення

\ Ln \ left (\ frac {AN} {AM} \ frac {BM} {BN} \ right)

2.3. Модель Пуанкаре

Пізніше Пуанкаре, в зв'язку з завданнями теорії функцій комплексного змінного дав іншу модель. За площину Лобачевського приймається внутрішність круга, прямими вважаються дуги кіл, перпендикулярних колу даного кола, і його діаметри, рухами - перетворення, одержувані комбінаціями інверсій щодо кіл, дуги яких служать прямими.

Модель Пуанкаре чудова тим, що в ній кути зображаються звичайними кутами.


2.4. Поверхня постійної негативної кривизни

Інше аналітичне визначення геометрії Лобачевського полягає в тому, що геометрія Лобачевського визначається як геометрія ріманова простору постійної негативної кривизни. Це визначення було фактично дано ще в 1854 Ріманом і включало модель геометрії Лобачевського як геометрії на поверхнях постійної кривизни. Проте Ріман не зв'язав прямо своїх побудов з геометрією Лобачевського, а його доповідь, в якій він про них повідомив, не був зрозумілий і був опублікований лише після його смерті (у 1868).


3. Зміст геометрії Лобачевського

Кут паралельності

Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять і своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно тому, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою служила теорія паралельних ліній, тому що саме тут починається відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Всі теореми, не залежні від аксіоми про паралельні, є спільними для обох геометрій, вони утворюють так звану абсолютну геометрію, до якої відносяться, наприклад, теореми про рівність трикутників. Слідом за теорією паралельних будувалися інші розділи, включаючи тригонометрію і почала аналітичної і диференціальної геометрії.

Наведемо (в сучасних позначеннях) кілька фактів геометрії Лобачевського, що відрізняють її від геометрії Евкліда і встановлених самим Лобачевським.

Через точку P, не лежить на даній прямій R (див. малюнок), проходить нескінченно багато прямих, не перетинають R і знаходяться з нею в одній площині; серед них є дві крайні x, y, які і називаються паралельними прямий R в сенсі Лобачевського . У моделях Клейна (Пуанкаре) вони зображаються хордами (дугами кіл), що мають з хордою (дугою) R загальний кінець (який за визначенням моделі виключається, так що ці прямі не мають спільних точок).

Кут θ між перпендикуляром PB з P на R і кожній з паралельних (званий кутом паралельності) в міру віддалення точки P від прямої убуває від 90 до 0 (в моделі Пуанкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a) [4] :

\theta = \Pi(a) = 2 \operatorname{arctg}~e^{-\frac{a}{q}}

Здесь q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.

Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ) , Де α , β , γ - углы треугольника, пропорциональна его площади:

S = q^2 \cdot \delta

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: π q 2 .

Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π ; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от , и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай геометрии Лобачевского.


3.1. Заполнение плоскости и пространства правильными политопами

Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками ({3;7})

Плоскость Лобачевского может быть замощена не только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками, но и любыми другими правильными многоугольниками. При этом в одной вершине паркета должно сходиться не менее 7 треугольников, 5 квадратов, 4 пяти- и шестиугольников и 3 многоугольников с числом сторон более 6. Каждое замощение \left\{ N;M \right\} (в одной вершине сходится M N-угольников) требует строго определённого размера единичного N-угольника, в частности, его площадь должна равняться:

S_{ \left\{ N;M \right\} } = q^2 \pi \left( N - 2 - 2\frac{N}{M} \right)
Заполнение пространства Лобачевского правильными додекаэдрами ({5,3,4})

В отличие от обычного пространства, которое можно заполнить правильными многогранниками только одним способом (по 8 кубов в вершине), трёхмерное пространство Лобачевского можно заполнить правильными многогранниками четырьмя способами:

Кроме этого, существует 11 способов заполнить пространство Лобачевского правильными мозаичными орисферами.


4. Програми

  • Сам Лобачевський застосував свою геометрію до обчислення певних інтегралів.
  • У теорії функцій комплексного змінного геометрія Лобачевського допомогла побудувати теорію автоморфних функцій. Зв'язок з геометрією Лобачевського була тут відправним пунктом досліджень Пуанкаре, який писав, що "неевклідова геометрія є ключ до вирішення всієї завдання".
  • Геометрія Лобачевського знаходить застосування також в теорії чисел, в її геометричних методах, об'єднаних під назвою " геометрія чисел ".
  • Була встановлена ​​тісний зв'язок геометрії Лобачевського з кінематикою спеціальної (приватної) теорії відносності. Цей зв'язок заснована на тому, що рівність, що виражає закон поширення світла
~ X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2t ^ 2
при діленні на t 2 , Тобто для швидкості світла, дає
~ V_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 = c ^ 2
- Рівняння сфери в просторі з координатами v x , v y , v z - Складовими швидкості по осях х, у, z (в "просторі швидкостей"). Перетворення Лоренца зберігають цю сферу і, оскільки вони лінійні, переводять прямі простору швидкостей в прямі. Отже, відповідно до моделі Клейна, в просторі швидкостей всередині сфери радіуса с, тобто для швидкостей, менших швидкості світла, має місце геометрія Лобачевського.
  • Чудове додаток геометрія Лобачевського знайшла в загальної теорії відносності. Якщо вважати розподіл мас матерії у Всесвіті рівномірним (це наближення в космічних масштабах допустимо), то виявляється можливим, що за певних умов простір має геометрію Лобачевського. Таким чином, припущення Лобачевського про його геометрії як можливої ​​теорії реального простору виправдалося.
  • За допомогою моделі Клейна, дається дуже просте і коротке доказ теореми про метелика в евклідової геометрії.

Примітки

  1. Паралельні прямі - в міфології, реальності та математики - elementy.ru/lib/430915 Успенський В. А. Апологія математики, глава 8
  2. Розенфельд Б. А. Докази п'ятого постулату Евкліда середньовічних математиків Хасана ібн ал-Хайсама і Льва Герсоніда - М .: ІМІ, 1958. - Т. XI. - С. 733-742.
  3. Про підстави геометрії. Збірник класичних робіт по геометрії Лобачевського і розвитку її ідей. М.: Гостехиздат, 1956, С.119-120.
  4. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука, том II, с. 62.

6. Праці основоположників

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Вулиця Лобачевського
Ознака Лобачевського
Премія імені М. І. Лобачевського
Нижегородський державний університет ім. Н. І. Лобачевського
Нижегородський державний університет імені М. І. Лобачевського
Геометрія
Кільце (геометрія)
Фінслерових геометрія
Тріангуляція (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru