Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гладка функція



План:


Введення

Гладка функція або безперервно диференціюється функція - це функція, що має безперервну похідну по всьому безлічі визначення.


1. Основні відомості

Розглядають також гладкі функції вищих порядків, а саме, функція з порядком гладкості r має безперервну похідну порядку r . Безліч таких функцій, визначених в області Ω позначається C r (Ω) . f \ in C ^ \ infty (\ Omega) означає, що f \ in C ^ r (\ Omega) для будь-якого r , А f \ in C ^ \ omega (\ Omega) = C ^ a (\ Omega) означає, що f - аналітична.

Наприклад, C 0 (Ω) - Безліч безперервних на Ω функцій, а C 1 (Ω) - Безліч безперервно-диференційовних на Ω функцій, тобто функцій мають у кожній точці цієї області безперервну похідну.

Якщо порядок гладкості не зазначений, то звичайно припускають його достатнім для того, щоб мали сенс всі дії, що виконуються над функцією по ходу поточного міркування.

Для тонкого аналізу класів диференційовних функцій вводять також поняття дробової гладкості в точці або показника Гельдера, яке узагальнює всі вище перераховані поняття гладкості.

Функція f належить класу C ^ {r, \; \ alpha} , Де r - Ціле невід'ємне число і 0 <\ alpha \ leqslant 1 , Якщо має похідні до порядку r включно і f (r) є гельдеровской з показником α .

У перекладній літературі, нарівні з терміном "Показник Гельдера", використовується термін "показник Ліпшиця".


2. Випадок функцій однієї змінної

У цьому випадку безперервно диференціюється функція є дифференцируемая функція, у якій перша похідна безупинна. Такі функції часто називають гладкими функціями.

Розглядають також двічі безперервно диференціюються функції - функції мають безперервну другу похідну.

Аналогічно можна ввести поняття n раз безперервно диференційовних функцій.

Якщо клас безперервних функцій позначають через C , То клас безперервно диференційовних функцій зазвичай позначають через C 1 , Клас n раз безперервно диференційовних функцій позначають через C n .


3. Випадок функцій багатьох змінних

У цьому випадку поняття безперервно диференціюється може розглядатися в двох видах:

  • функції, що мають безперервні приватні похідні по кожній із змінних;
  • функції, мають безперервну похідну по будь-якому напрямі.

4. Наближення безперервно-диференційовних функцій аналітичними

Нехай Ω відкрито в \ R ^ n і f \ in C ^ k (\ Omega) , 0 \ leqslant k \ leqslant \ infty . Нехай {K p} - Послідовність компактних підмножин Ω така, що K_0 = \ varnothing , K_p \ subset K_ {p +1} і \ Bigcup K_p = \ Omega . Нехай {N p} - Довільна послідовність позитивних цілих чисел і m_p = \ min (k, \; n_p) . Нарешті, нехай p} - Довільна послідовність позитивних чисел. Тоді існує \ R -Аналітична функція g в Ω така, що для всякого p \ geqslant 0 :

| | Fg | | ^ {K_ {p +1} \ backslash K_p} _ {m_p} <\ varepsilon_p.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кусково-гладка функція
R-функція
Функція
θ-функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Аккермана
Атомарна функція
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru