Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Голоморфних функцій



План:


Введення

Голоморфних функція - функція комплексного змінного, визначена на відкритому підмножині комплексній площині \ Bbb C і комплексно дифференцируемая в кожній точці.

На відміну від речового випадку, ця умова тягне, що функція нескінченно диференційована і може бути представлена ​​сходящимся до неї поруч Тейлора.

Голоморфних функцій також називають іноді аналітичними, хоча друге поняття набагато ширше, тому що аналітична функція не зобов'язана бути визначена на множині комплексних чисел. Той факт, що для комплекснозначних функцій комплексної змінної безлічі голоморфних та аналітичних функцій збігаються, є нетривіальним і вельми чудовим результатом комплексного аналізу.


1. Визначення

Нехай U - відкрите підмножина в \ Mathbb {C} і f: U \ to \ mathbb {C} - Комплекснозначних функція на U .

  • Функцію f називають комплексно дифференцируемой в точці z_0 \ in U , Якщо існує межа
    f '(z_0) = \ lim_ {z \ to z_0} \ frac {f (z)-f (z_0)} {z-z_0}.
    • У цьому виразі межа береться по всіх послідовностей комплексних чисел, що сходяться до z 0 , Для всіх таких послідовностей вираз повинен сходитися до одного і того ж числа f '(z 0) . Комплексне диференціювання багато в чому схоже на речовий : воно лінійно і задовольняє тотожності Лейбніца.
  • Функцію f називають голоморфних в U , Якщо вона комплексно дифференцируема в кожній точці U .
  • Функцію f називають голоморфних в z_0 \ in U , Якщо вона голоморфних в деякій околиці z 0 .

1.1. Інше визначення

Визначенню голоморфних функції можна надати дещо інший вигляд, якщо скористатися операторами \ Frac {\ partial} {\ partial z} і \ Frac {\ partial} {\ partial \ bar z} , Обумовленими за правилом

\ Frac {\ partial} {\ partial z} = {1 \ over 2} \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x}-i \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right),
\ Frac {\ partial} {\ partial \ bar z} = {1 \ over 2} \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x} + i \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right) ,

де z = x + i y . Тоді функція f називається голоморфних, якщо

\ Frac {\ partial f} {\ partial \ bar z} = 0,

що еквівалентно умовам Коші - Рімана.


2. Пов'язані визначення


3. Властивості

  • Комплексна функція u + i v = f (x + i y) є голоморфних тоді і тільки тоді, коли виконуються умови Коші - Рімана
    \ Frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}; \ quad \ frac {\ partial u} {\ partial y} =- \ frac {\ partial v} { \ partial x}
і приватні похідні \ Frac {\ partial u} {\ partial x}, \; \ frac {\ partial u} {\ partial y}, \; \ frac {\ partial v} {\ partial x}, \; \ frac {\ partial v} {\ partial y} безперервні.
  • Сума і добуток голоморфних функцій - голоморфних функцій, що випливає з лінійності диференціювання та виконання правила Лейбніца. Приватне голоморфних функцій також голоморфних у всіх точках, де знаменник не звертається до 0.
  • Похідна голоморфних функції знову є голоморфних, тому голоморфних функції є нескінченно диференційовними у своїй області визначення.
  • Голоморфних функції є аналітичними, тобто можуть бути представлені у вигляді сходиться в деякій околиці кожної точки ряду Тейлора. Таким чином, для комплексних функцій комплексної змінної безлічі голоморфних та аналітичних функцій збігаються.
  • З будь-якої голоморфних функції можна виділити її речову і уявну частину, кожна з яких буде рішенням рівняння Лапласа в \ R ^ 2 . Тобто якщо f (z) = u (x, \; y) + iv (x, \; y) - Голоморфних функція, то u і v - гармонійні функції.
  • Якщо абсолютна величина голоморфних функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то функція постійна (передбачається, що область визначення связна). Звідси випливає, що максимум і мінімум абсолютної величини голоморфних функції можуть досягатися лише на кордоні області.
  • В області, де перша похідна голоморфних функції не звертається до 0, а функція однолістна, вона здійснює конформне відображення.
  • Інтегральна формула Коші пов'язує значення функції у внутрішній точці області з її значеннями на кордоні цієї області.
  • З алгебраїчної точки зору, безліч голоморфних на відкритому безлічі функцій - це коммутативное кільце і комплексне лінійний простір. Це локально опукле топологічний векторний простір з полунормой, рівної Супремум на компактних подмножествах.

4. Історія

Термін "голоморфних функцій" був введений двома учнями Коші, Бріо ( 1817 - 1882) і Боке ( 1819 - 1895), і походить від грецьких слів őλoς (холос), що означає "цілий", і μoρφń (морфе) - форма, образ. [1]

Сьогодні багато математики воліють термін "голоморфних функцій" замість "аналітична функція", так як друге поняття більш загальне. Крім того, одним з важливих результатом комплексного аналізу є те, що будь-голоморфних функція є аналітичною, що не очевидно з визначення. Термін "аналітичний" вживають зазвичай для більш загальних функцій, заданих не обов'язково на комплексній площині.


5. Варіації і узагальнення

5.1. Багатомірний випадок

Існує також визначення голоморфних функцій багатьох комплексних змінних

f \ colon \ C ^ n \ to \ C.

Для визначення використовуються поняття \ C -Діфференцируємості і \ C -Лінійності таких функцій

5.1.1. С-лінійність

Функція f називається \ C -Лінійної якщо задовольняються умови:

  • f (z '+ z'') = f (z') + f (z''), \ quad z ', \; z''\ in \ C ^ n .
  • f (\ lambda z) = \ lambda f (z), \ quad z \ in \ C ^ n, \ quad \ lambda \ in \ C

(Для \ R -Лінійних функцій \ Lambda \ in \ R ).


5.1.2. С-дифференцируемость

Функція f називається \ C -Дифференцируемой в точці z \ in \ C ^ n якщо існують функції l і o , Такі що в околиці точки z

f (z + h) = f (z) + l (h) + o (h), \ quad \ lim_ {h \ to 0} \ frac {o (h)} {h} = 0,

де l - \ C -Лінійна (для \ R -Діфференцируємості - \ R -Лінійна) функція.


5.1.3. Голоморфних

Функція f називається голоморфних в області D, якщо вона \ C -Дифференцируема в околиці кожної точки цієї області.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Композиція функцій
Простір неперервних функцій
Перетворення графіків функцій
Простір основних функцій
Список сферичних функцій
Теорія функцій (музика)
Замкнуті класи булевих функцій
Список інтегралів від експоненціальних функцій
Список інтегралів від тригонометричних функцій
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru