Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Градієнт



План:


Введення

Ця стаття про математичну характеристиці; про спосіб заливки см.: Градієнт (комп'ютерна графіка).
Операція градієнта перетворює пагорб (ліворуч), якщо дивитися на нього зверху, в поле векторів (праворуч). Видно, що вектори спрямовані "в гору" і тим довша, чим крутіше нахил.

Градієнт (від лат. gradiens , Рід. відмінок gradientis - крокуючий, що росте) - вектор, що показує напрямок найшвидшого зростання деякої величини \ Varphi , Значення якої змінюється від однієї точки простору в іншу ( скалярного поля). Наприклад, якщо взяти в якості \ Varphi висоту поверхні Землі над рівнем моря, то її градієнт в кожній точці поверхні буде показувати "напрям самого крутого підйому". Величина (модуль) вектора градієнта дорівнює швидкості росту \ Varphi в цьому напрямку.

Термін вперше з'явився в метеорології, а в математику був введений Максвеллом у 1873 р. Позначення grad теж запропонував Максвелл. Однак твердження, що градієнт є істинний вектор, все-таки не коректне, оскільки "градієнт функції при замінах координат перетворюється інакше, ніж вектор" [1].


1. Визначення

Для випадку тривимірного простору градієнтом називається векторна функція з компонентами \ Frac {\ partial \ varphi} {\ partial x} , \ Frac {\ partial \ varphi} {\ partial y} , \ Frac {\ partial \ varphi} {\ partial z} , Де \ Varphi - Деяка скалярная функція координат x , y , z .

Якщо \ Varphi - Функція n змінних x_1, \; \ ldots, \; x_n , То її градієнтом називається n -Мірний вектор

\ Left (\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_1}, \; \ ldots, \; \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_n} \ right),

компоненти якого рівні приватним похідним \ Varphi по всіх її аргументів.

Градієнт позначається \ Mathrm {grad} \, \ varphi або, з використанням оператора Набла, \ Nabla \ varphi .

З визначення градієнта випливає, що

\ Mathrm {grad} \, \ varphi = \ nabla \ varphi = \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x} \ vec e_x + \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y} \ vec e_y + \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z} \ vec e_z.

Сенс градієнта будь скалярної функції f в тому, що його скалярний твір з нескінченно малим вектором переміщення d \ mathbf {x} дає повний диференціал цієї функції при відповідній зміні координат у просторі, на якому визначена f , Тобто лінійну (у разі загального положення вона ж головна) частина зміни f при зсуві на d \ mathbf {x} . Застосовуючи ту саму букву для позначення функції від вектора і відповідної функції від його координат, можна написати:

df = \ frac {\ partial f} {\ partial x_1} \, dx_1 + \ frac {\ partial f} {\ partial x_2} \, dx_2 + \ frac {\ partial f} {\ partial x_3} \, dx_3 + \ ldots = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \, dx_i = (\ mathrm {grad} \, \ mathbf {f} \ cdot d \ mathbf x).

Варто тут помітити, що оскільки формула повного диференціала не залежить від виду координат x i , Тобто від природи параметрів x взагалі, то отриманий диференціал є інваріантом, тобто скаляром, при будь-яких перетвореннях координат, а оскільки d \ mathbf {x} - Це вектор, то градієнт, обчислений звичайним чином, виявляється коваріантний вектором, тобто вектором, представленим в дуальному базисі, який тільки і може дати скаляр при простому підсумовуванні творів координат звичайного ( контраваріантного), тобто вектором, записаним у звичайному базисі. Таким чином, вираз (взагалі кажучи - для довільних криволінійних координат) може бути цілком правильно і інваріантно записано як:

d f = \ sum_i (\ partial_i f) \, dx ^ i

або, опускаючи за правилом Ейнштейна знак суми,

df = (\ partial_i f) \, dx ^ i

(В ортонормированном базисі ми можемо писати всі індекси нижніми, як ми і робили вище). Однак градієнт виявляється справжнім коваріантний вектором в будь-яких криволінійних координатах.


2. Приклад

Наприклад, градієнт функції \ Varphi (x, \; y, \; z) = 2x +3 y ^ 2 - \ sin z буде представляти собою:

\ Nabla \ varphi = \ left (\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}, \; \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}, \; \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z} \ right) = (2, \; 6y, \; - \ cos z)

3. У фізиці

У різних галузях фізики використовується поняття градієнта різних фізичних полів.

Наприклад, градієнт концентрації - наростання чи зменшення по якомусь напрямку концентрації розчиненого речовини, градієнт температури - збільшення або зменшення у напрямку температури середовища і т. д. Градієнт може бути викликаний різними причинами, наприклад, механічним перешкодою, дією електромагнітних, гравітаційних або інших полів або відмінностями в розчинюючої здібності межують фаз, наприклад, октанол / вода.


4. Геометричний сенс

Розглянемо сімейство ліній рівня функції \ Varphi :

\ Gamma (h) = \ {(x_1, \; \ ldots, \; x_n) \ mid \ varphi (x_1, \; \ ldots, \; x_n) = h \}.

Неважко показати, що градієнт функції \ Varphi в точці \ Vec {x} {\,} ^ 0 перпендикулярний її лінії рівня, що проходить через цю точку. Модуль градієнта показує максимальну швидкість зміни функції в околиці \ Vec {x} {\,} ^ 0 , Тобто частоту ліній рівня. Наприклад, лінії рівня висоти зображуються на топографічних картах, при цьому модуль градієнта показує крутизну спуску або підйому в даній точці.


5. Зв'язок з похідною за напрямом

Використовуючи правило диференціювання складної функції, неважко показати, що похідна функції \ Varphiза напрямом \ Vec {e} = (e_1, \; \ ldots, \; e_n) дорівнює скалярному добутку градієнта \ Varphi на одиничний вектор \ Vec {e} :

\ Frac {\ partial \ varphi} {\ partial \ vec e} = \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_1} e_1 + \ ldots + \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_n} e_n = (\ nabla \ varphi, \; \ vec e)

Таким чином, для обчислення похідної за будь-якого напрямку досить знати градієнт функції, тобто вектор, компоненти якого є її приватними похідними.


6. Градієнт в ортогональних криволінійних координатах

\ Operatorname {grad} \, U (q_1, \; q_2, \; q_3) = \ frac {1} {H_1} \ frac {\ partial U} {\ partial q_1} \ vec {e} _1 + \ frac { 1} {H_2} \ frac {\ partial U} {\ partial q_2} \ vec {e} _2 + \ frac {1} {H_3} \ frac {\ partial U} {\ partial q_3} \ vec {e} _3 ,

де H i - коефіцієнти Ламі.

6.1. Полярні координати (на площині)

Коефіцієнти Ламі:

\ Begin {matrix} H_1 = 1; \ \ H_2 = r. \ End {matrix}

Звідси:

\ Operatorname {grad} \, U (r, \; \ theta) = \ frac {\ partial U} {\ partial r} \ vec {e_r} + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial U} {\ partial \ theta} \ vec {e_ \ theta}.

6.2. Циліндричні координати

Коефіцієнти Ламі:

\ Begin {matrix} H_1 = 1; \ \ H_2 = r; \ \ H_3 = 1. \ End {matrix}

Звідси:

\ Operatorname {grad} \, U (r, \; \ theta, \; z) = \ frac {\ partial U} {\ partial r} \ vec {e_r} + \ frac {1} {r} \ frac { \ partial U} {\ partial \ theta} \ vec {e_ \ theta} + \ frac {\ partial U} {\ partial z} \ vec {e_z}.

6.3. Сферичні координати

Коефіцієнти Ламі:

\ Begin {matrix} H_1 = 1; \ \ H_2 = r; \ \ H_3 = r \ sin {\ theta}. \ End {matrix} .

Звідси:

\ Operatorname {grad} \, U (r, \; \ theta, \; \ varphi) = \ frac {\ partial U} {\ partial r} \ vec {e_r} + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial U} {\ partial \ theta} \ vec {e_ \ theta} + \ frac {1} {r \ sin {\ theta}} \ frac {\ partial U} {\ partial \ varphi} \ vec {e_ \ varphi}.

Література

1. Дубровін Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Сучасна геометрія. Навчальний посібник для фізико-математичних спеціальностей університетів, 1986. стор.30



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
4-градієнт
Геотермічний градієнт
Градієнт концентрації
Баричний градієнт
Градієнт (комп'ютерна графіка)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru