Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Граничний цикл



План:


Введення

В теорії динамічних систем та диференціальних рівнянь, граничним циклом векторного поля на площині або, більш узагальнено, на якому двовимірному різноманітті називається замкнута (періодична) траєкторія цього векторного поля, в околиці якої немає інших періодичних траєкторій. Еквівалентним є твердження, що всяка досить близька до граничного циклу траєкторія прагне до нього або в прямому, або в зворотному часу.

Теореми Пуанкаре - Бендіксона і Андронова - Понтрягіна стверджують, що типова система з безперервним часом на площині (фізично кажучи - стан якої задається двома речовими параметрами, скажімо, напругою і струмом, або положенням і швидкістю точки на прямій) може прагнути тільки до положення рівноваги або до граничному циклу.


1. Динаміка в околиці граничного циклу

Притягає граничний цикл і відображення Пуанкаре на трансверсалі до нього

Як випливає з визначення, з кожної зі сторін граничний цикл є або відштовхуючим, або притягає. Якщо поведінка з обох сторін однаково - цикл називається відповідно відштовхуючим або притягає. Якщо ж з одного боку відбувається притягання, а з іншого відштовхування - говорять про полуустойчівом циклі.

Поведінка траєкторій, близьких до граничного циклу, описується відображенням Пуанкаре на відрізку, трансверсальному до циклу, - для цього відображення точка, відповідна циклу, є нерухомою. Так, цикл є притягає або відштовхуючим тоді і тільки тоді, коли ця точка відповідно притягувати або відштовхувати. Цикл називається гіперболічним, якщо відповідна нерухома точка гіперболічно - тобто, має похідну, відмінну від \ Pm 1 . У цьому випадку, якщо похідна по модулю більше 1, цикл нестійкий, якщо менше - стійкий.

Варто відзначити, що зазвичай - зокрема, для динаміки на площині або на сфері (взагалі, виключаючи тільки випадок динаміки на неоріентіруемом різноманітті) - відображення Пуанкаре зберігає орієнтацію, тому часто говорять просто про похідної відображення Пуанкаре, не обумовлюючи окремо взяття її модуля.

Гіперболічні граничні цикли не руйнуються малими збуреннями - якщо у вихідного векторного поля був гіперболічний граничний цикл, то у будь-якого поля, C ^ 1 -Близького до нього, також знайдеться близький до вихідного гіперболічний граничний цикл.


2. Біфуркації

2.1. Седлоузловая біфуркація

Найбільш простий біфуркацією, пов'язаної з граничними циклами, є седлоузловая біфуркація : два гіперболічних граничних циклу, відштовхуючий і притягає, зближуються. У момент біфуркації вони зливаються, утворюючи один полуустойчівий цикл, який при подальшому зміні параметра зникає.

З точки зору комплексіфікаціі (у разі аналітичного векторного поля) ця біфуркація може розглядатися як догляд граничного циклу в комплексну область.


2.2. Катастрофа блакитного неба

Однак, на пляшці Клейна або при розгляді комплексіфіцірованних граничних циклів, можлива і більш складна біфуркація - так звана катастрофа блакитного неба. А саме, при прагненні параметра до критичного значення довжина (одного!) граничного циклу починає наростати, прагнучи до нескінченності, і тому він не продовжується на сам момент біфуркації.

3. Фізичний приклад: осцилятор Ван дер Поля

Van der Pol type slow-fast limit cycle.svg

4. 16-я проблема Гільберта

Друга частина 16-ї проблеми Гільберта стосується можливої ​​кількості і розташування граничних циклів векторних полів на площині. На відміну від першої - алгебраїчної - частини, що вимагає описати розташування овалів алгебраїчної кривої заданої ступеня, навіть для квадратичних векторних полів невідомо існування рівномірної оцінки зверху на число граничних циклів.

Література

  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введення в сучасну теорію динамічних систем з оглядом останніх досягнень / пер. з англ. під ред. А. С. Городецького. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1
  • Ю. С. Ільяшенко, Динамічні системи та філософія спільності положення, М.: МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
  • Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Граничний ордінал
Цикл
Цикл Карно
Цикл Аткінсона
Цикл Брайтона
Цикл Дизеля
Цикл Калини
Цикл Ленуару
Цикл Міллера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru