Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Графен



План:


Введення

Структура
Кристалічна структура Гексагональна решітка [1]
Постійна грати 0,246 нм [1]
Електронні властивості
Ефективна маса електронів 0 m e [2]
Ефективна маса дірок 0 m e [2]
Зонна структура
Ширина забороненої зони 0 еВ [1]

Графен ( англ. graphene ) - Двовимірна аллотропная модифікація вуглецю, утворена шаром атомів вуглецю товщиною в один атом, що знаходяться в sp -гібридизації і сполучених за допомогою σ-і π-зв'язків в гексагональну двовимірну кристалічну решітку. Його можна представити як одну площину графіту, відокремлену від об'ємного кристала. За оцінками, графен володіє великою механічної жорсткістю і хорошою теплопровідністю (~ 1 ТПА [3] і ~ 5 10 3 Вт м -1 К -1 [4] відповідно). Висока рухливість носіїв заряду (максимальна рухливість електронів серед всіх відомих матеріалів) робить його перспективним матеріалом для використання в самих різних додатках, зокрема, як майбутню основу наноелектроніки [5] і можливу заміну кремнію в інтегральних мікросхемах.

Основний з існуючих в даний час способів отримання графена в умовах наукових лабораторій [2] [6] заснований на механічному отщеплении або відлущуванні шарів графіту. Він дозволяє отримувати найбільш якісні зразки з високою рухливістю носіїв. Цей метод не передбачає використання масштабного виробництва, оскільки це ручна процедура. Інший відомий спосіб - метод термічного розкладання підкладки карбіду кремнію [7] [8] - набагато ближче до промислового виробництва. Оскільки графен вперше [2] був отриманий тільки в 2004, він ще недостатньо добре вивчений і привертає до себе підвищений інтерес.

Через особливості енергетичного спектра носіїв графен проявляє специфічні [9], на відміну від інших двовимірних систем, електрофізичні властивості.

За "передові досліди з двовимірним матеріалом - графеном" А. К. Гейму і К. С. Новосьолову була присуджена Нобелівська премія з фізики за 2010 [10] [11].

Було отримано аналогічне з'єднання для кремнію ( силіцій).


1. Історія відкриття

Рис. 1. Ідеальна кристалічна структура графена являє собою гексагональну кристалічну решітку.
Графен
\ Hat {H} =- i \ hbar v_F \ sigma \ cdot \ nabla
Рівняння Дірака для графену
Вступ ...

Математичне формулювання ...

Основа
Квантова механіка Рівняння Дірака
Нейтрино (2 +1)-мірна КЕД Постійна тонкої структури Фаза Беррі Вуглецеві нанотрубки
Фундаментальні поняття
Зонна структура Рівняння Дірака киральной Гексагональна решітка Хвильова функція Точка електронейтральності Видимість графена Фаза Беррі
Отримання і технологія
Отримання графена Механічне відлущування Хімічна розщеплення графіту Зростання графенових плівок Підвішений графен Верхній затвор
Застосування
Графеновий польовий транзистор
Графенові наноленти
Транспортні властивості
Електрони і дірки Провідність Фонони Парадокс Клейна Лінза Веселаго 1 / f Дробовий шум
Випадковий телеграфний сигнал p - n перехід Фермі рідина
Магнітне поле
Магнітоопір Осциляції Шубнікова - деГааза КЕХ спіновий квантовий ефект Холла ДКЕХ Осциляції Вейса Магнетоексітони Надпровідність Слабка локалізація Ефект Ааронового - Бома
Оптика графена
Раманівське розсіювання світла
Відомі вчені
Андре Гейм Костянтин Новосьолов
Див також "Фізичний портал"

Графен є двовимірним кристалом, що складається з одиночного шару атомів вуглецю, зібраних в гексагональну решітку. Його теоретичне дослідження почалося задовго до отримання реальних зразків матеріалу, оскільки з графена можна зібрати тривимірний кристал графіту. Графен є базою для побудови теорії цього кристала. Графіт є полуметаллов, і, як було показано [1] в 1947 П. Воллес, в зонної структурі графена також відсутній заборонена зона, причому в точках дотику валентної зони і зони провідності енергетичний спектр електронів і дірок лине як функція хвильового вектора. Такого роду спектром володіють безмасові фотони і ультрарелятивістських частки, а також нейтрино. Тому кажуть, що ефективна маса електронів і дірок в графені поблизу точки дотику зон дорівнює нулю. Але тут варто зауважити, що, незважаючи на схожість фотонів і безмассових носіїв, у графена є кілька суттєвих відмінностей, що роблять носії в ньому унікальними по своїй фізичній природі, а саме: електрони і дірки є ферміонами, і вони заряджені. В даний час аналогів для цих безмассових заряджених ферміонів серед відомих елементарних часток немає.

Незважаючи на такі специфічні особливості, експериментального підтвердження ці висновки не отримали до 2005 [9], оскільки не вдавалося створити графен. Крім того, ще раніше було доведено теоретично, що вільну ідеальну двовимірну плівку отримати неможливо через нестабільність щодо згортання або скручування [12] [13] [14]. Теплові флуктуації призводять до плавлення двовимірного кристала при будь кінцевій температурі.

Інтерес до графену з'явився знову після відкриття вуглецевих нанотрубок, оскільки вся первісна теорія будувалася на простої моделі нанотрубки як розгорнення циліндра. Тому теорія для графену в додатку до нанотрубок добре опрацьована.

Спроби отримання графена, прикріпленого до іншого матеріалу, почалися з експериментів, що використовують простий олівець, і продовжилися з використанням атомно-силового мікроскопа [15] для механічного видалення шарів графіту, але не досягли успіху. Використання графіту з впровадженими (інтеркалірованний графіт - сполуки, подібні графітіду калію KC 8) [12] в межплоскостное простір чужорідними атомами (використовується для збільшення відстані між сусідніми шарами і їх розщеплення) теж не призвело до результату.

У 2004 році російськими і британськими вченими була опублікована робота в журналі Science [2], де повідомлялося про отримання графена на підкладці окисленого кремнію. Таким чином, стабілізація двовимірної плівки досягалася завдяки наявності зв'язку з тонким шаром діелектрика SiO 2 по аналогії з тонкими плівками, вирощеними за допомогою МПЕ. Вперше було виміряно провідність, ефект Шубнікова - де Гааза, ефект Холла для зразків, що складаються із плівок вуглецю з атомарної товщиною.

Метод відлущування є досить простим і гнучким, оскільки дозволяє працювати з усіма шаруватими кристалами, тобто тими матеріалами, які представляються як слабо (в порівнянні з силами в площині) пов'язані шари двовимірних кристалів. У подальшій роботі [6] автори показали, що його можна використовувати для отримання інших двовимірних кристалів: BN, MoS 2, NbSe 2, Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O x.

У 2011 році вчені з Національної радіоастрономічної обсерваторії оголосили, що їм, ймовірно, вдалося зареєструвати графен в космічному просторі (планетарні туманності в Магелланових хмарах) [16]


2. Отримання

Рис. 2. Шари інтеркалірованного графіту можна легко відокремити один від одного [12]

Шматочки графена отримують при механічному впливі на високоорієнтивані пиролитический графіт або киш-графіт [17]. Спочатку плоскі шматки графіту поміщають між липкими стрічками (скотч) і розщеплюють раз за разом, створюючи досить тонкі шари (серед багатьох плівок можуть потрапляти одношарові і двошарові, які і становлять інтерес). Після злущення скотч з тонкими плівками графіту притискають до підкладки окисленого кремнію. При цьому важко отримати плівку визначеного розміру і форми у фіксованих частинах підкладки (горизонтальні розміри плівок становлять зазвичай близько 10 мкм). [6] Знайдені за допомогою оптичного мікроскопа (вони слабо видно при товщині діелектрика 300 нм) плівки готують для вимірювань. Товщину можна визначити за допомогою атомно-силового мікроскопа (вона може змінюватись в межах 1 нм для графену) або використовуючи комбінаційне розсіяння. Використовуючи стандартну електронну літографію і реактивне полум'яне травлення, задають форму плівки для електрофізичних вимірів.

Шматочки графена також можна приготувати з графіту, використовуючи хімічні методи [18]. Спочатку мікрокристали графіту піддаються дії суміші сірчаної та соляної кислот. Графіт окислюється, і на краях зразка з'являються карбоксильні групи графену. Їх перетворюють на хлориди за допомогою тіонілхлориду. Потім під дією октадециламіну в розчинах тетрагідрофурану, тетрахлорметану і дихлоретану вони переходять в графенові шари товщиною 0,54 нм. Цей хімічний метод не єдиний, і, змінюючи органічні розчинники і хімікати, можна отримати нанометрові шари графіту [19].

У статтях [20] [21] описаний ще один хімічний метод отримання графена, вбудованого в полімерну матрицю. Слід згадати ще два методи: радіочастотне плазмохимическое осадження з газової фази ( англ. PECVD ) [22] і зростання при високому тиску і температурі ( англ. HPHT ) [23]. Из этих методов только последний можно использовать для получения плёнок большой площади.

Если кристалл пиролитического графита и подложку поместить между электродами, то, как показано в работе [24], можно добиться того, что кусочки графита с поверхности, среди которых могут оказаться плёнки атомарной толщины, под действием электрического поля могут перемещаться на подложку окислённого кремния. Для предотвращения пробоя (между электродами прикладывали напряжение от 1 до 13 кВ) между электродами также помещали тонкую пластину слюды.

Существует также несколько сообщений [7] [8], посвящённых получению графена, выращенного на подложках карбида кремния SiC(0001). Графитовая плёнка формируется при термическом разложении поверхности подложки SiC (этот метод получения графена гораздо ближе к промышленному производству), причём качество выращенной плёнки зависит от того, какая стабилизация у кристалла: C -стабилизированная или Si -стабилизированная поверхность - в первом случае качество плёнок выше. В работах [25] [26] та же группа исследователей показала, что, несмотря на то, что толщина слоя графита составляет больше одного монослоя, в проводимости участвует только один слой в непосредственной близости от подложки, поскольку на границе SiC-C из-за разности работ выхода двух материалов образуется нескомпенсированный заряд. Свойства такой плёнки оказались эквивалентны свойствам графена.


3. Дефекты

Идеальный графен состоит исключительно из шестиугольных ячеек. Присутствие пяти- и семиугольных ячеек будет приводить к различного рода дефектам.

Наличие пятиугольных ячеек приводит к сворачиванию атомной плоскости в конус. Структура с 12 такими дефектами одновременно известна под названием фуллерен. Присутствие семиугольных ячеек приводит к образованию седловидных искривлений атомной плоскости. Комбинация этих дефектов и нормальных ячеек может приводить к образованию различных форм поверхности.


4. Возможные применения

Считается, что на основе графена можно сконструировать баллистический транзистор. У березні 2006 года группа исследователей из технологического института штата Джорджия заявила, что ими был получен полевой транзистор на графене, а также квантово-интерференционный прибор [27]. Исследователи полагают, что благодаря их достижениям в скором времени появится новый класс графеновой наноэлектроники с базовой толщиной транзисторов до 10 нм. Данный транзистор обладает большим током утечки, то есть нельзя разделить два состояния с закрытым и открытым каналом.

Использовать напрямую графен при создании полевого транзистора без токов утечки не представляется возможным из-за отсутствия запрещённой зоны в этом материале, поскольку нельзя добиться существенной разности в сопротивлении при любых приложенных напряжениях к затвору, то есть не получается задать два состояния, пригодных для двоичной логики: проводящее и непроводящее. Сначала нужно создать каким-нибудь образом запрещённую зону достаточной ширины при рабочей температуре (чтобы термически возбуждённые носители давали малый вклад в проводимость). Один из возможных способов предложен в работе [5]. В этой статье предлагается создать тонкие полоски графена с такой шириной, чтобы благодаря квантово-размерному эффекту ширина запрещённой зоны была достаточной для перехода в диэлектрическое состояние (закрытое состояние) прибора при комнатной температуре (28 мэВ соответствует ширине полоски 20 нм). Благодаря высокой подвижности (имеется в виду, что подвижность выше, чем в кремнии, используемом в микроэлектронике) 10 4 смВ −1 с −1 быстродействие такого транзистора будет заметно выше. Несмотря на то, что это устройство уже способно работать как транзистор, затвор к нему ещё не создан.

Другая область применения предложена в статье [28] и заключается в использовании графена в качестве очень чувствительного сенсора для обнаружения отдельных молекул химических веществ, присоединённых к поверхности плёнки. В этой работе исследовались такие вещества, как NH 3, CO, H 2 O, NO 2. Сенсор размером 1 мкм 1 мкм использовался для детектирования присоединения отдельных молекул NO 2 к графену. Принцип действия этого сенсора заключается в том, что разные молекулы могут выступать как доноры и акцепторы, что в свою очередь ведёт к изменению сопротивления графена. В работе [29] теоретически исследуется влияние различных примесей (использованных в отмеченном выше эксперименте) на проводимость графена. В работе [30] было показано, что NO 2 молекула является хорошим акцептором благодаря своим парамагнитным свойствам, а диамагнитная молекула N 2 O 4 создаёт уровень близко к точке электронейтральности. В общем случае примеси, молекулы которых имеют магнитный момент (неспаренный электрон), обладают более сильными легирующими свойствами.

Ещё одна перспективная область применения графена - его использование для изготовления электродов в ионисторах (суперконденсаторах) для использования их в качестве перезаряжаемых источников тока. Опытные образцы ионисторов на графене имеют удельную энергоёмкость 32 Втч/кг, сравнимую с таковой для свинцово-кислотных аккумуляторов (30−40 Втч/кг) [31].

Недавно был создан новый тип светодиодов на основе графена (LEC) [32]. Процесс утилизации новых материалов экологичен при достаточно низкой цене.

В 2011 году в журнале Science была опубликована работа, где на основе графена предлагалась схема двумерного метаматериала (может быть востребован в оптике и электронике) [33].


5. Фізика

Физические свойства нового материала можно изучать по аналогии с другими подобными материалами. В настоящее время экспериментальное и теоретическое исследование графена сосредоточено на стандартных свойствах двумерных систем: проводимости, квантовом эффекте Холла, слабой локализации и других эффектах, исследованных ранее в двумерном электронном газе.

5.1. Теорія

В этом параграфе кратко описываются основные положения теории, некоторые из которых получили экспериментальное подтверждение, а некоторые ещё ждут верификации.

5.1.1. Кристаллическая структура

Рис. 3. Изображение гексагональной решётки графена. Жёлтым цветом показана элементарная ячейка, красным и зелёным цветами показаны узлы различных подрешёток кристалла. e 1 и e 2 - вектора трансляций

Кристаллическая решётка графена (см. рис. 3) представляет собой плоскость, состоящую из шестиугольных ячеек, то есть является двумерной гексагональной кристаллической решёткой. Для такой решётки известно, что её обратная решётка тоже будет гексагональной. В элементарной ячейке кристалла находятся два атома, обозначенные A и B. Каждый из этих атомов при сдвиге на вектора трансляций (любой вектор вида \mathbf{r}_A=m\mathbf{e}_1+n\mathbf{e}_2, где m и n - любые целые числа) образует подрешётку из эквивалентных ему атомов, то есть свойства кристалла независимы от точек наблюдения, расположенных в эквивалентных узлах кристалла. На рисунке 3 представлены две подрешётки атомов, закрашенные разными цветами: зелёным и красным.

Расстояние между ближайшими атомами углерода в шестиугольниках, обозначенное a 0 , составляет 0,142 нм. Постоянную решётки ( a ) можно получить из простых геометрических соображений. Она равна a=\sqrt{3}a_0, то есть 0,246 нм. Если определить за начало координат точку, соответствующую узлу кристаллической решётки (подрешётка A), из которой начинаются векторы трансляций \mathbf{e}_1,\,\mathbf{e}_2 с длиной векторов, равной a, и ввести двумерную декартову систему координат в плоскости графена с осью ординат, направленной вверх, и осью абсцисс, направленной по отрезку, соединяющему соседние узлы A и B, то тогда координаты концов векторов трансляций, начинающихся из начала координат, запишутся в виде [1] :

\mathbf{e}_1=[\sqrt{3}a/2,-a/2],\,\mathbf{e}_2=[0,a],\qquad(1.1)

а соответствующие им векторы обратной решётки:

\mathbf{g}_1=[2/(\sqrt{3}a),0],\,\mathbf{g}_2=[1/(\sqrt{3}a),1/a]\qquad(1.2)

(без множителя ). В декартовых координатах положение ближайших к узлу подрешётки A (все атомы которой на рисунке 3 показаны красным) в начале координат атомов из подрешётки B (показаны соответственно зелёным цветом) задаётся в виде:

[a/\sqrt{3},0],\,[-a/(2\sqrt{3}),a/2],\,[-a/(2\sqrt{3}),-a/2].\qquad(1.3)

5.1.2. Зонна структура

Кристаллическая структура материала находит отражение во всех его физических свойствах. В особенности сильно от порядка, в котором расположены атомы в кристаллической решётке, зависит зонная структура кристалла.

Рис. 4: Ближайшие атомы в окружении центрального узла (A) решётки. Красная пунктирная окружность соответствует ближайшим соседям из той же самой подрешётки кристалла (A), а зелёная окружность соответствует атомам из второй подрешётки кристалла (B)

Зонная структура графена рассчитана в статье [1] в приближении сильно связанных электронов. На внешней оболочке атома углерода находится 4 электрона, три из которых образуют связи с соседними атомами в решётке при перекрывании sp - гибридизированных орбиталей, а оставшийся электрон находится в 2 p z -состоянии (именно это состояние отвечает в графите за образование межплоскостных связей, а в графене - за образование энергетических зон). В приближении сильно связанных электронов полная волновая функция всех электронов кристалла записывается в виде суммы волновых функций электронов из разных подрешёток

\psi=\phi_1+\lambda\phi_2,\qquad(2.1)

где коэффициент λ - некий неизвестный (вариационный) параметр, который определяется из минимума энергии. Входящие в уравнение волновые функции ϕ 1 і ϕ 2 записываются в виде суммы волновых функций отдельных электронов в различных подрешётках кристалла

\phi_1=\sum_Ae^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_A}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A),\qquad(2.2)
\phi_2=\sum_Be^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_B}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B).\qquad(2.3)

Тут \mathbf{r}_A і \mathbf{r}_B - радиус-векторы, направленные на узлы кристаллической решётки, а X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A) і X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B) - волновые функции электронов, локализованных вблизи этих узлов.

В приближении сильно связанных электронов интеграл перекрытия ( γ 0 ), то есть сила взаимодействия, быстро спадает на межатомных расстояниях. Другими словами - взаимодействие волновой функции центрального атома с волновыми функциями атомов, расположенных на зелёной окружности (см. рис. 4), вносит основной вклад в формирование зонной структуры графена.

Энергетический спектр электронов в графене имеет вид (здесь учтены только ближайшие соседи, координаты которых задаются по формуле (1.3))

E=\pm\sqrt{\gamma_0^2\left(1+4\cos^2{\pi k_ya}+4\cos{\pi k_ya}\cos{\pi k_x\sqrt{3}a}\right)},\qquad(2.4)

где знак "+" соответствует электронам, а "-" - дыркам.


5.1.3. Линейный закон дисперсии

Рис. 5. Изолинии постоянной энергии (формула (2.4)). Жирный чёрный шестиугольник - первая зона Бриллюэна. Показаны также красные окружности на краях первой зоны Бриллюэна, где закон дисперсии носителей линеен. K и K' обозначают две долины в k -пространстве с неэквивалентными волновыми векторами

Из уравнения (2.4) следует, что вблизи точек соприкосновения валентной зоны и зоны проводимости (K и K') закон дисперсии для носителей (электронов) в графене представляется в виде:

E=\hbar v_Fk,\qquad(3.1)

де v F - скорость Ферми (экспериментальное значение [9] v F =10 6 м/с), k - модуль волнового вектора в двумерном пространстве с компонентами (k_x,\,k_y), отсчитанного от K или K' точек Дирака, \hbar - постоянная Планка. Здесь следует отметить, что такого рода спектром обладает фотон, поэтому говорят, что квазичастицы (электроны и дырки, энергия для которых выражается формулой E=\pm\hbar v_Fk) в графене обладают нулевой эффективной массой. Скорость Ферми v F играет роль "эффективной" скорости света. Так как электроны и дырки - фермионы, то они должны описываться уравнением Дирака, но с нулевой массой частиц и античастиц (аналогично уравнениям для безмассовых нейтрино). Кроме того, так как графен - двухдолинный полуметалл, то уравнение Дирака должно быть модифицировано для учёта электронов и дырок из разных долин (K, K'). В итоге мы получим восемь дифференциальных уравнений первого порядка, которые включают такие характеристики носителей, как принадлежность к определённой подрешётке (A, B) кристалла, нахождение в долине (K, K') и проекцию спина. Решения этих уравнений описывают частицы с положительной энергией (электроны) и античастицы с отрицательной энергией (дырки). Обычно спин электрона не принимают во внимание (когда отсутствуют сильные магнитные поля), и гамильтониан уравнения Дирака записывается в виде:

H_0=-i\hbar v \left( \begin{array}{cc} \mathbf{\sigma}\mathbf{\nabla} & 0 \\ 0 & \mathbf{\sigma^{*}\nabla} \\ \end{array} \right) =-i\hbar v \left( \begin{array}{cccc} 0 & \nabla_x-i\nabla_y & 0 & 0 \\ \nabla_x+i\nabla_y & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \nabla_x+i\nabla_y \\ 0 & 0 & \nabla_x-i\nabla_y & 0 \\ \end{array} \right),\qquad(3.2)

де \mathbf{\sigma}=(\mathbf{\sigma}_x,\mathbf{\sigma}_y) - вектор-строка, состоящий из матриц Паули.

Линейный закон дисперсии приводит к линейной зависимости плотности состояний от энергии, в отличие от обычных двумерных систем с параболическим законом дисперсии, где плотность состояний не зависит от энергии. Плотность состояний в графене задаётся стандартным способом

N=g_sg_v\int{\frac{dk_xdk_y}{(2\pi)^2}}=g_sg_v\int{\frac{2\pi kdk}{(2\pi)^2}}=\int{\frac{g_sg_v|E|}{2\pi \hbar^2v_F^2}dE},\qquad(3.3)

где выражение под интегралом и есть искомая плотность состояний (на единицу площади) [34] :

\nu(E)=\frac{g_sg_v}{2\pi \hbar^2v_F^2}|E|,\qquad(3.4)

де g s і g v - спиновое и долинное вырождение соответственно, а модуль энергии появляется, чтобы описать электроны и дырки одной формулой. Отсюда видно, что при нулевой энергии плотность состояний равна нулю, то есть отсутствуют носители (при нулевой температуре).

Концентрация электронов задаётся интегралом по энергии

n=\int\limits_0^{\infty}{\frac{\nu(E)dE}{1+\exp{\left(\frac{E-E_F}{kT}\right)}}},\qquad(3.5)

де E F - уровень Ферми. Если температура мала по сравнению с уровнем Ферми, то можно ограничиться случаем вырожденного электронного газа

n=\int\limits_0^{E_F}{\frac{g_sg_vEdE}{2\pi \hbar^2v_F^2}}=\frac{g_sg_v}{2\pi \hbar^2v_F^2}\frac{E_F^2}{2}.\qquad(3.6)

Концентрацией носителей управляют с помощью затворного напряжения. Они связаны простым соотношением n=7,2\cdot10^{14} V_g (при толщине диэлектрика 300 нм).

Здесь также следует обратить внимание на тот факт, что появление линейного закона дисперсии при рассмотрении гексагональной решётки не является уникальной особенностью для данного типа кристаллической структуры, а может появляться и при существенном искажении решётки вплоть до квадратной решётки [35] [36].


5.1.4. Эффективная масса

Благодаря линейному закону дисперсии эффективная масса электронов и дырок в графене равна нулю. Но в магнитном поле возникает другая масса, связанная с движением электрона по замкнутым орбитам и называемая циклотронной массой. Связь между циклотронной массой и энергетическим спектром для носителей в графене получается из следующего рассмотрения. Енергія уровней Ландау для уравнения Дирака задаётся в виде

E_{LL}=\sqrt{2e\hbar v_F^2B\left(N+1/2\pm1/2\right)},\qquad(4.1)

где "" соответствует спиновому расщеплению. Плотность состояний в графене осциллирует как функция обратного магнитного поля, и её частота равна

B_F=\frac{\hbar}{2\pi e}S(E),\qquad(4.2)

де S ( E) = π k 2 - площадь орбиты в пространстве волновых векторов на уровне Ферми. Осциллирующий характер плотности состояний приводит к осцилляциям магнетосопротивления, что эквивалентно эффекту Шубникова - де Гааза в обычных двумерных системах. Исследуя температурную зависимость амплитуды осцилляций, находят циклотронную массу носителей.

Из периода осцилляций также можно определить концентрацию носителей

B_F=\frac{h}{4e}n.\qquad(4.3)

Циклотронная масса связана с площадью орбиты следующим соотношением

m_c=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial S(E)}{\partial E}.\qquad(4.4)

Если принять во внимание линейный закон дисперсии для носителей в графене (3.1), то зависимость эффективной массы от концентрации задаётся формулой

m_c=\frac{\hbar k_F}{v_F}=\frac{E}{v_F^2}=\left(\frac{h^2n}{4\pi v_F^2}\right)^{1/2}.\qquad(4.5)

Согласие этой корневой зависимости с экспериментальными результатами стало доказательством линейности закона дисперсии в графене [9] [17].


5.1.5. Хиральность и парадокс Клейна

Рассмотрим часть гамильтониана для долины K (см. формулу (3.2)):

H_0^K=-i\hbar v\mathbf{\sigma}\mathbf{\nabla}.\qquad(5.1)

Матрицы Паули здесь не имеют отношения к спину электрона, а отражают вклад двух подрешёток в формирование двухкомпонентной волновой функции частицы. Матрицы Паули являются операторами псевдоспина по аналогии со спином электрона. Данный гамильтониан полностью эквивалентен гамильтониану для нейтрино, и, как и для нейтрино, существует сохраняющаяся величина проекции спина (псевдоспина для частиц в графене) на направление движения - величина, называемая спиральностью (хиральностью). Для электронов хиральность положительна, а для дырок - отрицательна. Сохранение хиральности в графене приводит к такому явлению, как парадокс Клейна. В квантовой механике с этим явлением связано нетривиальное поведение коэффициента прохождения релятивистской частицей потенциальных барьеров, высота которых больше, чем удвоенная энергия покоя частицы. Частица более легко преодолевает более высокий барьер. Для частиц в графене можно построить аналог парадокса Клейна с той разницей, что не существует массы покоя. Можно показать [37], что электрон преодолевает с вероятностью, равной единице, любые потенциальные барьеры при нормальном падении на границу раздела. Если падение происходит под углом, то существует некоторая вероятность отражения. Например, обычный pn переход в графене является таким преодолимым барьером [38]. В целом парадокс Клейна приводит к тому, что частицы в графене трудно локализовать, что в свою очередь приводит, например, к высокой подвижности носителей в графене. Недавно были предложены несколько моделей, позволяющих локализовать электроны в графене [39] [40]. В работе [41] впервые продемонстрирована квантовая точка из графена и измерена кулоновская блокада при 0,3 К.


5.1.6. Ефект Казимира

Эффект Казимира определяет взаимодействие любых электрически нейтральных объектов на малых расстояниях (порядка микрона и меньше). В случае реалистичных материалов величина взаимодействия обуславливается объёмными свойствами материала (диэлектрическая проницаемость в случае диэлектриков, проводимость для металлов). Однако расчёты показывают, что и для моноатомных слоёв графена сила Казимира может быть сравнительно велика, а наблюдение эффекта может быть доступно экспериментально. [42] [43]


5.2. Експеримент

Подавляющее большинство экспериментальных работ посвящено графену, полученному отшелушиванием объёмного кристалла пиролитического графита.

5.2.1. Провідність

Теоретически показано, что основное ограничение на подвижность электронов и дырок в графене (на Si подложке) возникает из-за заряженных примесей в диэлектрике (SiO 2), поэтому сейчас ведутся работы по получению свободновисящих плёнок графена, что должно увеличить подвижность до 210 6 смВ −1 c −1 [44]. В настоящее время максимальная достигнутая подвижность составляет 210 5 смВ −1 c −1; она была получена в образце, подвешенном над слоем диэлектрика на высоте 150 нм (часть диэлектрика была удалена с помощью жидкостного травителя) [45]. Образец с толщиной в один атом поддерживался при помощи широких контактов. Для улучшения подвижности образец подвергался очистке от примесей на поверхности посредством пропускания тока [46], который нагревал весь образец до 900 К в высоком вакууме.

Идеальную двумерную плёнку в свободном состоянии нельзя получить из-за её термодинамической нестабильности. Но если в плёнке будут дефекты или она будет деформирована в пространстве (в третьем измерении), то такая "неидеальная" плёнка может существовать без контакта с подложкой [47]. В эксперименте [48] с использованием просвечивающего электронного микроскопа было показано, что свободные плёнки графена существуют и образуют поверхность сложной волнистой формы, с латеральными размерами пространственных неоднородностей около 5-10 нм и высотой 1 нм. В статье [49] было показано, что можно создать свободную от контакта с подложкой плёнку, закреплённую с двух краёв, образуя, таким образом, наноэлектромеханическую систему. В данном случае подвешенный графен можно рассматривать как мембрану, изменение частоты механических колебаний которой предлагается использовать для детектирования массы, силы и заряда, то есть использовать в качестве высокочувствительного сенсора.

Подложка кремния с диэлектриком, на котором покоится [2] графен, должна быть сильно легирована, чтобы её можно было использовать в качестве обратного затвора, при помощи которого можно управлять концентрацией и даже изменять тип проводимости. Поскольку графен является полуметаллом, то приложение положительного напряжения к затвору приводит к электронной проводимости графена, и напротив - если приложить отрицательное напряжение, то основными носителями станут дырки, поэтому в принципе нельзя обеднить полностью графен от носителей. Заметим, что если графит состоит из нескольких десятков слоёв, то электрическое поле достаточно хорошо экранировано, как и в металлах, огромным количеством носителей в полуметалле [15].

В идеальном случае, когда отсутствует легирование и затворное напряжение равно нулю, не должно быть носителей тока (см. плотность состояний), что, если следовать наивным представлениям, должно приводить к отсутствию проводимости. Но, как показывают эксперименты и теоретические работы [50] [51] [52], вблизи дираковской точки или точки электронейтральности для дираковских фермионов существует конечное значение проводимости, хотя величина минимальной проводимости зависит от метода расчёта. Эта идеальная область не изучена просто потому, что нет достаточно чистых образцов. В действительности все плёнки графена соединены с подложкой, и это приводит к неоднородностям, флуктуациям потенциала, что ведёт к пространственной неоднородности типа проводимости по образцу, поэтому даже в точке электронейтральности концентрация носителей теоретически не меньше, чем 10 12 см −2. Здесь проявляется отличие от обычных систем с двумерным электронным или дырочным газом, а именно - отсутствует переход металл-диэлектрик.


5.2.2. Квантовый эффект Холла

Впервые необычный (англ. unconventional ) квантовый эффект Холла наблюдали в работах [9] [17], где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости недиагональной компоненты тензора проводимости соответствовали полуцелым значениям холловской проводимости \nu=\pm(|n|+1/2) в единицах 4 e 2 / h (множитель 4 появляется из-за четырёхкратного вырождения энергии), то есть \sigma_{xy}=\pm(|n|+1/2)4e^2/h. Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов [51] [52]. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене см. на рисунке 6. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Якщо уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловской проводимости σ x y наблюдается ряд плато. Эта зависимость отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях, эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау, и холловские плато наблюдаются при ν = 4 | n | ).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато, равное h / 2 e 2, воспроизводится с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре [53] (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

Рис. 6. a) Квантовый эффект Холла в обычной двумерной системе. b) Квантовый эффект Холла в графене. g = g s g v = 4 - вырождение спектра

В современных образцах графена (лежащих на подложке) вплоть до 45 Т невозможно наблюдать дробный квантовый эффект Холла, но наблюдается целочисленный квантовый эффект Холла, который не совпадает с обычным. В работе [54] наблюдается спиновое расщепление релятивистских уровней Ландау и снятие четырёхкратного вырождения для наинизшего уровня Ландау вблизи точки электронейтральности. Для объяснения этого эффекта предложено несколько теорий [55], но недостаточное количество экспериментального материала не позволяет выбрать среди них правильную.

Благодаря отсутствию запрещённой зоны в графене в структурах с верхним затвором можно сформировать непрерывный pn переход, когда напряжение на верхнем затворе позволяет инвертировать знак носителей, задаваемый обратным затвором в графене, где концентрация носителей никогда не обращается в ноль (кроме точки электронейтральности). В таких структурах тоже можно наблюдать квантовый эффект Холла, но из-за неоднородности знака носителей значения холловских плато отличаются от приведённых выше. Для структуры с одним pn переходом [56] значения квантования холловской проводимости описываются формулой

G=\frac{2e^2}{h}\frac{|\nu^{'}||\nu|}{|\nu^{'}|+|\nu|},\qquad(6.1)

де ν і ν ' - факторы заполнения в n- и p-области соответственно (p-область находится под верхним затвором), которые могут принимать значения \pm2, \pm6, \pm10 и т. д. Тогда плато в структурах с одним pn переходом наблюдаются при значениях 1, 3/2, 2, и т. д.

Для структуры с двумя pn переходами [57] соответствующие значения холловской проводимости равны


6. Цікаві факти

Рис. 7. Для получения нанотрубки (n, m) графитовую плоскость надо разрезать по направлениям пунктирных линий и свернуть вдоль направления вектора R
  • В статье, опубликованной 10 ноября 2005 года в журнале Nature [9], Константин Новосёлов и Андрей Гейм утверждают, что электрические заряды в графене ведут себя как релятивистские частицы с нулевой эффективной массой. Эти частицы, известные как безмассовые фермионы Дирака, описываются уравнением Дирака, хотя в эффекте Шубникова-де Гааза (осцилляции магнетосопротивления) наблюдаемые осцилляции соответствуют конечной циклотронной массе.
  • Так как закон дисперсии для носителей идентичен закону для безмассовых частиц, графен может выступать в качестве экспериментальной лаборатории для квантовой электродинамики [58].
  • Квантовый эффект Холла в графене может наблюдаться даже при комнатной температуре [53] благодаря большой циклотронной энергии, при которой температурное размытие функции распределения Ферми-Дирака меньше этой энергии E_N=\sqrt{2Ne\hbar v_F^2B},\,N=0,1,.. (это расстояние между первым и нулевым уровнями Ландау равно 1200 K при магнитном поле 9 Т) [59].
  • При сворачивании графена в цилиндр (см. рис. 7) получается одностенная нанотрубка. В зависимости от конкретной схемы сворачивания графитовой плоскости, нанотрубки могут обладать или металлическими, или полупроводниковыми свойствами [60].
  • В графене отсутствует вигнеровская кристаллизация [61].
  • В графене нарушается приближение Борна-Оппенгеймера (адиабатическое приближение), гласящее, что в силу медленного движения ионных остовов решётки их можно включить в рассмотрение как возмущение, известное как фононы решётки, - основное приближение, на котором строится зонная теория твёрдых тел [62].
  • За новаторские эксперименты с графеном Нобелевская премия 2010 года по физике присуждена Андрею Гейму и Константину Новосёлову [10].
  • Термоэлектрический эффект для графена превосходит резистивный омический нагрев, что в перспективе позволит создание на его базе схем, не требующих охлаждения [63] [64].
  • В двойном слое графена электроны ведут себя как жидкий кристалл [65]

Примітки

  1. 1 2 3 4 5 6 Wallace PR "The Band Theory of Graphite", Phys. Rev. 71, 622 (1947) DOI : 10.1103/PhysRev.71.622 - dx.doi.org/10.1103/PhysRev.71.622
  2. 1 2 3 4 5 6 Novoselov KS et al. "Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films", Science 306, 666 (2004) DOI : 10.1126/science.1102896 - dx.doi.org/10.1126/science.1102896
  3. Bunch JS et. al. Electromechanical Resonators from Graphene Sheets Science 315, 490 (2007) DOI : 10.1126/science.1136836 - dx.doi.org/10.1126/science.1136836
  4. Balandin AA cond-mat/0802.1367 [1] - arxiv.org/abs/0802.1367
  5. 1 2 Chen Zh. et. al. Graphene Nano-Ribbon Electronics Physica E 40, 228 (2007) DOI : 10.1016/j.physe.2007.06.020 - dx.doi.org/10.1016/j.physe.2007.06.020
  6. 1 2 3 Novoselov, KS et al. "Two-dimensional atomic crystals", PNAS 102, 10451 (2005) DOI : 10.1073/pnas.0502848102 - dx.doi.org/10.1073/pnas.0502848102
  7. 1 2 Rollings E. et. al. Synthesis and characterization of atomically thin graphite films on a silicon carbide substrate J. Phys. Chem. Solids 67, 2172 (2006) DOI : 10.1016/j.jpcs.2006.05.010 - dx.doi.org/10.1016/j.jpcs.2006.05.010
  8. 1 2 Hass J. et. al. Highly ordered graphene for two dimensional electronics Appl. Phys. Lett. 89, 143106 (2006) DOI : 10.1063/1.2358299 - dx.doi.org/10.1063/1.2358299
  9. 1 2 3 4 5 6 Novoselov KS et al. "Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene", Nature 438, 197 (2005) DOI : 10.1038/nature04233 - dx.doi.org/10.1038/nature04233
  10. 1 2 Стали известны имена лауреатов Нобелевской премии по физике - www.chaskor.ru/news/nobelevskaya_nedelya_prodolzhaetsya_20291
  11. The Nobel Prize in Physics 2010 - nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/ (Англ.) . NobelPrize.org.
  12. 1 2 3 Shioyama H. Cleavage of graphite to graphene J. Mat. Sci. Lett. 20, 499-500 (2001)
  13. Peierls R., Helv. Phys. Acta 7, 81 (1934); Peierls R., Ann. IH Poincare 5, 177 (1935); Landau LD, Phys. Z. Sowjetvunion 11, 26 (1937)
  14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика - 2001.
  15. 1 2 Zhang Y. et al. Fabrication and electric-field-dependent transport measurements of mesoscopic graphite devices Appl. Phys. Lett. 86, 073104 (2005) DOI : 10.1063/1.1862334 - dx.doi.org/10.1063/1.1862334
  16. В Магеллановых облаках нашли следы графена - lenta.ru/news/2011/08/12/graphene/
  17. 1 2 3 Zhang Y. et. al. "Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene" Nature 438, 201 (2005) DOI : 10.1038/nature04235 - dx.doi.org/10.1038/nature04235
  18. Solution Properties of Graphite and Graphene Sandip Niyogi, Elena Bekyarova, Mikhail E. Itkis, Jared L. McWilliams, Mark A. Hamon, and Robert C. Haddon J. Am. Chem. Soc.; 2006; 128(24) pp 7720 - 7721; (Communication) DOI : 10.1021/ja060680r - dx.doi.org/10.1021/ja060680r
  19. Bunch JS et al. Coulomb Oscillations and Hall Effect in Quasi-2D Graphite Quantum Dots Nano Lett. 5, 287 (2005) DOI : 10.1021/nl048111 + - dx.doi.org/10.1021/nl048111 +
  20. Stankovich S. et al. "Stable aqueous dispersions of graphitic nanoplatelets via the reduction of exfoliated graphite oxide in the presence of poly (sodium 4-styrenesulfonate)", J. Mater. Chem. 16, 155 (2006) DOI : 10.1039/b512799h - dx.doi.org/10.1039/b512799h
  21. Stankovich S. et al. "Graphene-based composite materials", Nature 442, 282 (2006) DOI : 10.1038/nature04969 - dx.doi.org/10.1038/nature04969
  22. Wang JJ et. al. Free-standing subnanometer graphite sheets Appl. Phys. Lett. 85, 1265 (2004) DOI : 10.1063/1.1782253 - dx.doi.org/10.1063/1.1782253
  23. Parvizi F., et. al. Graphene Synthesis via the High Pressure - High Temperature Growth Process Micro Nano Lett., 3, 29 (2008) DOI : 10.1049/mnl: 20070074 - dx.doi.org/10.1049/mnl: 20070074 Препринт - arxiv.org/abs/0802.4058
  24. Sidorov AN et al., Electrostatic deposition of graphene Nanotechnology 18, 135 301 (2007) DOI : 10.1088/0957-4484/18/13/135301 - dx.doi.org/10.1088/0957-4484/18/13/135301
  25. Berger, C. et al. "Electronic Confinement and Coherence in Patterned Epitaxial Graphene", Science 312, 1191 (2006) DOI : 10.1126/science.1125925 - dx.doi.org/10.1126/science.1125925
  26. J. Hass et. al. Why Multilayer Graphene on 4H-SiC (000-1) Behaves Like a Single Sheet of Graphene Phys. Rev. Lett. 100, 125 504 (2008).
  27. Carbon-Based Electronics: Researchers Develop Foundation for Circuitry and Devices Based on Graphite March 14, 2006 gtresearchnews.gatech.edu Link - gtresearchnews.gatech.edu / newsrelease / graphene.htm
  28. Schedin F. et. al. Detection of Individual Gas Molecules Absorbed on Graphene Nature Materials 6, 652 (2007) DOI : 10.1038/nmat1967 - dx.doi.org/10.1038/nmat1967
  29. Hwang EH et. al. Transport in chemically doped graphene in the presence of adsorbed molecules Phys. Rev. B 76, 195 421 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevB.76.195421 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.76.195421
  30. Wehling TO et. al. Molecular Doping of Graphene Nano Lett. 8, 173 (2008) DOI : 10.1021/nl072364w - dx.doi.org/10.1021/nl072364w
  31. SRCVivekchand; Chandra Sekhar Rout, KSSubrahmanyam, A. Govindaraj and CNRRao (2008). " Graphene-based electrochemical supercapacitors - www.ias.ac.in/chemsci/Pdf-Jan2008/9.pdf ". J. Chem. Sci., Indian Academy of Sciences 120, January 2008: 9-13.
  32. Piotr Matyba, Hisato Yamaguchi, Goki Eda, Manish Chhowalla, Ludvig Edman, Nathaniel D. Robinson Graphene and Mobile Ions: The Key to All-Plastic, Solution-Processed Light-Emitting Devices (Англ.) / / Журнал ACS Nano. - American Chemical Society, 2010. - В. 4 (2). - С. 637-642. - DOI : 10.1021/nn9018569 - dx.doi.org/10.1021/nn9018569
  33. Запропоновано схему двовимірного метаматеріалу на основі графену - lenta.ru/news/2011/06/10/metagraphen /
  34. Ando T. Screening Effect and Impurity Scattering in Monolayer Graphene J. Phys. Soc. Jpn. 75, 074 716 (2006) DOI : 10.1143/JPSJ.75.074716 - dx.doi.org/10.1143/JPSJ.75.074716}
  35. Hatsugai Y. cond-mat/0701431 [2] - arxiv.org/abs/cond-mat/0701431
  36. Gusynin VP, et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2 +1- dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) DOI : 10.1142/S0217979207038022 - dx.doi.org/10.1142/S0217979207038022
  37. Katsnelson MI et al., Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene Nat. Phys. 2, 620 (2006) DOI : 10.1038/nphys384 - dx.doi.org/10.1038/nphys384
  38. Cheianov VV and Fal'ko VI, Selective transmission of Dirac electrons and ballistic magnetoresistance of np junctions in graphene Phys. Rev. B 74, 041 403 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.74.041403 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.041403
  39. Trauzettel B. et al., Spin qubits in graphene quantum dots Nat. Phys. 3, 192 (2007) DOI : 10.1038/nphys544 - dx.doi.org/10.1038/nphys544
  40. Silvestrov PG and Efetov KB Quantum Dots in Graphene Phys. Rev. Lett. 98, 016 802 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevLett.98.016802 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.016802
  41. Geim AK, Novoselov KS The rise of graphene. Nat. Mat. 6, 183 (2007). DOI : 10.1038/nmat1849 - dx.doi.org/10.1038/nmat1849
  42. Bordag M., Fialkovsky IV, Gitman DM, Vassilevich DV (2009). " Casimir interaction between a perfect conductor and graphene described by the Dirac model - prb.aps.org/abstract/PRB/v80/i24/e245406 ". Physical Review B 80. DOI : 10.1103/PhysRevB.80.245406 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.80.245406.
  43. Fialkovsky IV, Marachevskiy VN, Vassilevich DV (2011). " Finite temperature Casimir effect for graphene - arxiv.org/abs/1102.1757 ".
  44. Hwang EH et al., Carrier Transport in Two-Dimensional Graphene Layers Phys. Rev. Lett. 98, 186 806 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevLett.98.186806 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.186806 Cond-mat - arxiv.org/abs/cond-mat/0610157
  45. Bolotin KI et. al. Ultrahigh electron mobility in suspended graphene Solid State Comm. 146, 351 (2008) DOI : doi: 10.1016/j.ssc.2008.02.024 - dx.doi.org / doi: 10.1016/j.ssc.2008.02.024 препринт - arxiv.org/abs/0802.2389
  46. Moser J. et. al. Current-induced cleaning of graphene Appl. Phys. Lett. 91, 163 513 (2007) DOI : 10.1063/1.2789673 - dx.doi.org/10.1063/1.2789673
  47. David Nelson (Editor), Steven Weinberg (Editor), T. Piran (Editor) "Statistical Mechanics of Membranes and Surfaces" - 2nd ed .. - World Scientific, Singapore. - P. 444 с. - ISBN 978-981-238-760-8.
  48. Meyer JC et. al. The structure of suspended graphene sheets Nature 446, 60 (2007) DOI : 10.1038/nature05545 - dx.doi.org/10.1038/nature05545
  49. Bunch JS et al., Electromechanical Resonators from Graphene Sheets Science 315, 490 (2007) DOI : 10.1126/science.1136836 - dx.doi.org/10.1126/science.1136836
  50. Ludwig AWW, et al., "Integer quantum Hall transition: An alternative approach and exact results" Phys. Rev. B 50, 7526 (1994) DOI : 10.1103/PhysRevB.50.7526 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.50.7526; Ziegler K., "Scaling behavior and universality near the quantum Hall transition" Phys. Rev. B 55, 10661 (1997) DOI : 10.1103/PhysRevB.55.10661 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.55.10661; Ziegler K., "Delocalization of 2D Dirac Fermions: The Role of a Broken Supersymmetry" Phys. Rev. Lett. 80, 3113 (1998) DOI : 10.1103/PhysRevLett.80.3113 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.3113; Katsnelson MI, "Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene" Eur. Phys. J. B 51, 157 (2006) DOI : 10.1140/epjb/e2006-00203-1 - dx.doi.org/10.1140/epjb/e2006-00203-1; Tworzydlo J. et al., "Sub-Poissonian Shot Noise in Graphene" Phys. Rev. Lett. 96, 246 802 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.246802 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.246802; Cserti J. "Minimal longitudinal dc conductivity of perfect bilayer grapheme" Phys. Rev. B 75, 033 405 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevB.75.033405 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.75.033405; Ziegler K., "Robust Transport Properties in Graphene" Phys. Rev. Lett. 97, 266 802 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.97.266802 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.266802
  51. 1 2 Peres NMR, et. al. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon Phys. Rev. B 73, 125 411 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.73.125411 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.73.125411
  52. 1 2 Gusynin VP et al. "Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene" Phys. Rev. Lett. 95, 146 801 (2005) DOI : 10.1103/PhysRevLett.95.146801 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.95.146801
  53. 1 2 Novoselov KS et. al. Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene Science 315, 1379 (2007) DOI : 10.1126/science.1137201 - dx.doi.org/10.1126/science.1137201
  54. Zhang Y., et al., "Landau-Level Splitting in Graphene in High Magnetic Fields" Phys. Rev. Lett. 96, 136 806 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.136806 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.136806
  55. Fuchs J. et al. Spontaneous Parity Breaking of Graphene in the Quantum Hall Regime Phys. Rev. Lett. 98, 016 803 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevLett.98.016803 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.016803; Nomura K. et al., Quantum Hall Ferromagnetism in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 256 602 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.256602 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.256602; Abanin DA et al., Spin-Filtered Edge States and Quantum Hall Effect in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 176 803 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.176803 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.176803; Fertig HA et al., Luttinger Liquid at the Edge of Undoped Graphene in a Strong Magnetic Field Phys. Rev. Lett. 97, 116 805 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevLett.97.116805 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.116805; Goerbig MO et al., Electron interactions in graphene in a strong magnetic field Phys. Rev. B 74, 161 407 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.74.161407 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.161407; Alicea J. et al., Graphene integer quantum Hall effect in the ferromagnetic and paramagnetic regimes Phys. Rev. B 74, 075 422 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.74.075422 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.075422; Gusynin VP et al., Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene Phys. Rev. B 74, 195 429 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.74.195429 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.195429
  56. Williams JR et. al. Quantum Hall Effect in a Gate-Controlled pn Junction of Graphene Science 317, 638 (2007) DOI : 10.1126/science.1144657 - dx.doi.org/10.1126/science.1144657
  57. zyilmaz B. et. al. Electronic Transport and Quantum Hall Effect in Bipolar Graphene pnp Junctions Phys. Rev. Lett. 99, 166 804 (2007) DOI : 10.1103/PhysRevLett.99.166804 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.166804
  58. A. Castro Neto et al. Drawing conclusions from graphene Phys. World 19 (11), p 33 (2006) ISSN 0953-8585 -
  59. Sharapov SG et al. "Magnetic oscillations in planar systems with the Dirac-like spectrum of quasiparticle excitations" Phys. Rev. B 69, 075 104 (2004) DOI : 10.1103/PhysRevB.69.075104 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.69.075104.
  60. R. Saito, G. Dresselhaus, MS Dresselhaus "Physical Properties of Carbon Nanotubes" - World Scientific. - P. 272 с. - ISBN 1-86094-223-7.
  61. Dahal HP et al. "Absence of Wigner crystallization in graphene" Phys. Rev. B 74, 233 405 (2006) DOI : 10.1103/PhysRevB.74.233405 - dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.74.233405
  62. Pisana S. et. al. Breakdown of the adiabatic Born-Oppenheimer approximation in graphene Nature Materials 6, 198 (2007) DOI : 10.1038/nmat1846 - dx.doi.org/10.1038/nmat1846
  63. Мікросхеми з графену зможуть охолоджувати самі себе - www.ixbt.com/news/hard/index.shtml?14/51/55
  64. Self-cooling observed in graphene electronics | News Bureau | University of Illinois - news.illinois.edu/news/11/0404graphene_WilliamKing_EricPop.html
  65. Нобелівські лауреати виявили "рідкокристалічні" електрони - lenta.ru/news/2011/08/12/dgraphene /

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Підвішений графен
Верхній затвор (графен)
Парадокс Клейна (графен)
Осциляції Шубнікова - де Гааза (графен)
Дробний квантовий ефект Холла (графен)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru