Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Група Лі



План:


Введення

Групою Лі над полем K ( K = \ R або \ Mathbb C ) Називається група G , Забезпечена структурою дифференцируемого (гладкого) різноманіття над K, причому відображення \ Operatorname {mul} і \ Operatorname {inv} , Визначені так:

\ Operatorname {mul} \ colon G \ times G \ rightarrow G; \ \ operatorname {mul} \, (x, y) = xy ,
\ Operatorname {inv} \ colon G \ rightarrow G; \ \ \ operatorname {inv} \, x = x ^ {-1}

є гладкими (у випадку поля \ Mathbb C вимагають голоморфних введених відображень).

Будь-яка комплексна n -Мірна група Лі є речовій групою Лі розмірності 2 n . Будь-яка комплексна група Лі за визначенням є аналітичним різноманіттям, але і в матеріальному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення \ Operatorname {mul} і \ Operatorname {inv} записуються аналітичними функціями.

Названі на честь Софус Лі. Групи Лі природно виникають при розгляді безперервних симетрій. Наприклад, рухи площині утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури кращими з різноманіть і, як такі, дуже важливі в диференціальної геометрії і топології. Вони також грають значну роль в геометрії, фізики та математичному аналізі.


1. Типи груп Лі

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчним властивостям ( простоті, полупростоте, разрешимости, нільпотентні, абелевих), а також по топологічним властивостями ( зв'язності, однозв'язна і компактності).


2. Підгрупи Лі

Підгрупа H групи Лі G називається її підгрупою Лі, якщо вона є подмногообразіем в різноманітті G , Тобто знайдеться m> 0 , Таке, що H задається в околиці кожної своєї точки p системою з k функцій, що має в p ранг m . Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду (E i x, e i π x) в лихо \ {(E ^ {ix}, e ^ {iy}) \ mid x, y \ in \ R \} не є підгрупою Лі (вона дає всюди щільну обмотку тора). Підгрупа Лі завжди замкнута. У матеріальному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають речові підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць 2 \ times 2 .

Нехай H - Підгрупа Лі групи Лі G . Безліч G / H суміжних класів (байдуже, лівих чи правих) можна єдиним чином наділити структурою дифференцируемого різноманіття так, щоб канонічна проекція була диференційовних відображенням. При цьому вийде локально тривіальне розшарування, і якщо H - нормальна підгрупа, то факторгруппамі буде групою Лі.


3. Гомоморфізм і ізоморфізми

Нехай G і H - Групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфизмом груп Лі називається відображення f \ colon G \ to H , Що є гомоморфізмом груп і водночас аналітичним відображенням різноманіть. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить безперервності f .) Композиція гомоморфізмом груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх речових і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізму утворюють категорії \ Operatorname {Lie} _ \ R і \ Operatorname {Lie} _ \ C . Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує зворотний. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як зазвичай в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі S O (2) поворотів площині з операцією композиції і група Лі U (1) комплексних чисел, рівних по модулю одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ групи Лі при гомоморфізм не завжди є підгрупою Лі. Однак прообраз підгрупи Лі при гомоморфізм завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі G над полем K до групи G L (V) невироджених лінійних перетворень векторного простору V над полем K називається поданням групи G в просторі V .


4. Дії груп Лі

Групи Лі часто виступають як симетрії будь-якої структури на певному різноманітті, а тому природно, що вивчення дій груп Лі на різних многообразиях є важливим розділом теорії. Кажуть, що група Лі G діє на гладкому різноманітті M, якщо задано гомоморфізм груп a: GDiff M, де Diff M - група діффеоморфізмов M. Таким чином, кожному елементу g групи G має відповідати діффеоморфное перетворення a g різноманіття M, причому твору елементів і взяття зворотного елементу відповідають відповідно композиція діффеоморфізмов і зворотний діффеоморфізм. Якщо з контексту ясно, про яке дії йде мова, то образ a g (m) точки m при діффеоморфізме, визначеному елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі лівими і правими зрушеннями, а також сполученнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

l g (h) = gh,
r g (h) = hg,
a g (h) = ghg -1.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині суміжних класів цієї групи з якої-небудь підгрупі Лі NG:

g (hN) = (gh) N,

Дія групи Лі G на дифференцируемой різноманітті M називається транзитивним, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елемента G. Різноманіття, на якому задано Транзитивне дію групи Лі. називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простору відіграють важливу роль у багатьох розділах геометрії. Однорідне простір групи G діффеоморфно G / st x, де st x - стабілізатор довільної точки.


5. Алгебра Лі групи Лі

З будь-якої групою Лі можна зв'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, у всякому разі, якщо група Лі связна.

Векторне поле на групі Лі G називається левоінваріантним, якщо воно комутує з лівими зрушеннями, тобто

V (l g * f) = l g * (Vf) для всіх g з G, і будь диференціюється f.

Еквівалентно,

dl g (V x) = V gx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-левоінваріантное векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням V e в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі G e до одиниці, можна рознести його лівими зрушеннями по всій групі. Виходить взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором левоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X, Y] левоінваріантних векторних полів буде левоінваріантним векторним полем. Тому G e є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Зазвичай вона позначається відповідною малою готичної буквою.


Література

  • Винберг Е. Б., Оніщик А. Л. Семінар по групах Лі і алгебраїчним групам. 1988, 1995
  • Підсумки науки і техніки. Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрямки. Т.20. Групи Лі і алгебри Лі - 1. М.: ВІНІТІ. 1988
  • Адамс Дж. Ф., Лекції по групах Лі, "Наука", 1979
  • Бурбаки Н. Групи і Алгебри Лі - М .: Світ, 1986. - 174 с.

Ресурси фізико-математичної бібліотеки сайту EqWorld - "Світ математичних рівнянь" :


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Can (група)
АТ-група
Група 77
Група Е4
T2 (група)
Група
75 (група)
Група Галуа
Бумбокс (група)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru