Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Група (математика)



План:


Введення


Група - непорожня безліч з визначеною на ньому бінарної операцією, що задовольняє зазначеним нижче аксіомам.

Групи є важливими інструментами у вивченні симетрії у всіх її проявах. Прикладами груп є речові числа з операцією складання, безліч обертань площині навколо початку координат і т. п. Гілка математики, що займається групами, називається теорією груп.


1. Визначення

Непорожня множина G із заданою на ньому бінарної операцією \, * \, \ Colon G \ times G \ to G називається групою (G, *) , Якщо виконані наступні аксіоми:

  1. асоціативність : \ Forall (a, b, c \ in G): (a * b) * c = a * (b * c) ;
  2. наявність нейтрального елемента : \ Exists e \ in G \ quad \ forall a \ in G: (e * a = a * e = a) ;
  3. наявність зворотного елемента : \ Forall a \ in G \ quad \ exists a ^ {-1} \ in G: (a * a ^ {-1} = a ^ {-1} * a = e)

1.1. Коментарі

  • Елемент a - 1 , Зворотний елементу a , Єдиний.
  • У визначенні групи 2-ю і 3-ю аксіоми можна замінити однією аксіомою існування зворотної операції:
\ Forall (a, b \ in G) \ quad \ exists (x, y \ in G): (a * x = b) \ and (y * a = b).
  • Вищенаведені аксіоми не є строго мінімальними. Для існування нейтрального й протилежного елементів достатньо наявності лівого нейтрального ( e_l * a = a \, ) І лівого зворотного ( a_l ^ {-1} * a = e_l ) Елементів. При цьому вони автоматично є e і a - 1 :
a_l ^ {-1} * a * a_l ^ {-1} = e_l * a_l ^ {-1} = a_l ^ {-1} \ Rightarrow e_l * a * a_l ^ {-1} = e_l \ Rightarrow a * a_l ^ {-1} = e_l
a * e_l = a * a_l ^ {-1} * a = e_l * a = a \,

1.2. Пов'язані визначення

  • У загальному випадку від групи не вимагається виконання властивості коммутативности
    • Пари елементів a, \; b , Для яких виконана рівність a * b = b * a , Називаються перестановки або коммутирующими.
    • Безліч елементів, з перестановки з усіма елементами групи, називається центром групи.
    • Група, до якої будь-які два елементи коммутіруют, називається комутативної або абелевих.
  • Підгрупа - підмножина H групи G , Яке є групою щодо операції, визначеної в G .
  • Порядок групи (G, *) - потужність G (Тобто число її елементів).
    • Якщо безліч G звичайно, то група називається кінцевої.

2. Приклади

  • Цілі числа з операцією додавання. (\ Z, +) група з нейтральним елементом 0. Вона є абелевих.
  • Позитивні раціональні числа з операцією множення. Твір раціональних чисел - знову раціональне число, зворотний елемент до раціонального числа представляється зворотного дробом, є асоціативність і одиниця.
  • Вільна група з двома твірними ( F 2 ) Складається з порожнього слова, яке ми позначаємо ε (Це одиниця нашої групи), і всіх кінцевих слів з чотирьох символів a, a - 1, b і b - 1 таких, що a не з'являється поруч з a - 1 і b не з'являється поруч з b - 1 . Операція множення таких слів - це просто з'єднання (конкатенація) двох слів в одне з подальшим скороченням пар a a - 1, a - 1 a, b b - 1 і b - 1 b .

3. Стандартні позначення

3.1. Мультиплікативна запис

Зазвичай групову операцію називають (абстрактним) множенням; тоді застосовується мультиплікативна запис:

  • результат операції називають твором і записують a * b або a b ;
  • нейтральний елемент позначається "1" і називається одиницею;
  • зворотний до a елемент записується як a - 1 .

Кратні твори aa, aaa, \ dots записують у вигляді натуральних ступенів a ^ 2, a ^ 3, \ dots [1]. Для елемента a коректно [2] визначена ціла ступінь, наступним чином:

a 0 = e ,
a - n = (a - 1) n .

Для ступеня елемента справедливо a ^ {m + n} = a ^ m * a ^ n, (a ^ n) ^ m = a ^ {nm}, \ forall n, m \ in \ mathbb Z . Зокрема, e ^ n = e, \ forall n \ in \ mathbb Z .


3.2. Адитивна запис

У комутативної групі визначає операція часто розглядається як (абстрактне) складання і записується аддитивно:

  • пишуть "a + b" і називають вийшов елемент сумою елементів a і b;
  • позначають нейтральний елемент "0" і називають його нулем;
  • зворотний елемент до a позначають як "- a" і називають його протилежним до a елементом;
  • запис скорочують таким чином: a + (-b) = a - b;
  • вирази виду a + a, a + a + a, - a - a,... позначають символів 2 a, 3 a, -2 a,...

4. Найпростіші властивості

  • Зворотний до даного елемент завжди визначається однозначно.
  • (A -1) -1 = a, a m a n = a m + n, (a m) n = a mn.
  • (Ab) -1 = b -1 a -1.
  • Вірні закони скорочення:
c \ cdot a = c \ cdot b \ Leftrightarrow a = b ,
a \ cdot c = b \ cdot c \ Leftrightarrow a = b .
  • Зворотний елемент до нейтрального є сам нейтральний елемент.
  • Група містить єдине рішення x будь-якого рівняння x c = b або c x = b; тобто в групі можливі однозначно певні праве і ліве "поділ".
  • Перетин двох підгруп групи G є підгрупа групи G.
  • Теорема Лагранжа : якщо G - група кінцевого порядку g, то порядок g 1 будь-який її підгрупи G 1 є дільником порядку групи. З цього випливає, що і порядок якого елемента ділить порядок групи.
  • Для визначення числа підгруп в групі використовуються теорема Лагранжа і теореми Силова.

5. Способи завдання групи

Групу можна задати:


6. Історія

Ідея групи з'явилася в дослідженнях перестановок коренів алгебраїчних рівнянь, починаючи з робіт Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж досліджував рішення рівнянь ступеня три і чотири, тоді як Руффини, Абель і Галуа показали нерозв'язність в радикалах загального рівняння ступеня п'ять і вище. Галуа першим використовував термін "група" в його сучасному розумінні.

Грунтуючись на розробках інших областей, таких як теорія чисел і геометрія, поняття групи було узагальнено та аксіоматично визначено Кронекера в 1870 році.


7. Узагальнення

8. Примітки

  1. Натуральна ступінь елемента коректно визначається завдяки асоціативності
  2. Коректність випливає з єдиності зворотного елементу.

Література

10.1. Популярна література

10.1.2. Наукова література

  • Белоногов В. А. Задачник з теорії груп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. І., Мерзляков Ю. І. Основи теорії груп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикін А. І. Введення в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теорія груп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Хол М. Теорія груп. М.: Видавництво іноземної літератури, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. NY: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
E8 (математика)
Математика
E6 (математика)
F4 (математика)
G2 (математика)
Фільтр (математика)
Схема (математика)
Ротор (математика)
Функтор (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru