Дисперсія водних хвиль (червоні точки рухаються зі швидкістю фази, зелені - з груповою швидкістю). В даному випадку фазова швидкість в два рази перевищує групову.

Групова швидкість - це величина, що характеризує швидкість поширення "групи хвиль" - тобто більш-менш добре локалізованої квазімонохроматіческой хвилі (хвилі з досить вузьким спектром). Зазвичай інтерпретується як швидкість переміщення максимуму амплітудної огинаючої квазімонохроматіческого хвильового пакета (або цуга хвиль). У разі розгляду поширення хвиль в просторі розмірністю більше одиниці мається на увазі як правило хвильовий пакет близький за формою до плоскої хвилі.

Групова швидкість у багатьох важливих випадках визначає швидкість перенесення енергії та інформації квазісінусоідальние хвилею (хоча це твердження в загальному випадку вимагає серйозних уточнень і застережень).

Групова швидкість визначається динамікою фізичної системи, в якій розповсюджується хвиля (конкретного середовища, конкретного поля ітп). У більшості випадків мається на увазі лінійність цієї системи (точно або наближено).

Для одновимірних хвиль групова швидкість обчислюється з закону дисперсії :

v_ {gr} = d \ omega / dk \, ,

де \ Omega - кутова частота, k - хвильове число.

Групова швидкість хвиль в просторі (наприклад, тривимірному або двовимірному) визначається градієнтом частоти по хвильовому вектору \ Vec k :

\ Vec v_ {gr} = \ nabla_ \ vec k \ omega

або (для тривимірного простору):

(V_ {gr}) _x = \ partial \ omega / \ partial k_x,
(V_ {gr}) _y = \ partial \ omega / \ partial k_y,
(V_ {gr}) _z = \ partial \ omega / \ partial k_z.
  • Зауваження: групова швидкість взагалі кажучи залежить від хвильового вектора (в одновимірному випадку - від хвильового числа), тобто взагалі кажучи різна для різної величини і для різних напрямків хвильового вектора.

Окремі випадки

В одномірних середовищах без дисперсії групова швидкість формально збігається з фазовою швидкістю лише в разі одномірних хвиль.

У дисипативних (поглинаючих) середовищах групова швидкість зменшується зі збільшенням частоти в разі нормальної дисперсії фазової швидкості і, навпаки, збільшується в середовищах з аномальної дисперсією.

Якщо дисперсійні властивості середовища такі, що хвильовий пакет поширюється в ній без істотних змін форми своєї огинаючої, групова швидкість зазвичай може бути інтерпретована як швидкість переносу "енергії" хвилі і швидкість, з якою можуть бути передані за допомогою хвильового пакета сигнали, що несуть інформацію, (тобто "швидкість поширення причинності" ).

У класичному межі квантовомеханічних рівнянь швидкість класичної частинки являє собою значення групової швидкості відповідної квантовомеханічної хвильової функції. Одне з пари канонічних рівнянь Гамільтона :

\ Dot q_i = \ partial H / \ partial p_i

- Тобто, таким чином, класичний межа наведеного вище виразу для групової швидкості; це особливо ясно в декартових координатах, враховуючи \ Vec p = \ hbar \ vec k, \ H (p, q) = \ hbar \ omega (k, q).


Історія

Ідея групової швидкості, що відрізняється від фазової швидкості хвилі, вперше запропонована Гамільтоном в 1839 році. Перше досить повне розгляд зроблено Релея в його "Теорії звуку" ("Theory of Sound") в 1877. [1]


Література

  1. Brillouin, Lon (1960), "Wave Propagation and Group Velocity", New York: Academic Press Inc., OCLC 537250
  • Уізем Дж. Б. Лінійні та нелінійні хвилі. - М.: Мир. - 1977.
  • Ablowitz MJ & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. - SIAM Philadelphia. - 1981.
  • Rabinovich MI, Trubetskov DI Oscillations and waves in linear and nonlinear systems. - Kewver-Academic Publ., Amsterdam. - 1989.
  • Ostrovsky LA and Potapov AI Modulated Waves. Theory and Applications. - Jonh Hopkins Uni Press, Baltimore - London. - 1999.



Швидкості хвиль 2006-01-14 Surface waves.jpg
Групова швидкість | Фазова швидкість | Фронтова швидкість | Сигнальна швидкість