Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Двійкова система числення



План:


Введення

Двійкова система числення - це позиційна система числення з основою 2. У цій системі числення, числа записуються за допомогою двох символів (0 і 1).


1. Історія

  • В 1605 Френсіс Бекон описав систему, літери алфавіту якої можуть бути зведені до послідовностей двійкових цифр, які в свою чергу можуть бути закодовані як ледь помітні зміни шрифту в будь-яких випадкових текстах. Важливим кроком у становленні загальної теорії двійкового кодування є зауваження про те, що вказаний метод може бути використаний стосовно будь-яких об'єктів. [7] (Див. Шифр Бекона)
  • Сучасна двійкова система була повністю описана Лейбніцем в XVII столітті в роботі Explication de l'Arithmtique Binaire [8]. В системі числення Лейбніца були використані цифри 0 і 1, як і в сучасній двійковій системі. Як людина, що захоплюється китайською культурою, Лейбніц знав про книзі Змін і зауважив, що гексаграми відповідають двійковим числах від 0 до 111 111. Він захоплювався тим, що це відображення є свідченням великих китайських досягнень у філософській математики того часу. [9]
  • В 1937 Клод Шеннон предствить до захисту кандидатську дисертацію Символічний аналіз релейних і перемикальних схем в MIT, в якій булева алгебра і двійкова арифметика були використані стосовно до електронних реле і перемикачів. На дисертації Шеннона по суті заснована вся сучасна цифрова техніка.
  • У листопаді 1937 Джордж Штібіц, згодом працював у Bell Labs, створив на базі реле комп'ютер "Model K" (від англ. "K itchen", кухня, де проводилася збірка), який виконував двійкове додавання. В кінці 1938 року Bell Labs розгорнула дослідницьку програму на чолі зі Штібіцом. Створений під його керівництвом комп'ютер, завершений 8 січня 1940, умів виконувати операції з комплексними числами. Під час демонстрації на конференції American Mathematical Society в Дармутском коледжі 11 вересня 1940 Штібіц продемонстрував можливість посилки команд віддаленого калькулятору комплексних чисел по телефонній лінії з використанням телетайпа. Це була перша спроба використання віддаленої обчислювальної машини за допомогою телефонної лінії. Серед учасників конференції, колишніх свідками демонстрації, були Джон фон Нейман, Джон мокли і Норберт Вінер, згодом писали про це у своїх мемуарах.

2. Запис двійкових чисел

Двійкова система числення є окремим випадком здвоєних двійкових показових позиційних систем числення з обома підставами (a і b) рівними 2. Цілі числа записуються у вигляді:

\ X_ {2,2} = (a_ {n-1} a_ {n-2} \ dots a_ {1} a_ {0}) _ {2,2} = \ sum_ {k = 0} ^ {n- 1} a_k b ^ k,

де:

  • \ X_ {2,2} - Репрезентована число,
  • \ (. \. \.) _ {2,2} - Запис числа, рядок цифр і знаків,
  • \ N - Число цифр (знаків) в числі x 2,2,
  • \ K - Порядковий номер цифри,
  • \ A_k - Цифри числа x 2,2 з безлічі a = {0,1}, вагові коефіцієнти, у двійковій системі числення підставу внутріразрядной системи числення дорівнює 2,
  • \ B = 2 - Підстава показовою вагової функції, підстава міжрозрядної системи числення.

Цілі числа є приватними сумами степеневого ряду :

F (X) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nX ^ n,

в якому коефіцієнти a n беруться з кільця R = a {0,1}, X = 2, n = k, а верхня межа в приватних сумах обмежений з \ Infty до - n-1.

Підстава показовою функції - b визначає лише діапазон представляються числами x 2, b величин.
Число записуваних кодів від підстави показовою функції - b не залежить.
Число записуваних кодів залежить від основи внутріразрядной системи числення - a, визначається в комбінаториці і дорівнює числу розміщень з повтореннями :

\ Bar {A} (a, n) = \ bar {A} _a ^ n = a ^ n = 2 ^ n,

де a = 2 - 2-х елементне безліч a = {0,1} з якого беруться цифри a k, n - число елементів (цифр) в числі x 2, b.

Дробові числа записуються у вигляді:

x_ {2,2} = (a_ {n-1} a_ {n-2} \ dots a_ {1} a_ {0}, a_ {-1} a_ {-2} \ dots a_ {- (m-1 )} a_ {-m}) _ {2,2} = \ sum_ {k =- m} ^ {n-1} a_k b ^ k,

де:

  • \ M - Число цифр дробової частини числа,
  • \ A_k - Вагові коефіцієнти з безлічі \ A_k = {0,1} , Підстава внутріразрядной системи числення дорівнює 2,
  • \ B = 2 - Підстава показовою вагової функції, підстава міжрозрядної системи числення.

Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому вигляді, а система числення при цьому може бути не двійковій, з іншою підставою. Приклад: двійково-десяткове кодування, в якому десяткові цифри записуються у двійковому вигляді, а система числення - десяткова.


3. Додавання, віднімання і множення двійкових чисел

Таблиця складання

+ 0 1
0 0 1
1 1 10

Приклад складання "стовпчиком" (14 + 5 = 19):

1
+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1


Таблиця віднімання

- 0 1
0 0 1
1 1 0


Таблиця множення

0 1
0 0 0
1 0 1

Приклад множення "стовпчиком" (14 5 = 70):

1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

4. Перетворення чисел

Для перетворення з двійкової системи в десяткову використовують наступну таблицю ступенів підстави 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Починаючи з цифри 1 всі цифри множаться на два. Точка, яка стоїть після 1, називається двійковій крапкою.

4.1. Перетворення двійкових чисел в десяткові

Припустимо, вам дано двійкове число 110001. Для перекладу на десяткове просто запишіть його справа наліво як суму за розрядами наступним чином:

1 \ times 2 ^ 0 + 0 \ times 2 ^ 1 + 0 \ times 2 ^ 2 + 0 \ times 2 ^ 3 + 1 \ times 2 ^ 4 + 1 \ times 2 ^ 5 = 1 \ times 1 + 0 \ times 2 + 0 \ times 4 + 0 \ times 8 + 1 \ times 16 + 1 \ times 32 = 49 .

Можна записати це у вигляді таблиці наступним чином:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +1

Точно так же, починаючи з двійковою точки, рухайтеся справа наліво. Під кожною двійковій одиницею напишіть її еквівалент в рядку нижче. Складіть отримані десяткові числа.
Таким чином, двійкове число 110001 рівнозначно десятковому 49.


4.2. Перетворення методом Горнера

Переклад цілих чисел методом Горнера Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему даним методом, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Наприклад, бінарне число 1011011 переводиться в десяткову систему так: 0 * 2 + 1 = 1>> 1 * 2 + 0 = 2>> 2 * 2 + 1 = 5>> 5 * 2 ​​+ 1 = 11>> 11 * 2 + 0 = 22>> 22 * 2 + 1 = 45>> 45 * 2 ​​+ 1 = 91 Тобто в десятковій системі це число буде записано як 91. Або число 101111 переводиться в десяткову систему так: 0 * 2 + 1 = 1>> 1 * 2 + 0 = 2>> 2 * 2 + 1 = 5>> 5 * 2 ​​+ 1 = 11>> 11 * 2 + 1 = 23>> 23 * 2 + 1 = 47 Тобто в десятковій системі це число буде записано як 47. Переклад дробових чисел методом Горнера 1) 0,1101 2 = 0, X 10 (розглядаємо цифри в зворотному порядку)
1:2 = 0,5
0,5 +0 = 0,5
0,5:2 = 0,25
0,25 +1 = 1,25
1,25:2 = 0,625
0,625 +1 = 1,625
1,625:2 = 0,8125
Відповідь: 0,1101 2 = 0,8125 10
2) 0,356 8 = 0, X 10 (розглядаємо цифри в зворотному порядку)
6:8 = 0,75
0,75 +5 = 5,75
5,75:8 = 0,371875
0,371875 +3 = 3,371875
3,371875:8 = 0,46484375
Відповідь: 0,356 8 = 0,46484375 10
3) 0, A6E 16 = 0, X 10 (розглядаємо цифри в зворотному порядку)
14:16 = 0,875
0,875 +6 = 6,875
6,875:16 = 0,4296875
0,4296875 +10 = 10,4296875
10,4296875:16 = 0,65185546875
Відповідь: 0, A6E 16 = 0,65185546875 10


4.3. Перетворення десяткових чисел у двійкові

Припустимо, нам потрібно перевести число 19 в двійкове. Ви можете скористатися такою процедурою:

 19 / 2 = 9 із залишку 1 9 / 2 = 4 c залишком 1 4 / 2 = 2 без залишку 0 2 / 2 = 1 без залишку 0 1 / 2 = 0 з залишку 1 

Отже, ми ділимо кожне приватне на 2 і записуємо залишок у кінець двійковій запису. Продовжуємо поділ до тих пір, поки в приватному не буде 0. Результат записуємо справа наліво. Тобто нижнє число буде самим лівим і.т.д. В результаті отримуємо число 19 в двійковій запису: 10011.


4.4. Перетворення дрібних двійкових чисел в десяткові

Потрібно перевести число 1011010.101 в десяткову систему. Запишемо це число наступним чином:

\ Begin {align} & 1 \ times 2 ^ 6 + 0 \ times 2 ^ 5 + 1 \ times 2 ^ 4 + 1 \ times 2 ^ 3 + 0 \ times 2 ^ 2 + 1 \ times 2 ^ 1 + 0 \ times 2 ^ 0 + 1 \ times 2 ^ {-1} + 0 \ times 2 ^ {-2} + 1 \ times 2 ^ {-3} = \ \ & = 1 \ times 64 + 0 \ times 32 + 1 \ times 16 + 1 \ times 8 + 0 \ times 4 + 1 \ times 2 + 0 \ times 1 + 1 \ times \ frac {1} {2} + 0 \ times \ frac {1} {4} + 1 \ times \ frac {1} {8} = 90,625 \ end {align}

4.5. Перетворення дрібних десяткових чисел у двійкові

Переклад дробового числа з десяткової системи числення в двійкову здійснюється за наступним алгоритмом:

  • Спочатку перекладається ціла частина десяткового дробу в двійкову систему числення;
  • Потім дробова частина десяткового дробу множиться на основу двійкової системи числення;
  • В отриманому творі виділяється ціла частина, яка приймається як значення першого після коми розряду числа в двійковій системі числення;
  • Алгоритм завершується, якщо дробова частина отриманого твори дорівнює нулю або якщо досягнута необхідна точність обчислень. В іншому випадку обчислення тривають з попереднього кроку.

Приклад: Потрібен перевести дробове десяткове число 206,116 в дробове двійкове число.

Переклад цілої частини дає 206 10 = 11001110 2 по раніше описаним алгоритмам; дробову частину множимо на підставу 2, заносячи цілі частини твору в розряди після коми шуканого дробового двійкового числа:

.116 2 = 0.232
.232 2 = 0.464
.464 2 = 0.928
.928 2 = 1856
.856 2 = 1.712
.712 2 = 1.424
.424 2 = 0.848
.848 2 = 1.696
.696 2 = 1.392
.392 2 = 0.784
і т. д.
Отримаємо: 206,116 10 = 11001110,0001110110 2


5. Застосування

5.1. У цифрових пристроях

Двійкова система використовується в цифрових пристроях, оскільки є найбільш простий і відповідає вимогам:

  • Чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: є струм (струм більше порогової величини) - немає струму (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т. д.
  • Чим менше кількість станів у елемента, тим вище перешкодостійкість і тим швидше він може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стани через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора, що не сприятиме завадостійкості та надійності зберігання інформації.
  • Двійкова арифметика є досить простою. Простими є таблиці додавання і множення - основних дій над числами.

У цифровій електроніці одному двійковому розряду в двійковій системі числення відповідає (очевидно) один двійковий розряд двійкового регістра, тобто двійковий тригер з двома станами (0,1).


5.2. В англійській системі мір

При вказівці лінійних розмірів у дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5 ", 7 15 / 16", 3 11 / 32 "і т. д.

6. Приклади чисел-ступенів двійки

Ступінь Значення
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536
17 131072
18 262144
19 524288
20 1048576
21 2097152
22 4194304
23 8388608
24 16777216
25 33554432
26 67108864
27 134217728
28 268435456
29 536870912
30 1073741824
31 2147483648
32 4294967296
33 8589934592
34 17179869184
35 34359738368
36 68719476736
37 137438953472
38 274877906944
39 549755813888
40 1099511627776
41 2199023255552
42 4398046511104
43 8796093022208
44 17592186044416
45 35184372088832
46 70368744177664
47 140737488355328
48 281474976710656
49 562949953421312
50 1125899906842624

Примітки

  1. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN 0-8493-7189-9
  2. WS Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire - New York: Barnes & Noble, 1996. - С. 80. - ISBN 0-88029-595-3.
  4. Experts 'decipher' Inca strings - news.bbc.co.uk/2/hi/americas/4143968.stm. архіві - www.webcitation.org/611umbKKZ з першоджерела 18 серпня 2011.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton Estudios sobre Los quipus - books.google.com / books? id = TmbajGgliYYC & printsec = frontcover. - P. 49.
  6. Dale Buckmaster (1974). " The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis - www.jstor.org/stable/2490534 ". Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Перевірено 2009-12-24.
  7. Bacon, Francis, The Advancement of Learning - home.hiwaay.net / ~ paul/bacon/advancement/book6ch1.html, vol. 6, London, pp. Chapter 1 , < http://home.hiwaay.net/ ~ paul/bacon/advancement/book6ch1.html - home.hiwaay.net / ~ paul/bacon/advancement/book6ch1.html>
  8. http://www.leibniz-translations.com/binary.htm - www.leibniz-translations.com/binary.htm Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  9. Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, pp. 245-8, ISBN 0-85274-470-6

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Система числення
Шістнадцяткова система числення
Єгипетська система числення
Унарна система числення
Фібоначчійовий система числення
Кирилична система числення
Позиційна система числення
Десяткова система числення
Десяткова система числення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru