Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Декартом лист



План:


Введення

Декартом лист

Декартом лист - плоска крива третього порядку, що задовольняє рівнянню в прямокутній системі x 3 + y 3 = 3 a x y . Параметр 3 a визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшою хорді петлі.


1. Історія

"Квітка Жасмину"

Вперше рівняння кривої досліджував Р. Декарт в 1638 році, однак він побудував тільки петлю в першому координатному куті, де x і y приймають позитивні значення. Декарт вважав, що петля симетрично повторюється у всіх чотирьох координатних чвертях, у вигляді чотирьох пелюсток квітки. У той час ця крива називалася квіткою жасмину ( англ. jasmine flower , фр. fleur de jasmin ).

У сучасному вигляді цю криву вперше представив Х. Гюйгенс в 1692 році.


2. Рівняння

\ Textstyle x ^ 3 + y ^ 3 = 3axy
\ Rho = \ frac {3a \ cos \ varphi \ sin \ varphi} {\ cos ^ 3 \ varphi + \ sin ^ 3 \ varphi} .
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі:
\ Begin {cases} x = \ frac {3at} {1 + t ^ 3} \ \ y = \ frac {3at ^ 2} {1 + t ^ 3} \ end {cases} , Де t = \ operatorname {tg} \ varphi .
Повернений Декартом лист

Часто розглядають повернену на 135 ^ \ circ криву. Її рівняння виглядають так:

  • У прямокутній системі:
y = \ pm x \ sqrt {\ frac {l + x} {l-3x}} , Де l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}
  • Параметричне:
x = l \ frac {t ^ 2-1} {3t ^ 2 +1}, \ y = l \ frac {t (t ^ 2-1)} {3t ^ 2 +1}
  • У полярних координатах:
\ Rho = \ frac {l \ left (\ sin ^ 2 \ varphi-\ cos ^ 2 \ varphi \ right)} {\ cos \ varphi \ left (\ cos ^ 2 \ varphi + 3 \ sin ^ 2 \ varphi \ right )}
Висновок рівнянь поверненою кривої
Систему координат XOY перетворять в систему координат UOV, яка виходить поворотом осей OX і OY за годинниковою стрілкою на кут \ Alpha = \ frac {\ pi} {4} і переорієнтацією осі OX у протилежному напрямку:
\ Begin {vmatrix} x \ \ y \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix}-u \ \ v \ end {vmatrix} \ begin {vmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \ \ \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {vmatrix} \, \!

Вираз старих координат XY через нові UV виглядає так:

\ Textstyle x = - u \ cos \ alpha - v \ sin \ alpha
\ Textstyle y = - u \ sin \ alpha + v \ cos \ alpha , Або
\ Textstyle x = - \ frac {u} {\ sqrt {2}} - \ frac {v} {\ sqrt {2}}
\ Textstyle y = - \ frac {u} {\ sqrt {2}} + \ frac {v} {\ sqrt {2}} ,

Після підстановки виразів старих координат через нові рівняння декартова листа перетворюється до наступного вигляду:

v ^ 2 = \ frac {u ^ 2} {3} \ frac {3a + u \ sqrt {2}} {a - u \ sqrt {2}} .

Вводимо параметр l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}} , Останнє рівняння перепишеться так:

v ^ 2 = u ^ 2 \ frac {l + u} {l - 3u}

або

v = \ pm u \ sqrt {\ frac {l + u} {l - 3u}} .

Замінюємо змінні u і v на звичні x і y і отримуємо рівняння декартового листа в новій системі координат:

y = \ pm x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}}

Підставивши в рівняння попереднє x = \ rho \ cos \ varphi, \ y = \ rho \ sin \ varphi , Отримуємо рівняння декартова листа в полярній системі координат:

\ Rho \ sin \ varphi = \ rho \ cos \ varphi \ sqrt {\ frac {t + \ rho \ cos \ varphi} {t - 3 \ rho \ cos \ varphi}} .

Вирішуючи цей вираз відносно ρ , Отримуємо:

\ Rho = \ frac {l \ left (\ sin ^ 2 \ varphi-\ cos ^ 2 \ varphi \ right)} {\ cos \ varphi \ left (\ cos ^ 2 \ varphi + 3 \ sin ^ 2 \ varphi \ right )} .

3. Властивості

  • Пряма O A - Вісь симетрії, її рівняння: y = x .
  • Точка A називається вершиною, її координати \ Left (\ frac {3a} {2}, \ frac {3a} {2} \ right) .
  • Для обох гілок існує асимптота U V , Її рівняння: x + y + a = 0 .
Виведення рівняння асимптоти
Для повернутого декатрового листа:

При y = 0 маємо

x = 0 або \ Textstyle \ sqrt {\ frac {l + x} {l-3x}} = 0 ,

Розглядаємо другий випадок: l + x = 0 , Тобто, x = - l , Тобто \ Textstyle x =- \ frac {3a} {\ sqrt {2}} , Значить \ Textstyle OA = \ frac {3a} {\ sqrt {2}} .

Рівняння асимптоти UV визначається з виразу:

l - 3 x = 0 , Отже, \ Textstyle x = \ frac {l} {3} = \ frac {a} {\ sqrt {2}} .

Після повороту осей на -135 ^ \ Circ отримуємо остаточне рівняння

x + y + a = 0
  • Площа області між дугами A C O і A B O \ Textstyle S_1 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2
Знаходження площі S 1
Площа S 1 , Укладена між дугами ACO і ABO обчислюється так:
\ Frac {1} {2} S_1 =- \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \, dx , Де l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}} .

Цей інтеграл обчислюється за допомогою підстановки:

u = l - 3x, \ l + x = \ frac {4} {3} l-\ frac {1} {3} u, \ dx =- \ frac {1} {3} du .

Межі інтегрування:

x =-l \ Rightarrow \; u = 4l, \ qquad x = 0 \ Rightarrow \; u = l

Інтеграл перетвориться до виду:

\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} \ left (l - u \ right) \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du

або

\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} l \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \ , du - \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} u \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du

Перший інтеграл з цього рівняння:

\ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} l \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du .

Підстановка:

u = v ^ 2, \ qquad du = 2vdv .

Межі інтегрування:

u = 4l \ Rightarrow \; v = 2 \ sqrt {l}, \ qquad u = l \ Rightarrow \; v = \ sqrt {l} .

Інтеграл перетвориться до виду:

\ Frac {2l} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {2 \ sqrt {l}} ^ {\ sqrt {l}} \ sqrt {\ left (2 \ sqrt {l} \ right) ^ 2 - v ^ 2} \, dv =
= \ Frac {2l} {\ sqrt {3}} \ left [\ frac {v} {2} \ sqrt {\ left (2 \ sqrt {t} \ right) ^ 2 - v ^ 2} + \ frac { \ left (2 \ sqrt {l} \ right) ^ 2} {2} \ arcsin \ left (\ frac {v} {2 \ sqrt {l}} \ right) \ right] \ Bigg | ^ \ sqrt {l } _ {2 \ sqrt {l}} = \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ sqrt {3} - \ frac {4} {3} \ pi \ right] .

Другий інтеграл:

- \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} \ sqrt {4tu ^ 2 - u ^ 2} \, du

Підстановка:

u = v + 2l, \ qquad du = dv .

Межі інтегрування:

u = 4l \ Rightarrow \; v = 2t, \ qquad u = l \ Rightarrow \; v =-l .

Інтеграл перетвориться до виду:

- \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {2l} ^ {-l} \ sqrt {\ left (2l \ right) ^ 2 - v ^ 2} \, dv =
= - \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {v} {2} \ sqrt {\ left (2l \ right) ^ 2 - v ^ 2} + \ frac {\ left ( 2l \ right) ^ 2} {2} \ arcsin \ left (\ frac {v} {2l} \ right) \ right] \ Bigg | ^ {-l} _ {2l} = \ frac {l ^ 2} { 9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {4} {3} \ pi \ right] .

Отже:

\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ sqrt {3} - \ frac {4} {3} \ pi \ right] + \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {4} {3} \ pi \ right] .

Площа S 1 дорівнює

S_1 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2 .
  • Площа області між асимптотой і кривою дорівнює площі петлі \ Textstyle S_2 = S_1 = \ frac {3} {2} a ^ 2 .
Знаходження площі S 2
Площа S 2 , Укладена між гілками кривої і асимптотой UV, обчислюється точно також, як і площа S 1 ; Інтеграл береться в межах від 0 до \ Textstyle \ frac {l} {3} .
\ Frac {1} {2} S_2 = \ int \ limits_ {0} ^ {\ frac {l} {3}} x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \, dx

Цей інтеграл обчислюється також, як і в попередньому випадку.

S_2 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2 , Тобто, площі S 1 і S 2 рівні між собою.
  • Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги A C O навколо осі абсцис \ Textstyle V_1 = \ frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} -1 \ right)
Знаходження об'єму обертання
Об'єм ( V 1 ) Тіла, утвореного при обертанні дуги A C O навколо осі абсцис, розраховується так:
V_1 = \ pi \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x ^ 2 \ frac {l + x} {l - 3x} \, dx =
= - \ Frac {\ pi} {3} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x ^ 2 \, dx - \ frac {4 \ pi l} {9} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x \, dx - \ frac {4 \ pi l ^ 2} {27} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} \, dx + \ frac {4 \ pi l ^ 3} {27} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} \ frac {dx} {l - 3x} \, =
= \ Frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} - 1 \ right) .

Отже:

V_1 = \ frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} - 1 \ right) .

Об'єм ( V 2 ) Тіла, утвореного при обертанні однієї гілки навколо осі абсцис, прагне до нескінченності. Цей обсяг обчислюється з попереднього інтеграла в межах від 0 до \ Frac {t} {3} . Цей інтеграл дорівнює нескінченності, тобто

V_2 = \ infty .

4. Дослідження кривої

При y = 0 маємо x = 0 або \ Sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} = 0 , Або l + x = 0 \ Rightarrow x = - l \ Rightarrow x = - \ frac {3a} {\ sqrt {2}} , Тобто OA = \ frac {3a} {\ sqrt {2}} .

Рівняння асимптоти UV визначається з виразу:

l - 3x = 0 \ Rightarrow x = \ frac {l} {3} = \ frac {a} {\ sqrt {2}} .

5. Похідна

Щоб знайти максимальне значення функції та рівняння дотичній, обчислимо похідну функції:

y '= \ left (x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \ right)'
y '= \ frac {2lx} {\ left (l - 3x \ right) \ left (\ sqrt {l - 3x} \ sqrt {l + x} \ right)} + \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} .

Прирівнюємо похідну y 'нулю і вирішуємо, отримане рівняння, щодо x. Отримаємо: x = - \ frac {l} {\ sqrt {3}} . При цьому значенні x функція (2) має максимум на верхній дузі A C O - Точка C і мінімум на нижній дузі A B O - Точка B . Значення функції в цих точках дорівнює:

y \ left (- \ frac {l} {\ sqrt {3}} \ right) = \ pm \ frac {l} {\ sqrt {3}} \ sqrt {\ frac {3 - \ sqrt {3}} { \ sqrt {3} + 1}} .

Значення похідної y 'в точці O одно \ Pm 1 , Тобто дотичні в точці O взаємно перпендикулярні і нахилені до осі абсцис під кутом \ Pm \ frac {\ pi} {4} .


Література

Криві
Визначення
Перетворені
Неплоских
Плоскі алгебраїчні
Конічні перетини
3-й порядок
Лемніската
Апроксимаційні
Циклоїдальні
Плоскі трансцендентні
Спіралі
Циклоїдальні

Циклоїда Епіціклоіда Гіпоціклоіда Трохоіда (Подовжена + Укорочена циклоїда) Епітрохоїді (Подовжена + Укорочена епіціклоіда ( "Роза") Гіпотрохоіда Швидкого спуску ( Брахістохрона, дуга циклоїди)

Інші
Фрактальні
Прості
Топологічні

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Декартом квадрат
Лист
Лист
Лист і
Ельбасанское лист
Кіпрське лист
Кпелле (лист)
Лист черокі
Палеоіспанское лист
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru