Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дельта-функція



План:


Введення

δ -Функція (або дельта-функція, δ -Функція Дірака, Діраковскій дельта, одинична імпульсна функція) дозволяє записати просторову щільність фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сила і т. п.), зосередженої або прикладеної в одній точці.

Наприклад, щільність одиничної точкової маси, що знаходиться в точці a евклідова простору \ R ^ n , Записується за допомогою δ -Функції у вигляді δ (x - a) . Також застосовна для опису розподілів заряду, маси і т. п. на поверхнях або лініях.

δ -Функція є узагальненої функцією : формально вона визначається як безперервний лінійний функціонал на просторі диференційовних функцій.

δ -Функція не є функцією в класичному сенсі, тим не менше, неважко вказати послідовності звичайних класичних функцій, слабо сходяться до δ -Функції.

Можна розрізняти одномірну і багатовимірні дельта-функції, однак останні можуть бути представлені у вигляді твору одновимірних в кількості, що дорівнює розмірності простору, на якому визначена багатовимірна.

Введена англійським фізиком Полем Діраком.


1. Визначення

Існують різні погляди на поняття дельта-функції. Отримувані при цьому об'єкти, взагалі кажучи, різні, проте мають ряд загальних характерних властивостей. Усі зазначені нижче конструкції природно узагальнюються на випадки просторів більшої розмірності ( \ R ^ n , n> 1 ).

1.1. Інтуїтивне визначення

Дельта-функцію (функція Дірака) однієї речової змінної можна уявляти собі як "функцію" δ (x) , Для якої виконуються наступні рівності:

  • \ Delta (x) = \ left \ {\ begin {matrix} + \ infty, & x = 0, \ \ 0, & x \ ne 0; \ \ \ end {matrix} \ right.
  • \ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (x) \, dx = 1.

Тобто ця функція не дорівнює нулю тільки в точці x = 0 , Де вона звертається в нескінченність таким чином, щоб її інтеграл по будь-який околиці x = 0 дорівнював 1. У цьому сенсі поняття дельта-функції аналогічно фізичним поняттям точкової маси або точкового заряду. Аналогічні умови вірні і для дельта-функцій, визначених на \ Mathbb {R} ^ n .

Ці рівності не прийнято вважати визначенням дельта-функції, однак у багатьох підручниках з фізиці вона визначається саме так, і цього достатньо для рішення фізичних завдань. Відзначимо, що крім цього неявно передбачається рівність

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (x) f (x) \, dx = f (0)

для будь-якої функції f . Воно не слід навіть формально із зазначеного вище тотожності, так як взагалі кажучи значення цього інтеграла також могло б включати в себе похідні від f . Саме це відбувається з похідними від дельта-функції, які також майже всюди рівні 0 і звертаються в нескінченність при x = 0 .


1.2. Класичне визначення

Дельта-функція визначається як лінійний безперервний функціонал на деякому функціональному просторі (просторі основних функцій). Залежно від мети і бажаних властивостей, це може бути простір функцій з компактним носієм, простір функцій, швидко убувають на нескінченності, гладких функцій на різноманітті, аналітичних функцій і т. д. Для того, щоб були визначені похідні дельта-функції з хорошими властивостями, у всіх випадках основні функції беруться нескінченно диференційовними, простір основних функцій також має бути повним метричним простором. Загальний підхід до узагальнених функцій див відповідній статті. Такі узагальнені функції також називають розподілами.

Ми розглянемо найпростіший варіант. Як простору основних функцій розглянемо простір \ Mathcal {E} всіх нескінченно диференційовних функцій на відрізку. Послідовність \ Varphi_n \ in \ mathcal {E} сходиться до \ Varphi \ in \ mathcal {E} , Якщо на будь-якому компакті K \ in \ R функції φ n сходяться до \ Varphi рівномірно разом з усіма своїми похідними:

\ Lim_ {n \ to \ infty} \ varphi_n = \ varphi \ iff \ sup_j \ sup_ {x \ in K} \ left | \ varphi ^ {(j)} _n (x) \ right | \ xrightarrow {n \ to \ infty} \, 0.

Це локально опукле метрізуемое простір. Дельта-функцію визначимо як функціонал \ Delta \ in \ mathcal {E} ^ \ prime , Такий що

\ Forall \ varphi \ in \ mathcal {E}: \; \ lang \ delta; \; \ varphi \ rang = \ varphi (0).

Безперервність означає, що якщо \ Varphi_n \ to \ varphi , То \ Lang \ delta; \; \ varphi_n \ rang \ to \ lang \ delta; \; \ varphi \ rang . Тут \ Lang \ delta; \; \ varphi \ rang - Значення функціоналу на функції \ Varphi . Для зручності це записують як

\ Lang \ delta; \; \ varphi \ rang = \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (x) \ varphi (x) \, dx.

Зауважимо, що при такому підході інтегральна запис є не більше, ніж формальне позначення, що полегшує сприйняття формул.


1.3. Дельта-функція по Коломбо

Використовуваному для роботи з дельта-функцією інтегральному висловом можна надати сенс, близький до інтуїтивного, в рамках теорії алгебри узагальнених функцій Коломбо [1]. Визначення Коломбо елементарно, в тому сенсі що для його розуміння не потрібно знань, що виходять за рамки першого курсу мехмату МГУ, проте технічно громіздко. Ми не будемо тут наводити його повністю.

Нехай \ Mathcal {D} - Безліч нескінченно диференційовних функцій f \ colon \ R \ to \ R з компактним носієм, тобто не рівних нулю лише на обмеженій множині. Розглянемо безліч функцій

\ Mathcal {A} = \ left \ {\ varphi \ in \ mathcal {D} \, \ bigg | \ int_ \ R \ varphi (x) \, dx = 1, \; \ int_ \ R x \ varphi (x ) \, dx = 0 \ right \}.

Узагальнена функція - це клас еквівалентності функцій R \ colon \ mathcal {A} \ times \ R \ to \ R , R \ colon (\ varphi, \; x) \ mapsto R (\ varphi, \; x) , Нескінченно диференційовних по x при кожному \ Varphi \ in \ mathcal {A} і задовольняють деякій умові поміркованості (вважаючи φ ε (x) = ε - 1 φ (x ε - 1) , R (\ varphi_ \ varepsilon, \; x) і всі її похідні по x досить повільно ростуть при \ Varepsilon \ to 0 ). Дві функції покладаються еквівалентними, якщо R_1-R_2 \ in \ mathcal {N} , Де \ Mathcal {N} - Ще один клас функцій з обмеженнями на зростання R (\ varphi_ \ varepsilon, \; x) при \ Varepsilon \ to 0 .

Дельта-функція визначається як \ Delta (\ varphi, \; x) = \ varphi (-x) . Перевага підходу Коломбо в тому, що його узагальнені функції утворюють комутативну асоціативну алгебру, при цьому на безліч узагальнених функцій природно тривають поняття інтегрування, диференціювання, меж, навіть значення в точці. У цьому сенсі на дельта-функцію дійсно можна дивитися як на функцію, що дорівнює 0 скрізь, крім точки 0, і рівну нескінченності в нулі, так як теорія Коломбо включає в себе теорію нескінченно великих і нескінченно малих чисел, аналогічно нестандартному аналізу.


1.4. Підхід Єгорова

Аналогічна теорія узагальнених функцій була викладена в роботі Ю. В. Єгорова [2]. Хоча вона не еквівалентна теорії Коломбо, конструкція значно простіше і володіє більшістю бажаних властивостей.

Узагальнена функція - це клас еквівалентності послідовностей f = (f_1, \; f_2, \; \ ldots), \; f_i \ in C ^ \ infty (\ R) . Послідовності f і \ Tilde f вважаються еквівалентними, якщо для будь-якого компакта \ Omega \ Subset \ R функції послідовностей збігаються на Ω починаючи з деякого номера:

f \ sim \ tilde f \ iff \ forall \ Omega \ Subset \ R \ \ exists N \ \ forall k> N \ colon f_k | _ \ Omega = {\ tilde f} _k | _ \ Omega.

Всілякі операції над послідовностями (множення, додавання, інтегрування, диференціювання, композиція, ...) визначаються покомпонентно. Наприклад, інтеграл по безлічі I визначається як клас еквівалентності послідовності

\ Int_I f (x) \, dx = [(a_1, \; a_2, \; \ ldots)], \; a_i = \ int_I f_i (x) \, dx.

Дві узагальнені функції слабо рівні, якщо для будь нескінченно гладкої функції \ Varphi

\ Lim_ {k \ to \ infty} \ int_I (f_k (x) - {\ tilde f} _k (x)) \ varphi (x) \, dx = 0.

При цьому дельта-функція визначається будь дельта-подібної послідовністю (див. нижче), всі такі узагальнені функції слабо рівні.


2. Властивості

  • Інтеграл від дельта-функції з будь-якого інтервалу, що містить в собі нуль, тобто інтервалу виду (-A_1, \; a_2) , Де a 1 і a 2 - Довільні дійсні додатні числа, дорівнює 1.
  • x \ delta ^ \ prime (x) =- \ delta (x).
  • \ Delta (f (x)) = \ sum_k \ frac {\ delta (x-x_k)} {| f '(x_k) |} , Де x k - Прості нулі функції f (x) .
Hevisaidstep.JPG
\ Theta (x) = \ left \ {\ begin {array} {* {35} {l}} 0, & x <0, \ \ \ dfrac {1} {2}, & x = 0, \ \ 1 , & x> 0. \ \ \ End {array} \ right.
  • Фільтруюче властивість дельта-функції:

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ delta (x-x_0) \, dx = f (x_0).


3. δ-функція як слабкий межа

Нехай \ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, dx = 1.

Тоді послідовність

f n (x) = n f (n x)

слабо сходиться до δ -Функції.

Графік функції \ Scriptstyle {\ sin x / x}

Часто як ~ F (x) вибирають

f (x) = \ frac {\ sin x} {\ pi x},

дає послідовність

f_n (x) = n \ frac {\ sin (nx)} {n \ pi x}.

Якщо потрібно, щоб члени послідовності були всюди позитивними функціями, можна виходити з Гауссова дзвони:

f (x) = \ frac1 {\ sqrt {\ pi}} e ^ {-x ^ 2},
f_n (x) = \ frac {n} {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- (nx) ^ 2}.

4. Інтегральне представлення

У багатьох додатках виявляється зручним інтегральне уявлення дельта-функції:

\ Delta (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i \ omega t} \, d \ omega.
Доказ

Розглянемо інтеграл

I (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {i \ omega t} \, d \ omega, (1)

який можна інтерпретувати як межа

I (t) = \ lim_ {N \ to \ infty} I_N (t),

де

I_N (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {-N} ^ N e ^ {i \ omega t} \, d \ omega = \ frac {1} {\ pi} N \ frac {\ sin {tN}} {tN}. (2)
Графік функції s i n (x) / x

Відомо, що

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {\ sin t} {t} \, dt = \ pi. (3)

В силу (3) для будь-якого N справедливо рівність:

(4)

Можна показати (див. вище), що при необмеженому зростанні N для функції (2) виявляються вірними всі властивості дельта-функції і вона в певному сенсі прагне до ~ \ Delta (t) .


5. Похідна дельта-функції

Фундаментальне вираз, що описує похідну дельта-функції δ (x) :

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ delta ^ \ prime (xa) \, dx =- f ^ \ prime (a)

(Поширення на випадок подинтегральних виразів, що містять дельта-функцію, інтегрування по частинах).

Аналогічно для n -Ої похідної дельта-функції:

f} {\ partial x} \ delta ^ {[n-1]} (x-a) \, dx.

А проінтегрувавши так по частинах n раз, одержимо в кінці кінців:

\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ delta ^ {[n]} (xa) \, dx = \ left. (-1) ^ N \ frac {\ partial ^ nf (x)} {\ partial x ^ n} \ right | _ {x = a}.

Підставивши ж в першу формулу f (x) = x g (x) і a = 0 , Переконаємося, що

x \ delta ^ \ prime (x) =- \ delta (x).

Для похідної дельта-функції також вірні наступні тотожності:

\ Delta ^ \ prime (-x) =- \ delta ^ \ prime (x);
f (x) \ delta ^ \ prime (x) = f (0) \ delta ^ \ prime (x)-f ^ \ prime (0) \ delta (x).

6. Перетворення Фур'є

  • У цьому параграфі ми будемо застосовувати нормування, відповідну угоди про одиничному коефіцієнті у зворотному перетворенні, тобто маючи на увазі f (t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F (\ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega .
  • Формули цього параграфа мають відповідні аналоги для багатовимірного перетворення Фур'є.

До дельта-функції можна застосувати перетворення Фур'є :

F \ left \ {\ delta (\ omega) \ right \} = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (t) \ cdot e ^ {-i \ omega t} \, dt = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {-i \ omega \ cdot 0} = \ frac {1} {\ sqrt { 2 \ pi}} ,

в результаті виходить, що спектр (фур'є-образ) δ -Функції є просто константою:

F \ left \ {\ delta (\ omega) \ right \} = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}.

Тобто, як і було показано вище,

\ Delta (t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {i \ omega t} \, d \ omega = \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i \ omega t} \, d \ omega.

7. Подання багатовимірних дельта-функцій в різних системах координат

В n -Мірному просторі в декартових координатах (ортонормированном базисі):

\ Int \ delta ^ n (x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) \, d ^ n x = 1;
\ Delta ^ n (x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) = \ delta (x_1) \ delta (x_2) \ ldots \ delta (x_n).

У двовимірному просторі:

\ Iint \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta ^ 2 (x, \; y) \, dx \, dy = 1;
\ Delta ^ 2 (ax, \; by) = \ frac {1} {\ left | ab \ right |} \ delta ^ 2 (x, \; y);
\ Delta ^ 2 (x, \; y) = \ delta (x) \ delta (y).

У полярних координатах:

\ Delta ^ 2 (r, \; \ varphi) = \ frac {\ delta (r)} {\ pi \ left | r \ right |} - Незміщеної щодо початку координат (з особливістю при r = 0 ),
\ Frac {\ delta (r-r_0) \ delta (\ varphi-\ varphi_0)} {| r |} - З особливістю в точці загального положення (R_0, \; \ varphi_0) ; При r = 0 доопределяется нулем.

У тривимірному просторі:

\ Iiint \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta ^ 3 (x, \; y, \; z) \, dx \, dy \, dz = 1;
\ Delta ^ 3 (x, \; y, \; z) = \ delta (x) \ delta (y) \ delta (z).

В циліндричній системі координат :

\ Delta ^ 3 (r, \; \ theta, \; z) = \ frac {\ delta (r) \ delta (z)} {\ pi r} - Незміщеної щодо початку координат (з особливістю при r = 0, \; z = 0 ),
\ Frac {\ delta (r-r_0) \ delta (\ varphi-\ varphi_0) \ delta (z-z_0)} {| r |} - З особливістю в точці загального положення (R_0, \; \ varphi_0, \; z_0) ; При r = 0 доопределяется нулем.

В сферичної системі координат :

\ Delta ^ 3 (r, \; \ theta, \; \ varphi) = \ frac {\ delta (r)} {2 \ pi r ^ 2} - Незміщеної щодо початку координат (з особливістю при r = 0 ).

8. Фізична інтерпретація

Поблизу зарядженої точки поле нескінченно, ряди Тейлора для поля не сходяться, тому вводять спеціальні функції. Однією з таких функцій є дельта-функція. Питання про поле точкового зарядженої частинки порівняно складний, тому розглянемо спочатку більш простий приклад.

8.1. Миттєве прискорення

Нехай частинка, що рухається вздовж прямої, при ударі пренебрежимо малої тривалості стрибком набувають якусь швидкість. Задамося питанням: як розрахувати прискорення, придбане тілом? Побудуємо графік залежності зміни швидкості від часу. Графік буде мати наступний вигляд:

Hevisaidstep.JPG

Даний графік майже всюди є графіком функції Хевісайда. Похідна функції Хевісайда є одиничною дельта-функцією, графік якої умовно можна зобразити як

Dirac-edenichnaja.jpg

Даний графік відображає нескінченне прискорення при миттєвому наборі швидкості. У загальному випадку прискорення при ударі можна записати як

a (t) = \ nu \ delta (t-t_a). \

8.2. Маса матеріальної точки

Якщо потрібно знайти сумарну масу (або заряд) деякого безперервного розподілу щільності (або щільності заряду) m = \ int \ rho_ \ mathrm {contin} , Що містить крім того точкові маси (заряди), то зручно замість формули, що враховує окремо дискретні маси і безперервну кінцеву щільність:

m = \ int \ rho_ \ mathrm {contin} (\ mathbf {x}) \, dV + \ sum_i q_i

записувати просто:

m = \ int \ rho (\ mathbf {x}) \, dV,

маючи на увазі, що \ Rho (\ mathbf {x}) має як безперервну, так і дельтоподібним (по одній для кожної точкової маси) складові:

\ Rho (\ mathbf {x}) = \ rho_ \ mathrm {contin} (\ mathbf {x}) + \ sum_i q_i \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _i).

8.3. Інші приклади

  • Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при вирішенні завдань, до яких входять зосереджені величини. В квазікласичному межі ( \ Hbar \ rightarrow 0 ) квантової механіки хвильові функції локалізуються в хвильові пакети з дельтоподібним (тобто мають в межі форму дельта-функції) огинають, і області їх локалізації рухаються по класичних траєкторіях згідно рівнянь Ньютона.
  • Перетворення Фур'є синуса є дельта-функцією. Це дозволяє більш зручно і математично строго формулювати різні завдання, пов'язані з перетворенням Фур'є, які дуже численні: хвильова оптика, акустика, теорія коливань. У квантовій механіці перетворення Фур'є хвильових функцій відіграють першорядну принципову та технічну роль, саме для неї Дірак вперше ввів дельта-функцію.
  • Дельта-функції відіграють роль власних функцій оператора з безперервним спектром в уявленнях, де цей оператор діагоналей. Таким чином, вони грають роль базису в діагональному поданні оператора.
  • Важливим застосуванням дельта-функції є їх участь в апараті функцій Гріна лінійних операторів. Для лінійного оператора L , Що діє на узагальнені функції над різноманіттям M , Рівняння, що визначає функцію Гріна g з джерелом в точці x 0 , Має вигляд
L \, g (x, \; x_0) = \ delta (x-x_0).
Особливо часто зустрічається застосування цього апарата до оператору Лапласа (електростатика, теплопровідність, дифузія, механічна теорія пружності) і подібним йому операторам, таким як Оператор Д'Аламбера (акустика, електродинаміка, квантова теорія поля, де функція Гріна часто носить спеціальну назву пропагатор).
\ Nabla ^ 2 \ left (\ frac {1} {r} \ right) =- 4 \ pi \ delta (r),
де r - Відстань до початку координат. Цей факт використовується для доказу того, що вираз для скалярного потенціалу :
задовольняє рівнянню Пуассона :
\ Nabla ^ 2 \ Phi =- 4 \ pi \ varrho.

Примітки

  1. Colombeau JF Elementary Introduction to New Generalized Functions - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 с. - ISBN 978-0-444-87756-7.
  2. Єгоров Ю. В. До теорії узагальнених функцій - mi.mathnet.ru/umn4781 / / УМН. - 1990. - В. 5 (275). - Т. 45. - С. 3-40.

Література

  • Дірак П. А. М. Основи квантової механіки / Пер. з англ. - М ., 1932 (є багато перевидань).
  • Кудрявцев Л. Д. Короткий курс математичного аналізу. - Том 2. - ISBN 5-9221-0185-4.
  • Weisstein, Eric W. Delta Function - mathworld.wolfram.com / DeltaFunction.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Хермандера Л. Аналіз лінійних диференціальних рівнянь. - Том 1.
  • Хермандера Л. Лінійні диференціальні оператори в приватних похідних.
  • Гельфанд І. М., Шилов Г. Е. Узагальнені функції та дії над ними.
  • Краснопевцев Е. А. Математичні методи фізики. Вибрані питання.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дельта
Дельта T
Дельта-резонанси
Гудрі, Дельта
Дельта Гангу
Дельта Дунаю
Дельта Янцзи
Дельта-кодування
Дельта Телеком
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru