Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Десяткова дріб



План:


Введення

Десяткова дріб - спосіб подання дійсних чисел у вигляді

\ Pm d_m \ ldots d_1 d_0, d_ {-1} d_ {-2} \ ldots

де

\ Pm - Знак дробу: або + , Або - ,
, - Десяткова кома, що служить роздільником між цілою і дробовою частиною числа (російський стандарт) [1],
d k - десяткові цифри. Причому послідовність цифр до коми (ліворуч від неї) кінцева (як мінімум одна цифра), а після коми (праворуч від неї) - може бути як кінцевої (зокрема, цифри після коми можуть взагалі бути відсутнім), так і нескінченною.

Приклади:

  • 123,45 (Кінцева десяткова дріб)
  • Подання числа π у вигляді нескінченної десяткового дробу: 3,1415926535897 ...

Значенням десяткового дробу \ Pm d_m \ ldots d_1 d_0, d_ {-1} d_ {-2} \ ldots є дійсне число

\ Pm \ left (d_m \ cdot 10 ^ m + \ ldots + d_1 \ cdot 10 ^ 1 + d_0 \ cdot 10 ^ 0 + d_ {-1} \ cdot 10 ^ {-1} + d_ {-2} \ cdot 10 ^ {-2} + \ ldots \ right),

рівне сумі кінцевого або нескінченного числа доданків.

Представлення дійсних чисел за допомогою десяткових дробів є узагальненням записи цілих чисел в десятковій системі числення. У поданні цілого числа у вигляді десяткового дробу відсутні цифри після коми, і таким чином, це подання має вигляд

\ Pm d_m \ ldots d_1 d_0,

що збігається із записом цього числа в десятковій системі числення.


1. Угоди про запис десяткових дробів

Зазвичай в повній запису десяткового дробу

\ Pm d_m \ ldots d_1 d_0, d_ {-1} d_ {-2} \ ldots

послідовність цифр до коми об'єднують в одне невід'ємне ціле a 0 , Десяткової записом якого ця послідовність цифр є, то є

a_0 = \ sum_ {k = 0} ^ {m} d_k \ cdot 10 ^ k

і саму десяткову дріб записують у скороченій формі

\ Pm a_0, a_1 a_2 \ ldots \ ldots

в якій крім того знаки після коми для зручності перенумеровані позитивними індексами. Десяткова дріб, записана у скороченій формі, є поданням дійсного числа

\ Pm \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k \ cdot 10 ^ {-k}

Знак + ("Плюс") перед дробом зазвичай опускають.


2. Кінцеві і нескінченні десяткові дроби

2.1. Кінцеві дробу

Десяткова дріб називається кінцевою, якщо вона містить кінцеве число цифр після коми (зокрема, жодного), тобто має вигляд

\ Pm a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n

Відповідно до визначення ця дріб представляє число

\ Pm \ sum_ {k = 0} ^ {n} a_k \ cdot 10 ^ {-k}

Легко бачити, що це число можна представити у вигляді звичайного дробу виду p / 10 s , Знаменник якої є ступенем десятки. Назад, будь-яке число виду p / 10 s , Де p - Ціле, а s - Ціле невід'ємне, можна записати у вигляді кінцевої десяткового дробу.

Якщо звичайну дріб p / 10 s привести до нескоротного увазі, її знаменник матиме вигляд 2 m 5 n . Таким чином, має місце наступна теорема про представимости дійсних чисел у вигляді кінцевих десяткових дробів.

Теорема. Дійсне число представимо у вигляді кінцевої десяткового дробу тоді і тільки тоді коли воно є раціональним і при записі його нескоротного дробом p / q , Знаменник q не має простих дільників, відмінних від 2 і 5 .


2.2. Нескінченні дробу

Нескінченна десяткова дріб

\ Pm a_0, a_ {1} a_ {2} \ ldots

представляє, згідно з визначенням, дійсне число

\ Pm \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k \ cdot 10 ^ {-k}

Цей ряд сходиться, які б не були ціле невід'ємне a 0 і десяткові цифри a_1, a_2, \ ldots . Ця пропозиція випливає з того факту, що даний ряд мажоріруется сходящимся поруч

a_0 + \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} 9 \ cdot 10 ^ {-k}

3. Представлення дійсних чисел десятковими дробами

Таким чином, будь-яка кінцева або нескінченна десяткова дріб представляє деяке цілком визначене дійсне число. Залишаються такі питання:

  1. Всяке чи дійсне число може бути представлено у вигляді десяткового дробу?
  2. Єдино таке подання?
  3. Який алгоритм розкладання числа в десяткову дріб?

Ці питання висвітлюються нижче.

3.1. Алгоритм розкладання числа в десяткову дріб

Нижче описується алгоритм побудови за довільним дійсному числу α десяткового дробу, яка є його поданням.

Розглянемо спочатку випадок \ Alpha \ geqslant 0 . Розділимо всю числову пряму цілочисельними точками на відрізки одиничної довжини. Розглянемо той відрізок I 0 , Який містить точку α ; В окремому випадку, коли точка α є кінцем двох сусідніх відрізків, як I 0 виберемо правий відрізок.

Числова пряма, розділена цілочисельними точкамі.png

Якщо позначити ціле невід'ємне число, що є лівим кінцем відрізка I 0 , Через a 0 , То можна записати:

I_0 = [a_0 \,; \, a_0 + 1]

На наступному кроці розділимо відрізок I 0 на десять рівних частин точками

a_0 + b/10, \; b = 1, \ ldots, 9

і розглянемо той з відрізків довжини 1 / 10 , На якому лежить точка α ; В разі коли ця точка є кінцем двох сусідніх відрізків, з цих двох відрізків знову виберемо правий.

Побудова десяткового подання числа, етап 1.png

Позначимо цей відрізок I 1 . Він має вигляд:

I_1 = \ left [a_0 + \ frac {a_1} {10} \,; \, a_0 + \ frac {a_1 + 1} {10} \ right]

Будемо продовжувати аналогічним чином процес подрібнення числової прямої і послідовного уточнення положення точки α .

На черговому кроці, маючи відрізок I n - 1 , Що містить точку α , Ми ділимо його на десять рівних відрізків і вибираємо з них той відрізок I n , На якому лежить точка α ; В разі коли ця точка є кінцем двох сусідніх відрізків, з цих двох відрізків вибираємо правий.

Продовжуючи цей процес ми отримаємо послідовність відрізків I_0, I_1, \ ldots виду

I_n = \ left [a_0 + \ frac {a_1} {10 ^ 1} + \ ldots + \ frac {a_n} {10 ^ n} \,; \, a_0 + \ frac {a_1} {10 ^ 1} + \ ldots + \ frac {a_n} {10 ^ n} + \ frac {1} {10 ^ n} \ right]

де a 0 - Ціле невід'ємне, а a_1, a_2, \ ldots - Цілі числа, що задовольняють нерівності 0 \ leqslant a_k \ leqslant 9 .

Побудована послідовність відрізків I_0, I_1, \ ldots має такі властивості:

  • Відрізки послідовно вкладені один в одного: I_0 \ supset I_1 \ supset I_2 \ supset \ ldots
  • Довжина відрізків | I_n | = 10 ^ {-n}, \; n = 0, 1, 2, \ ldots
  • Точка α належить усім відрізкам послідовності

З цих умов випливає, що I_0, I_1, \ ldots є система вкладених відрізків, довжини яких прагнуть до нуля при n \ to \ infty , А точка α є спільна точка усіх відрізків системи. Звідси випливає, що послідовність лівих кінців відрізків сходиться до точки α (Аналогічне твердження справледліво і для послідовності правих кінців), тобто

a_0 + \ frac {a_1} {10 ^ 1} + \ ldots + \ frac {a_n} {10 ^ n} \ to \ alpha при n \ to \ infty

Це означає, що ряд

\ Sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k \ cdot 10 ^ {-k}

сходиться до числа α , І таким чином, десяткова дріб

a_0, a_ {1} a_ {2} \ ldots

є представленням числа α . Таким чином, знайдено розкладання неотрицательного числа α в десяткову дріб.

Отримана десяткова дріб є нескінченною з побудови. При цьому може виявитися, що починаючи з деякого номера, все десяткові знаки після коми суть нулі, тобто дріб має вигляд

a_0, a_1 \ ldots a_n 000 \ ldots

Неважко бачити, що ця можливість має місце в тому випадку, коли на деякому кроці точка α збігається з однією з точок поділу числової прямої. У цьому випадку відкидаючи в сумі

\ Sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k \ cdot 10 ^ {-k}

нульові доданки, отримаємо, що число α також може бути представлено кінцевої десятковим дробом

a_0, a_1 \ ldots a_n

Взагалі, ясно, що приписуючи в кінець десяткового дробу після коми будь-яку кількість нулів (у тому числі нескінченна), ми не змінюємо значення дробу. Таким чином, в даному випадку число α може бути представлено як кінцевої, так і нескінченної десяткової дріб (отриманої з першої приписуванням нескінченного числа нулів).

Тим самим розглянуто випадок неотрицательного α . У разі негативного α , В якості десяткового подання цього числа можна взяти уявлення протилежного йому позитивного числа, взяте зі знаком "мінус".

Наведений алгоритм дає спосіб розкладання довільного дійсного числа в десяткову дріб. Тим самим доведено наступна

Теорема. Усяке дійсне число може бути представлено у вигляді десяткового дробу.


3.2. Про роль аксіоми Архімеда

Наведений алгоритм розкладання дійсного числа в десяткову дріб істотно спирається на властивість системи дійсних чисел, зване аксіомою Архімеда.

Це властивість була використана двічі в алгоритмі. На самому початку побудови вибиралося ціле a 0 , Таке що дійсне число α знаходиться між a 0 і наступним цілим a 0 + 1 :

a_0 \ leqslant \ alpha <a_0 + 1, \; a_0 \ in \ mathbb {Z}

Проте існування такого цілого числа a 0 треба ще довести: не можна виключати, наприклад, можливість, коли яке було ціле n , Завжди має місце нерівність n \ leqslant \ alpha . Якщо б цей випадок мав місце, то, очевидно, потрібного числа a 0 не знайшлося б.

Ця можливість якраз виключається аксіомою Архімеда, згідно з якою яке б не було число α , Завжди знайдеться ціле n , Таке що n> α . Тепер серед чисел k = 1, \ ldots, n візьмемо найменше, що володіє властивістю k> α . Тоді

k - 1 \ leqslant \ alpha <k

Шукалося число знайдено: a 0 = k - 1 .

Друге раз аксіома Архімеда неявно використовувалася при доказі прагнення до нуля довжин відрізків послідовності I_0, I_1, I_2, \ ldots :

\ Lim_ {n \ to \ infty} 10 ^ {-n} = 0

Суворе доказ даної пропозиції спирається на аксіому Архімеда. Доведемо еквівалентне співвідношення

\ Lim_ {n \ to \ infty} 10 ^ {n} = \ infty

Відповідно до аксіомою Архімеда, яке б не було дійсне число E> 0 , Послідовність натуральних чисел 1, 2, \ ldots перевершить його, починаючи з деякого номера. А оскільки для всякого n має місце нерівність

10 n> n

то послідовність 10 n також перевершить E , Починаючи з того ж номера. Відповідно до визначення межі числової послідовності, це означає, що \ Lim_ {n \ to \ infty} 10 ^ {n} = \ infty .


3.3. Неоднозначність подання у вигляді десяткового дробу

За допомогою наведеного алгоритму ми можемо для будь-якого дійсного числа α побудувати десяткову дріб, що представляє дане число. Проте може статися, що це ж саме число α може бути представлено у вигляді десяткового дробу і іншим чином.

Неєдиним подання чисел у вигляді десяткових дробів вже випливає з того тривіального факту, що приписуючи кінцевої дробу праворуч після коми нулі, ми отримуватиме формально різні десяткові дробу, що представляють одне й те саме число.

Однак якщо навіть вважати дробу, отримані шляхом приписування в кінець один одному кінцевого або нескінченної кількості нулів тотожними, подання деяких дійсних чисел все ж залишається неєдиним.

Розглянемо наприклад, десяткову дріб

0,99 \ ldots

Згідно з визначенням ця дріб є представленням числа 0 + 9 / 10 + 9 / 100 + \ ldots = 1 . Разом з тим, це число може бути також представлено у вигляді десяткового дробу 1,00 \ ldots .

Цей приклад можна узагальнити. Можна показати, що дробу

\ Pm a_0, a_1 \ ldots a_ {n-1} a_n 999 \ ldots

і

\ Pm a_0, a_1 \ ldots a_ {n-1} (a_n +1) 000

де a_n \ neq 9 , Представляють один і той же дійсне число.

Виявляється, цим загальним прикладом вичерпуються всі випадки неоднозначності подання дійсних чисел у вигляді десяткових дробів. При цьому ми, звичайно, не розглядаємо тривіальні випадки дробів, отриманими приписуванням нулів в кінець один одному, а також пару дробів + 0, 00 \ ldots і - 0, 00 \ ldots .

Ці результати можна підсумувати в такій теоремі.

Теорема. Усяке дійсне число α , Не представимое у вигляді p / 10 s , Де p - Ціле, s - Ціле невід'ємне, допускає єдине подання у вигляді десяткового дробу; при цьому ця дріб є нескінченною.

Будь-яке дійсне число виду α = p / 10 s може бути представлено в у вигляді десяткового дробу більш ніж одним способом. Якщо \ Alpha \ neq 0 , То воно може бути представлене як у вигляді кінцевої десяткового дробу, а також нескінченної дробу, отриманої приписуванням нулів в кінець після коми, так і у вигляді нескінченної дробу, закінчується на 999 \ ldots . Число α = 0 може бути представлено дробами виду +0, 00 \ ldots , А також дробами виду -0, 00 \ ldots .

Зауваження. Нескінченні дробу, що закінчуються на 999 \ ldots , Виходять, якщо в які наведено вище алгоритмі завжди вибирати лівий відрізок замість правого.


3.3.1. Зайві нулі і похибка

Слід зазначити, що, з точки зору похибки, запис десяткового дробу з нулями в кінці не зовсім тотожна записи без цих нулів.

Прийнято вважати, що, якщо похибка не вказана, то абсолютна похибка дорівнює плюс-мінус половина одиниці останнього написаного розряду. Наприклад, запис "3,7" означає, що абсолютна похибка дорівнює 0,05. А в записі "3,700" абсолютна похибка дорівнює 0,0005. Інші приклади:

  • "25" - абсолютна похибка дорівнює 0,5;
  • "25,0" - абсолютна похибка дорівнює 0,05
  • "25,00" - абсолютна похибка дорівнює 0,005.

4. Періодичні десяткові дроби

Нескінченна десяткова дріб називається періодичною, якщо її послідовність цифр після коми, починаючи з деякого місця, є періодично повторювану групу цифр. Іншими словами періодична дріб - десятковий дріб, що має вигляд

\ Pm a_0, a_1 \ ldots a_m \ underbrace {b_1 \ ldots b_l} \ underbrace {b_1 \ ldots b_l} \ ldots

Таку дріб прийнято коротко записувати у вигляді

\ Pm a_0, a_1 \ ldots a_m (b_1 \ ldots b_l)

Повторювана група цифр b_1 \ ldots b_l називається періодом дробу, кількість цифр у цій групі - довжиною періоду.

Якщо в періодичній дробу період слід відразу після коми, то дріб називається чистою періодичною. Якщо ж між комою і першим періодом є цифри, дріб називається змішаною періодичної, а група цифр після коми до першого знака періоду - предперіодом дробу. Наприклад, дріб 1, (23) = 1,2323 \ ldots є чистою періодичною, а дріб 0,1 (23) = 0,12323 \ ldots - Змішаної періодичною.

Основний властивість періодичних дробів, завдяки якому їх виділяють із усієї сукупності десяткових дробів, полягає в тому, що періодичні дроби і лише вони представляють раціональні числа. Точніше, має місце наступна пропозиція.

Теорема. Усяка нескінченна періодична десяткова дріб представляє раціональне число. Назад, якщо раціональне число розкладається на нескінченну десяткову дріб, то ця дріб є періодичною.

Можна показати, що чисто періодичні дроби відповідають раціональним числам, в записі яких у вигляді нескоротного дробу p / q , Знаменник q не має простих дільників 2 і 5 , А також раціональним числах p / q , У яких знаменник q має тільки прості дільники 2 і 5 . Відповідно, змішані періодичні дроби відповідають нескоротного дробям p / q , Знаменник q яких має як прості дільники 2 або 5 , Так і відмінні від них.


5. Переклад з десяткового дробу в звичайну

Припустимо, що дана періодична десяткова дріб x = 0, (1998) з періодом 4. Зауважимо, що домножити її на 10 4 = 10000 , Отримаємо велику дріб 10000 x = 1998, (1998) з тими ж цифрами після коми. Віднявши цілу частину, одержуємо [2] : 10000x-1998 = x \ Rightarrow x = \ frac {1998} {9999} = \ frac {222} {} 1111

6. Вимова десяткових дробів

У російській мові десяткові дроби читаються так: спочатку вимовляється ціла частина, потім слово "цілих" ("ціла"), потім дробова частина так, як якщо б всі число складалося тільки з цієї частини, тобто чисельник дробу - кількісний числівник жіночого роду ( одна, дві, вісім і т. д.), а знаменник - порядковий числівник (сьома, сота, двісті тридцяти і т. д.).

Однак на практиці часто зустрічається така вимова: ціла частина, союз "і", дробова частина.

Приклади
числова запис вірне вимова невірне вимова
123,567 сто двадцять три цілих п'ятсот шістьдесят-сім тисячних сто двадцять три і п'ятсот шістьдесят-сім
1,5 одна ціла п'ять десятих один і п'ять
0,01 одна сота нуль і нуль один

7. Історія

Десяткові дроби ввів в розгляд перський математик і астроном Джамшид Гіяс-ад-Дін аль-Каші (1380-1429) у трактаті "Ключ арифметики". Кимось із співробітників Самаркандської школи в XV столітті вони були принесені до Візантії. Через півтора століття десяткові дроби були заново відкриті у Західній Європі. Автором першого друкованого твору про десяткових дробах був Симон Стевін, що виклав правила дії з ними в книзі "Десята" (1585).

Примітки

  1. Знак коми " , "- Десяткова кома ( англ. decimal comma ) - Як роздільник цілої та дробової частин десяткового дробу прийнятий в Росії, європейських країнах (крім Великобританії та Ірландії) та багатьох інших країнах, на які вони мали культурний вплив. В англомовних країнах і країнах, на які вони мали вплив, для цього використовується знак точки " . "- Десяткова точка ( англ. decimal point ), А знак комою використовується для групування цифр цілої частини числа по три десяткових розряду (так званий роздільник груп розрядів, у Росії для цього використовується знак нерозривного пробілу " ~ "). Наприклад, дріб \ Frac {100 ~ 000 ~ 000} {3} в десяткового запису в російському стандарті буде виглядати так: {333 ~ 333,333333} (3) , А в англійському стандарті так: {~ 333,333.333333 (3)} . Докладніше див Десятковий роздільник.
  2. Енциклопедія для дітей - М .: Аванта +, 2001. - Т. 11. Математика. - ISBN 5-8483-0015-1. , Сторінка 179

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дріб
Безперервна дріб
Безперервна дріб
Універсальна десяткова класифікація
Універсальна десяткова класифікація
Десяткова система числення
Десяткова класифікація Дьюї
Десяткова система числення
Десяткова грошова система
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru