Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дзета-функція Рімана



План:


Введення

Запит "Дзета-функція" перенаправляється сюди. Про інші значеннях виразу "Дзета-функція" см. Дзета-функції.
Якісний графік дзета-функції Рімана на дійсній осі

Дзета-функція Рімана \ Displaystyle \ zeta (s) визначається за допомогою ряду Діріхле :

\ Zeta (s) = \ frac {1} {1 ^ s} + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ ldots,

де \ Displaystyle s \ in \ mathbb {C} .

В області \ Left \ {s \ mid \ operatorname {Re} \, s> 1 \ right \} , Цей ряд сходиться, є аналітичної функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці.


1. Тотожність Ейлера

У вихідній області також вірно уявлення у вигляді нескінченного твори (тотожність Ейлера)

\ Zeta (s) = \ prod_p \ frac {1} {1 - p ^ {-s}} ,

де твір береться по всіх простим числах \ Displaystyle p .

Чому це так
Решето Ератосфена для пошуку простих чисел використовується в цьому доказі.

Ідея докази використовує лише просту алгебру, доступну старанному школяру. Спочатку цим способом Ейлер вивів формулу. Є властивість решета Ератосфена, з якого ми можемо отримати користь:

\ Zeta (s) = 1 + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ frac {1} {4 ^ s} + \ frac {1} {5 ^ s } + \ ldots
\ Frac {1} {2 ^ s} \ zeta (s) = \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {4 ^ s} + \ frac {1} {6 ^ s} + \ frac {1} {8 ^ s} + \ frac {1} {10 ^ s} + \ ldots

Віднімаючи друге з першого, ми видаляємо всі елементи з дільником 2:

\ Left (1 - \ frac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = 1 + \ frac {1} {3 ^ s} + \ frac {1} {5 ^ s} + \ frac {1} {7 ^ s} + \ frac {1} {9 ^ s} + \ frac {1} {11 ^ s} + \ frac {1} {13 ^ s} + \ ldots

Повторюємо для наступного:

\ Frac {1} {3 ^ s} \ left (1 - \ frac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = \ frac {1} {3 ^ s} + \ frac {1} {9 ^ s} + \ frac {1} {15 ^ s} + \ frac {1} {21 ^ s} + \ frac {1} {27 ^ s} + \ frac {1} {33 ^ s} + \ ldots

Знову віднімаємо, отримуємо:

\ Left (1 - \ frac {1} {3 ^ s} \ right) \ left (1 - \ frac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = 1 + \ frac {1} { 5 ^ s} + \ frac {1} {7 ^ s} + \ frac {1} {11 ^ s} + \ frac {1} {13 ^ s} + \ frac {1} {17 ^ s} + \ ldots

де вилучені всі елементи з дільниками 2 і / або 3.

Як можна побачити, права сторона проходять крізь решето. Нескінченно повторюючи, отримуємо:

\ Ldots = 1

Поділимо обидві сторони на все, крім ζ (s) , Отримаємо:

\ Zeta (s) = \ Ldots}

Можна записати коротше як нескінченне твір по всім простим p:

\ Zeta (s) = \ prod_p \ frac {1} {1 - p ^ {-s}}

Щоб зробити доказ строгим, необхідно зажадати тільки лише, щоб, коли \ Quad \ Re (s)> 1. , Просівається права частина наближалася до 1, що негайно слід з збіжності ряду Діріхле для ζ (s) .

Це рівність є одним з основних властивостей дзета-функції.


2. Властивості

Дзета-функції Рімана в комплексній площині
  • Існують явні формули для значень дзета-функції в парних цілих точках:
    2 \ zeta (2m) = (-1) ^ {m +1} \ frac {(2 \ pi) ^ {2m}} {(2m)!} B_ {2m} , Де \ Displaystyle B_ {2m} - число Бернуллі.
    • Зокрема, \ Zeta (2) = \ frac {\ pi ^ 2} {6}, \ \ \ zeta (4) = \ frac {\ pi ^ 4} {90} .
  • Про значення дзета-функції в непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа ζ (3) (Роже Апері, 1978). Також доведено, що серед значень ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) є хоча б одне ірраціональне. [1]
  • При \ Operatorname {Re} \, s> 1
  • \ Displaystyle \ zeta (s) має в точці \ Displaystyle s = 1 простий полюс з вирахуванням, рівним 1.
  • Дзета-функція при \ Displaystyle s \ ne 0, s \ ne 1 задовольняє рівнянню:
    \ Zeta (s) = 2 ^ s \ pi ^ {s-1} \ sin {\ pi s \ over 2} \ Gamma (1-s) \ zeta (1-s) ,
де \ Displaystyle \ Gamma (z) - Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.
  • Для функції
    \ Xi (s) = \ pi ^ {-s / 2} \ Gamma \ left (\ frac {s} {2} \ right) \ zeta (s) ,
введеної Ріманом для дослідження \ Displaystyle \ zeta (s) і званої ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
\ Displaystyle \ \ xi (s) = \ xi (1-s) .

2.1. Нулі дзета-функції

Як випливає з функціонального рівняння Рімана, в напівплощини \ Operatorname {Re} \, s <0 , Функція ζ (s) має лише прості нулі в негативних парних точках: 0 = \ zeta (-2) = \ zeta (-4) = \ zeta (-6) = \ dots . Ці нулі називаються "тривіальними" нулями дзета-функції. Далі, \ Zeta (s) \ neq 0 при речових s \ in (0,1) . Отже, всі "нетривіальні" нулі дзета-функції є комплексними числами. Крім того, вони мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі \ Operatorname {Re} \, s = \ frac 1 лютого і лежать в смузі 0 \ leqslant \ operatorname {Re} \, s \ leqslant 1 , Яка називається критичною смугою. Згідно гіпотезі Рімана, вони всі знаходяться на критичній прямій \ Operatorname {Re} \, s = \ frac 1 лютого .


3. Узагальнення

Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:

яка збігається з дзета-функцією Рімана при q = 1 (так як підсумовування ведеться від 0, а не від 1).
який збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1.
  • Дзета-функція Лерхе:
    \ Phi (z, s, q) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ k} {(k + q) ^ s},
яка збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1 і q = 1 (так як підсумовування ведеться від 0, а не від 1).

4. Історія

Як функція речової змінної, дзета-функція була введена в 1737 році Ейлером, який і вказав її розкладання в твір. Потім ця функція розглядалася Дирихле і, особливо успішно, Чебишевим при вивченні закону розподілу простих чисел. Однак найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1859), де дзета-функція розглядалася як функція комплексної змінної.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дзета-функція Гурвіца
Дзета
Дзета Тельця
Дзета Геркулеса
Дзета-функції
Похідна Рімана
Гіпотеза Рімана
Сфера Рімана
Сфера Рімана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru