Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дивергенція



План:


Введення

Дивергенція (від лат. divergere - Виявляти розходження) - диференціальний оператор, відображає векторне поле на скалярний (тобто операція диференціювання, в результаті застосування якої до векторного поля виходить скалярний поле), який визначає (для кожної точки), "наскільки розходиться входить і виходить з малої околиці цієї точки поле" (точніше - наскільки розходяться вхідний і вихідний потік) .

Якщо врахувати, що потоку можна приписати алгебраїчний знак, то немає необхідності враховувати вхідний і вихідний потоки окремо, все буде автоматично враховано при підсумовуванні з урахуванням знака. Тому можна дати більш коротке визначення дивергенції:

дивергенція - це лінійний диференційний оператор на векторному полі, що характеризує потік даного поля через поверхню малої околиці кожної внутрішньої точки області визначення поля.

Оператор дивергенції, застосований до поля \ \ Mathbf F , Позначають як

\ \ Operatorname {div} \ mathbf F

або

\ \ Nabla \ cdot \ mathbf F .

1. Визначення

Визначення дивергенції виглядає так:

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ lim_ {V \ rightarrow 0} {\ mathit \ Phi_ {\ \ mathbf F} \ over V}

де Ф F - потік векторного поля F через сферичну поверхню площею S, що обмежує обсяг V. Ще більш загальним, а тому зручним у застосуванні, є визначення, коли форма області з поверхнею S і об'ємом V допускається будь-хто. Єдиною вимогою є її знаходження всередині сфери радіусом, що прагнуть до нулю (тобто щоб вся поверхня знаходилася в нескінченно малій околиці даної точки, що потрібно, щоб дивергенція була локальної операцією і для чого очевидно недостатньо прагнення до нуля площі поверхні і об'єму її нутрощі). В обох випадках мається на увазі, що

\ Mathit \ Phi_ {\ \ mathbf F} = \ iint \ limits_S \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ Subset \! \ Supset \; (\ vec F, d \ vec S) .

Це визначення, на відміну від приводиться нижче, не прив'язане до певних координатам, наприклад, до декартовим, що може представляти додаткову зручність в певних випадках. (Наприклад, якщо вибирати околиця в формі куба або паралелепіпеда, легко виходять формули для декартових координат, наведені в наступному параграфі).

Визначення легко і прямо узагальнюється на будь-яку розмірність n простору: при цьому під обсягом розуміється n-мірний об'єм, а під площею поверхні (n -1)-мірна площа (гіпер) поверхні відповідної розмірності.


2. Визначення в декартових координатах

Припустимо, що векторне поле диференціюється в деякій області. Тоді в тривимірному просторі декартовому дивергенція буде визначатися виразом

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ frac {\ partial F_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial F_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial F_z} {\ partial z } \ \ \

Це ж вираз можна записати з використанням оператора Набла

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ \ \

Багатовимірна, а також двовимірна і одномірна, дивергенція визначається в декартових координатах в просторах відповідної розмірності абсолютно аналогічно (у верхній формулою змінюється лише кількість доданків, а нижня залишається тією ж, маючи на увазі оператор Набла підходящої розмірності).


3. Фізична інтерпретація

З точки зору фізики (і в прямому сенсі, і в сенсі інтуїтивного фізичного образу математичної операції) дивергенція векторного поля є показником того, якою мірою ця точка простору (або дуже мала околиця точки) є джерелом або стоком цього поля:

\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F}> 0 - Точка поля є джерелом;
\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} <0 - Точка поля є стоком;
\ Operatorname {div} \, \ mathbf {F} = 0 - Стоків і джерел немає, або вони компенсують один одного.

Простим, хоч можливо і кілька схематичним, прикладом може служити озеро (для простоти - постійної одиничної глибини зі всюди горизонтальною швидкістю течії води, що не залежить від глибини, даючи, таким чином, двовимірне векторное поле на двовимірному просторі). Якщо завгодно мати більш реалістичну картину, то можна розглянути горизонтальну проекцію швидкості, проінтегрувати по вертикальній просторової координаті, що дасть ту ж картину двовимірного векторного поля на двовимірному просторі, причому картина якісно буде для наших цілей не сильно відрізнятися від спрощеної першої, кількісно же бути її узагальненням (вельми реалістичним). У такій моделі (і в першому, і в другому варіанті) джерела, що б'ють з дна озера будуть давати позитивну дивергенцію поля швидкостей течії, а підводні стоки (печери, куди вода витікає) - негативну дивергенцію.

Дивергенція вектора щільності струму дає мінус швидкість накопичення заряду в електродинаміки (так як заряд зберігається, тобто не зникає і не з'являється, а може тільки переміститися через кордони якогось обсягу, щоб накопичитися в ньому або піти з нього, а якщо і виникають або зникають десь позитивні і негативні заряди - то тільки в рівних кількостях). (Див. Рівняння неперервності).


4. Геометрична інтерпретація

Якщо як векторного поля (на двовимірному просторі) взяти сукупність напрямів найшвидшого спуску на земній поверхні, то дивергенція покаже місце розташування вершин і западин, причому на вершинах дивергенція буде позитивна (напрями спуску розходяться від вершин), а на западинах негативна (до западин напрями спуску сходяться).

5. Дивергенція у фізиці

Дивергенція - одна з найбільш широко вживаних у фізиці операцій. Являє собою одне з досить небагатьох базових понять теоретичної фізики і є одним з базових елементів фізичного мови.

У стандартній формулюванні класичної теорії поля дівіргенція займає центральне місце (в альтернативних формулюваннях може не знаходитися в самому центрі викладу, але все одно залишається важливим технічним інструментом і важливою ідеєю).

В електродинаміці дивергенція входить в якості головної конструкції в два з чотирьох рівнянь Максвелла. Основне рівняння теорії ньютонівської гравітації в польовому вигляді також містить в якості основної конструкції дивергенцію (напруженості гравітаційного поля). В тензорних теоріях гравітації (включаючи ОТО, і маючи на увазі в першу чергу її) основне польове рівняння (в ОТО, але як правило - так чи інакше - і в альтернативних сучасних теоріях теж) також включає в себе дивергенцію в деякому узагальненні. Те ж можна сказати про класичну (тобто неквантовой) теорії практично будь-якого з фундаментальних полів, як експериментально відомих, так і гіпотетичних.

Крім цього, як видно з наведених вище прикладів, дивергенція застосовна і в чисто геометричному плані, а також - особливо часто - до різних матеріальним потокам (дивергенція швидкості течії рідини чи газу, дивергенція щільності електричного струму ітп).


6. Властивості

Наступні властивості можуть бути отримані зі звичайних правил диференціювання.

\ Operatorname {div} (a \ mathbf {F} + b \ mathbf {G}) = a \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) + b \; \ operatorname {div} (\ mathbf {G })
  • Якщо φ - скалярний поле, а F - векторне, тоді:
\ Operatorname {div} (\ varphi \ mathbf {F}) = \ operatorname {grad} (\ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; \ operatorname {div} (\ mathbf {F}), або
\ Nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {F}) = (\ nabla \ varphi) \ cdot \ mathbf {F} + \ varphi \; (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}).
  • Властивість, що зв'язує векторні поля F і G, задані в тривимірному просторі, з ротором :
\ Operatorname {div} (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) = \ operatorname {rot} (\ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {G} \; - \; \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {rot} (\ mathbf {G}), або
\ Nabla \ cdot (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) = (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {G} - \ mathbf {F} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {G}).
\ Operatorname {div} (\ operatorname {grad} (\ varphi)) = \ mathcal {4} \ varphi
\ Operatorname {div} (\ operatorname {rot} (\ mathbf {F})) = 0

7. Дивергенція в ортогональних криволінійних координатах

\ Operatorname {div} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {div} (\ mathbf {q_1} A_1 + \ mathbf {q_2} A_2 + \ mathbf {q_3} A_3) =

= \ Frac {1} {H_1H_2H_3} \ left [\ frac {\ partial} {\ partial q_1} (A_1H_2H_3) + \ frac {\ partial} {\ partial q_2} (A_2H_3H_1) + \ frac {\ partial} {\ partial q_3} (A_3H_1H_2) \ right] , Де H i - коефіцієнти Ламе.

7.1. Циліндричні координати

Коефіцієнти Ламе:

\ Begin {matrix} H_1 = 1 \ \ H_2 = r \ \ H_3 = 1 \ end {matrix} .

Звідси:

\ Operatorname {div} \ mathbf {A} (r, \ theta, z) = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ partial r} (A_r r) + \ frac {1} {r } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} (A_ \ theta) + \ frac {\ partial} {\ partial z} (A_z)

7.2. Сферичні координати

Коефіцієнти Ламе:

\ Begin {matrix} H_r = 1 \ \ H_ \ theta = r \ \ H_ \ phi = r \ sin {\ theta} \ end {matrix} .

Звідси:

\ Operatorname {div} \ mathbf {A} (r, \ theta, \ phi) = \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial r} \ left [A_r r ^ 2 \ right ] + \ frac {1} {r \ sin {\ theta}} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ left [A_ \ theta \ sin {\ theta} \ right] + \ frac {1} { r \ sin {\ theta}} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ big [A_ \ phi \ big]

7.3. Параболічні координати

Коефіцієнти Ламе:

\ Begin {matrix} H_1 = \ frac {\ sqrt {\ xi + \ eta}} {2 \ sqrt {\ xi}} \ \ H_2 = \ frac {\ sqrt {\ xi + \ eta}} {2 \ sqrt {\ eta}} \ \ H_3 = \ sqrt {\ eta \ xi} \ end {matrix} .

Звідси:

\ Operatorname {div} \ mathbf {A} (\ xi, \ eta, \ phi) = \ frac {4} {\ xi + \ eta} \ frac {\ partial} {\ partial \ xi} \ left [A_ \ xi \ frac {\ sqrt {\ xi ^ 2 + \ xi \ eta}} {2} \ right] + \ frac {4} {\ xi + \ eta} \ frac {\ partial} {\ partial \ eta} \ left [A_ \ eta \ frac {\ sqrt {\ eta ^ 2 + \ xi \ eta}} {2} \ right] + \ frac {1} {\ sqrt {\ xi \ eta}} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ Big [A_ \ phi \ Big]

7.4. Еліптичні координати

Коефіцієнти Ламе:

\ Begin {matrix} H_1 = \ sigma \ sqrt {\ frac {\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2} {\ xi ^ 2-1}} \ \ H_2 = \ sigma \ sqrt {\ frac {\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2} {1 - \ eta ^ 2}} \ \ H_3 = \ sigma \ sqrt {(\ xi ^ 2-1) (1 - \ eta ^ 2)} \ end {matrix} .

Звідси:

\ Operatorname {div} \ mathbf {A} (\ xi, \ eta, \ phi) = \ frac {1} {\ sigma (\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2)} \ frac {\ partial} {\ partial \ xi} \ left [A_ \ xi \ sqrt {(\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2) (\ xi ^ 2-1)} \ right] +
\ Frac {1} {\ sigma (\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2)} \ frac {\ partial} {\ partial \ eta} \ left [A_ \ eta \ sqrt {(\ xi ^ 2 - \ eta ^ 2) (1 - \ eta ^ 2)} \ right] + \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {(\ xi ^ 2-1) (1 - \ eta ^ 2)}} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ Big [A_ \ phi \ Big]

8. Дивергенція в довільних криволінійних координатах і її узагальнення

Формулу для дивергенції векторного поля в довільних координатах (у будь кінцевої розмірності) неважко отримати з загального визначення через межа відносини потоку до обсягу, скориставшись тензорної записом змішаного твори і тензорної формулою обсягу.

Існує узагальнення операції дивергенції на дію не тільки на вектори, але й на тензори більш високого рангу.

У загальному випадку дивергенція визначається коваріантною похідної :

\ Operatorname {div} = (\ nabla \ cdot) = \ vec {R} ^ \ alpha \ nabla_ \ alpha \ cdot , Де \ Vec {R} ^ \ alpha - координатні вектори.

Це дозволяє знаходити вираження для дивергенції в довільних координатах для векторного:

\ Nabla \ cdot \ vec {v} = \ vec {R} ^ \ alpha \ nabla_ \ alpha \ cdot v ^ i \ vec {R} _i = \ nabla_i v ^ i .

або тензорного поля:

\ Nabla \ cdot T = \ vec {R} ^ \ alpha \ nabla_ \ alpha \ cdot T ^ {ij} \ vec {R} _i \ vec {R} _j = \ vec {R} _j \ nabla_i T ^ {ij } .

У загальному випадку, дивергенція знижує ранг тензора на 1.


8.1. Властивості дивергенції тензора

\ Nabla \ cdot \ vec {v} \ vec {v} = \ vec {v} \ nabla \ cdot \ vec {v} + \ left (\ vec {v} \ cdot \ nabla \ right) \ vec {v}

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru