Динамічна система

План:

1 Введення
2 Визначення
3 Способи завдання динамічних систем
4 Питання теорії динамічних систем

Введення

Фазова діаграма дивного аттрактора Лоренца - популярний приклад нелінійної динамічної системи. Вивченням подібних систем займається теорія хаосу.

Динамічна система - математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, еволюціонують з часом.

1. Введення

Динамічна система являє собою математичну модель деякого об'єкту, процесу або явища.

Динамічна система також може бути представлена як система, що володіє станом. При такому підході, динамічна система описує (в цілому) динаміку деякого процесу, а саме: процес переходу системи з одного стану в інший. Фазовий простір системи - сукупність всіх допустимих станів динамічної системи. Таким чином, динамічна система характеризується своїм початковим станом і законом, за яким система переходить з початкового стану в інший.

Розрізняють системи з дискретним часом і системи з безперервним часом.

У системах з дискретним часом, які традиційно називаються каскадами, поведінка системи (або, що те ж саме, траєкторія системи в фазовому просторі) описується послідовністю станів. У системах з безперервним часом, які традиційно називаються потоками, стан системи визначено для кожного моменту часу на речовій або комплексної осі. Каскади і потоки є основним предметом розгляду в символічною і топологічної динаміці.

Динамічна система (як з дискретним, так і з безперервним часом) є по суті синонімом автономної системи диференціальних рівнянь, заданої в деякій області і задовольняє там умовам теореми існування і єдиності рішення диференціального рівняння. Положенням рівноваги динамічної системи відповідають особливі точки диференціального рівняння, а замкнуті фазові криві - його періодичним рішенням.

Основний зміст теорії динамічних систем - це дослідження кривих, визначених диференціальними рівняннями. Сюди входить розбиття фазового простору на траєкторії і дослідження граничного поведінки цих траєкторій: пошук і класифікація положень рівноваги, виділення притягують (атрактори) і відштовхують (репелери) множин (різноманіть). Найважливіші поняття теорії динамічних систем - це стійкість (здатність системи як завгодно довго залишатися біля положення рівноваги або на заданому різноманітті) і грубість (збереження властивостей при малих змінах структури динамічної системи).

Залучення ймовірнісно-статистичних уявлень в ергодічеськой теорії динамічних систем призводить до поняття динамічної системи з інваріантної заходом.

Сучасна теорія динамічних систем є збірною назвою для досліджень, де широко використовуються і ефективним чином поєднуються методи з різних розділів математики: топології і алгебри, алгебраїчної геометрії і теорії міри, теорії диференціальних форм, теорії особливостей і катастроф.

2. Визначення

Нехай X - Довільне гладке різноманіття.

Динамічною системою, заданої на гладкому різноманітті X , Називається відображення $g \ colon R \ times X \ to X$ виду g (t, x) = g ^t x ( $t \ in R$ і $x \ in X$ ), Яке є диференційовних відображенням, причому g ⁰ - Тотожне відображення простору X і для будь-яких s , $t \ in R$ виконується тотожність $g ^ {t} \ circ g ^ {s} = g ^ {t + s}$ . Останнє означає, що {G ^t} утворює групу перетворень топологічного простору X .

З діфференцируємості відображення g випливає, що графік функції g (t, x ₀₎ (При $t \ in R$ ) Є дифференцируемой функцією часу і називається інтегральною траєкторією (кривої) динамічної системи. Її проекція на простір X , Яке в такому випадку носить назву фазового простору, називається фазовою траєкторією (кривої) динамічної системи.

Завдання динамічної системи, таким чином, еквівалентно розбиття фазового простору на траєкторії.

3. Способи завдання динамічних систем

Для завдання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір X , Безліч моментів часу T і деяке правило, що описує рух точок фазового простору з часом. Безліч моментів часу T може бути як інтервалом дійсної прямої (тоді говорять, що час безперервно), так і безліччю цілих або натуральних чисел (дискретний час). У другому випадку "рух" точки фазового простору більше нагадує миттєві "стрибки" з однієї точки в іншу: траєкторія такої системи є не гладкою кривою, а просто безліччю точок, і називається зазвичай орбітою. Тим не менш, незважаючи на зовнішню відмінність, між системами з неперервним і дискретним часом є тісний зв'язок: багато властивостей є загальними для цих класів систем або легко переносяться з одного на інший.

3.1. Фазові потоки

Нехай фазовий простір X представляє собою багатовимірне простір або область в ньому, а час безперервно. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x фазового простору. Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v (x) . Тоді траєкторія точки $x_0 \ in X$ буде вирішенням автономного диференціального рівняння $\ Frac {dx} {dt} = v (x)$ з початковою умовою x (0) = x ₀ . Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком для автономного диференціального рівняння.

3.2. Каскади

Нехай X - Довільна безліч, і $f \ colon X \ to X$ - Деяке відображення множини X на себе. Розглянемо ітерації цього відображення, тобто результати його багатократного застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему з фазовим простором X і безліччю моментів часу $T = \ mathbb N$ . Дійсно, вважатимемо, що довільна точка $x_0 \ in X$ за час 1 переходить в точку $x_1 = f (x_0) \ in X$ . Тоді за час 2 ця точка перейде в точку x ₂ = f (x ₁₎ = f (f (x ₀₎₎ і т. д.

Якщо відображення f оборотно, можна визначити і зворотні ітерації: x _{- 1} = f ^{- 1} (x ₀₎ , x _{- 2} = f ^{- 1} (f ^{- 1} (x ₀₎₎ і т. д. Тим самим отримуємо систему з безліччю моментів часу $T = \ mathbb Z$ .

3.3. Приклади

Система диференціальних рівнянь

$\ Begin {cases} \ frac {dx} {dt} = v \ \ \ frac {dv} {dt} =- kx \ end {cases}$

задає динамічну систему з неперервним часом, звану "гармонійним осцилятором". Її фазовим простором є площина (X, v) , Де v - Швидкість точки x . Гармонійний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси - наприклад, поведінка вантажу на пружині. Його фазовими кривими є еліпси з центром в нулі.

Нехай $\ Varphi$ - Кут, що задає положення точки на одиничному колі. Відображення подвоєння f (φ) = 2φ (mod 2π) , Задає динамічну систему з дискретним часом, фазовим простором якої є коло.
Швидко-повільні системи описують процеси, одночасно розвиваються в декількох масштабах часу.
Динамічні системи, чиї рівняння можуть бути отримані за допомогою принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як "лагранжевих динамічні системи".

4. Питання теорії динамічних систем

Маючи якесь завдання динамічної системи, далеко не завжди можна знайти і описати її траєкторії в явному вигляді. Тому зазвичай розглядаються простіші (але не менше змістовні) питання про загальну поведінку системи. Наприклад:

Чи є у системи замкнуті фазові криві, тобто чи може вона повернутися в початковий стан в ході еволюції?
Як влаштовані інваріантні різноманіття системи (окремим випадком яких є замкнуті траєкторії)?
Як влаштований аттрактор системи, то є безліч в фазовому просторі, до якого прагне "більшість" траєкторій?
Як поводяться траєкторії, випущені з близьких точок - чи залишаються вони близькими або йдуть з часом на значну відстань?
Що можна сказати про поведінку "типовою" динамічної системи з деякого класу?
Що можна сказати про поведінку динамічних систем, близьких до даної?