Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Диференціальне рівняння



План:


Введення

Диференціальне рівняння - рівняння, що зв'язує значення деякої невідомої функції в деякій точці і значення її похідних різних порядків в тій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму записі невідому функцію, її похідні та незалежні змінні, а проте не будь-яке рівняння, що містить похідні невідомої функції, є диференціальним рівнянням. Наприклад, \ F '(x) = f (f (x)) не є диференціальним рівнянням. Варто також відзначити, що диференціальне рівняння може взагалі не містити невідому функцію, деякі її похідні та вільні змінні, але зобов'язана утримувати хоча б одну з похідних.

Порядок, або ступінь диференціального рівняння - найбільший порядок похідних, що входять в нього.

Рішенням ( інтегралом) диференціального рівняння порядку n називається функція y (x), що має на деякому інтервалі (a, b) похідні y '(x), y''(x),..., y (n) (x) до порядку n включно і задовольняє цьому рівнянню. Процес рішення диференціального рівняння називається інтегруванням. Питання про інтегрування диференціального рівняння вважається вирішеним, якщо перебування невідомої функції вдається привести до квадратуру, незалежно від того, виражається чи отриманий інтеграл в кінцевому вигляді чи ні.

Всі диференціальні рівняння можна розділити на звичайні (ОДУ), в які входять тільки функції (і їх похідні) від одного аргументу, і рівняння з приватними похідними (УРЧП), в яких входять функції залежать від багатьох змінних. Існують також стохастичні диференціальні рівняння (СДУ), що включають випадкові процеси.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із завдань механіки, в яких брали участь координати тел, їх швидкості і прискорення, що розглядаються як функції часу.


1. Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння (ОДУ) - це рівняння виду

F \ left (x, y, y ', y'',..., y ^ {(n)} \ right) = 0 \! або F \ left (x, y, \ frac {dy} {dx}, \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ 2 },..., \ frac {d ^ {n} y} {dx ^ n} \ right) = 0 ,

де ~ Y = y (x) - Невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від незалежної змінної ~ X , Штрих означає диференціювання по ~ X . Число ~ N називається порядком диференціального рівняння.


2. Диференціальні рівняння в приватних похідних

Диференціальні рівняння в приватних похідних (УРЧП) - це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх приватні похідні. Загальний вид таких рівнянь можна представити у вигляді:

F \ left (x_1, x_2, \ dots, x_m, z, \ frac {\ partial z} {\ partial x_1}, \ frac {\ partial z} {\ partial x_2}, \ dots, \ frac {\ partial z } {\ partial x_m}, \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial x_1 ^ 2}, \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial x_1 \ partial x_2}, \ frac {\ partial ^ 2 z } {\ partial x_2 ^ 2}, \ dots, \ frac {\ partial ^ nz} {\ partial x_m ^ n} \ right) = 0 ,

де x_1, x_2, \ dots, x_m - Незалежні змінні, а z \! = Z (x_1, x_2, \ dots, x_m) - Функція цих змінних.


3. Приклади

y''+ 9 y = 0 - Однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Рішенням є сімейство функцій y = (C 1 cos (3 x) + C 2 sin (3 x)) , Де C 1 і C 2 - Довільні константи.

Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння m \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} = F (x, t) , Де m - Маса тіла, x - Його координата, F (x, t) - Сила, що діє на тіло з координатою x в момент часу t . Його рішенням є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.

Коливання струни задається рівнянням \ Frac {\ partial {} ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} , Де u = u (x, t) - Відхилення струни в точці з координатою x в момент часу t , Параметр a задає властивості струни. Це так зване хвильове рівняння.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Диференціальне рівняння Бернуллі
Лінійне диференціальне рівняння
Неоднорідне диференціальне рівняння
Однорідне диференціальне рівняння
Стохастичне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
Диференціальне рівняння в приватних похідних
Диференціальне рівняння в приватних похідних
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru