Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Диференціальне рівняння в приватних похідних



План:


Введення

Диференціальне рівняння в приватних похідних (загальновживаної скорочення (Д) УЧП, також відомі як рівняння математичної фізики, УМФ) - диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних та їх приватні похідні.


1. Введення

Розглянемо порівняно просте рівняння в приватних похідних:

\ Frac {\ partial} {\ partial x} u (x, y) = 0 \,.

З цього співвідношення слід, що значення функції u (x, y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння наступне:

u (x, y) = f (y), \,

де f - довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

\ Frac {dy (x)} {dx} = 0 \,

і його рішення

y (x) = c, \,

де c - довільна константа (не залежить від x). Ці два приклади показують, що загальне рішення звичайного диференціального рівняння містить невідомі константи, але загальне рішення диференціального рівняння в приватних похідних містить довільні функції. Рішення диференціального рівняння в приватних похідних, взагалі кажучи, не єдино. У загальному випадку на кордоні розглянутій області задаються додаткові умови. Наприклад, рішення вище розглянутого рівняння (функція f (y) ) Визначається єдиним чином, якщо u визначена на лінії x = 0 .


2. Історія

Перше рівняння в приватних похідних історики виявили в статтях Ейлера по теорії поверхонь, що відносяться до 1734-1735 років (опубліковані в 1740 році). У сучасних позначеннях воно мало вигляд:

\ Frac {\ partial z} {\ partial x} = f (x, y)

Починаючи з 1743 року, до робіт Ейлера приєднався Даламбер, який відкрив спільне рішення хвильового рівняння для коливань струни. У наступні роки Ейлер і Даламбер опублікували ряд методів і прийомів для дослідження і вирішення деяких рівнянь в приватних похідних. Ці роботи ще не створили скільки-небудь завершеної теорії.

Другий етап у розвитку даної теми можна датувати 1770-1830 роками. До цього періоду належать глибокі дослідження Лагранжа, Коші і Якобі. Перші систематичні дослідження рівнянь в приватних похідних почав проводити Фур'є. Він застосував новий метод до вирішення рівняння струни - метод розділення змінних, пізніше отримав його ім'я.

Новий спільний підхід до теми, заснований на теорії безперервних груп перетворень, запропонував в 1870-х роках Софус Лі.


3. Класифікація

3.1. Розмірність

Дорівнює кількості незалежних змінних. Повинна бути не менше 2 (при 1 виходить звичайне диференціальне рівняння).

3.2. Лінійність

Є лінійні і нелінійні рівняння. Лінійне рівняння представимо у вигляді лінійної комбінації похідних від невідомих функцій. Коефіцієнти при цьому можуть бути або постійними, або відомими функціями.

Лінійні рівняння добре досліджені, за вирішення окремих видів нелінійних рівнянь призначені мільйонні премії ( задачі тисячоліття).

3.3. Однорідність

Рівняння є неоднорідним, якщо є доданок, не залежне від невідомих функцій.

3.4. Порядок

Порядок рівняння визначається максимальним порядком похідної. Мають значення порядки по всім змінним.

3.5. Класифікація рівнянь другого порядку

Лінійні рівняння другого порядку в приватних похідних підрозділяють на параболічні, еліптичні і гіперболічні.

Лінійне рівняння другого порядку, що містить дві незалежні змінні, має вигляд:

A \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} +2 B \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x \ partial y} + C \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2 }+...= 0,

де A, B, C - коефіцієнти, які залежать від змінних x і y, а три крапки означає члени, що залежать від x, y, u і приватних похідних першого порядку: {\ Partial u} / {\ partial x} і {\ Partial u} / {\ partial y} . Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

Ax ^ 2 + 2Bxy + Cy ^ 2 + \ cdots = 0.

Так само, як конічні перетину поділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знака дискриминанта D = B 2 - A C , Класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

  1. D = B ^ 2 - AC \,> 0 - Гіперболічне рівняння,
  2. D = B ^ 2 - AC \, <0 - Еліптичний рівняння,
  3. D = B ^ 2 - AC \, = 0 - Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не звертаються в нуль одночасно).

У випадку, коли всі коефіцієнти A, B, C - постійні, рівняння має один і той же тип у всіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C безперервно залежать від x і y, безліч точок, в яких дане рівняння відноситься до гіперболічного (еліптичному), типу утворює на площині відкриту область, звану гіперболічної (еліптичної), а безліч точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типу, замкнуто. Рівняння називається змішаним (змішаного типу), якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. У цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, яка називається лінією зміни типу або лінією виродження.

У загальному випадку, коли рівняння другого порядку залежить від багатьох незалежних змінних:

\ Sum ^ {n} _ {i = 1} \ sum ^ {n} _ {j = 1} a_ {ij} (x_1, \ cdots, x_n) \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x_i \ partial x_j} + F \ left (x_1, \ cdots, x_n, u, \ frac {\ partial u} {\ partial x_1}, \ cdots, \ frac {\ partial u} {\ partial x_n} \ right) = 0 ,

воно також може бути расклассіфіціровани [1] (в заданій точці M_0 (x_1 ^ 0, \ cdots, x_n ^ 0) ), За аналогією з відповідною квадратичною формою:

\ Sum ^ {n} _ {i = 1} \ sum ^ {n} _ {j = 1} a_ {ij} (x_1 ^ 0, \ cdots, x_n ^ 0) t_i t_j.

Невиродженим лінійним перетворенням

s_i = \ sum ^ {n} _ {j = 1} A_ {ij}, i = 1, 2 \ cdots n, \ det \ left \ | A_ {ij} \ right \ | \ ne 0

квадратична форма завжди може бути приведена до канонічного вигляду:

\ Sum ^ {n} _ {i = 1} \ lambda_i s ^ 2_i.

При цьому відповідно до теореми інерції число позитивних, негативних і рівних нулю коефіцієнтів λ i в канонічному вигляді квадратичної форми є інваріантом і не залежить від лінійного перетворення. На основі цього і проводиться класифікація (в точці M 0 ) Даного рівняння:

  1. Якщо в точці M 0 квадратична форма в канонічному вигляді має всі коефіцієнти одного знака, то рівняння у цій точці називається рівнянням еліптичного типу.
  2. Якщо точці M 0 квадратична форма в канонічному вигляді має коефіцієнти різних знаків, але при цьому всі вони відмінні від 0, то рівняння у цій точці називається рівнянням гіперболічного типу.
  3. Якщо точці M 0 квадратична форма в канонічному вигляді має хоча б один коефіцієнт рівний 0, то рівняння у цій точці називається рівнянням параболічного типу.

У разі багатьох незалежних змінних може бути проведена і більш детальна класифікація (необхідність якої в разі двох незалежних змінних не виникає):

  1. Гіперболічний тип може бути расклассіфіціровани на:
    1. Нормальний гіперболічний тип, якщо один коефіцієнт одного знака, а решта іншого.
    2. Ультрагіперболіческій тип, якщо коефіцієнтів як одного знака так і іншого більш ніж один.
  2. Параболічний тип може бути расклассіфіціровани на:
    1. Еліптично-параболічний тип, якщо тільки один коефіцієнт дорівнює нулю, а інші мають один знак.
    2. Гіперболічно-параболічний тип, якщо тільки один коефіцієнт дорівнює нулю, а інші мають різні знаки. Аналогічно гіперболічному типу він може бути розділений на:
      1. Нормальний гіперболічно-параболічний тип
      2. Ультрагіперболіческі-параболічний тип
    3. Ультрапараболіческій тип, якщо більш ніж один коефіцієнт дорівнює нулю. Тут також можлива подальша класифікація залежно від знаків не рівних нулю коефіцієнтів.

4. Існування і єдиність рішення

Хоча відповідь на питання про існування і єдиності рішення звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара-Лінделефа), для рівняння в приватних похідних однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевської), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння в приватних похідних, аналітичного щодо невідомих функцій та їх похідних має єдине аналітичне рішення [2]. Тим не менш, існують приклади лінійних рівнянь в приватних похідних, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків і не мають рішення ( Леві (1957)). Навіть якщо рішення існує і єдино, воно може мати небажані властивості.

Розглянемо послідовність завдань Коші (залежить від n) для рівняння Лапласа :

\ Frac {\ part ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ part ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0, \,

з початковими умовами :

u (x, 0) = 0, \,
\ Frac {\ partial u} {\ partial y} (x, 0) = \ frac {\ sin nx} {n}, \,

де n - ціле. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прагне 0 по x при зростанні n, однак рішенням рівняння є

u (x, y) = \ frac {(\ mathrm {sh} \, ny) (\ sin nx)} {n ^ 2}. \,

Рішення прямує до нескінченності, якщо nx не кратно π для будь-якого ненульового значення y. Завдання Коші для рівняння Лапласа називається погано поставленої або некоректною, оскільки немає безперервної залежності рішення від початкових даних.


5. Майже-рішення диференціального рівняння з приватними похідними

Майже-рішення диференціального рівняння з приватними похідними - поняття, введене В. М. Міклюковим у зв'язку з дослідженнями рішень з неусувними особливостями.

Добірку статей, що стосуються опису властивостей майже-рішень (принцип максимуму, нерівність Гарнака тощо) см. на http://www.uchimsya.info.

6. Приклади

6.1. Одномірне рівняння теплопровідності

Рівняння, що описує поширення тепла в однорідному стержні має вигляд

\ Frac {\ partial u} {\ partial t} = \ alpha \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} \,

де u (t, x) - температура, і α - позитивна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Завдання Коші ставиться таким чином:

u (0, x) \, = f (x) ,

де f (x) - довільна функція.


6.2. Рівняння коливання струни

  • \ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2}

Тут u (t, x) - зсув струни з положення рівноваги, або надлишковий тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c - швидкість поширення хвилі. Для того, щоб сформулювати завдання Коші в початковий момент часу, слід задати зсув та швидкість струни в початковий момент часу:

u (0, x) = f (x), \,
u_t (0, x) = g (x), \,

6.3. Двовимірне рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

  • \ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0

Його рішення називаються гармонійними функціями.

6.3.1. Зв'язок з аналітичними функціями

Речова і уявна частини будь-якої голоморфних функції f комплексної змінної z = x + i y є сопряженно гармонійними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа та їх градієнти ортогональні. Якщо f = u + iv, то умови Коші-Рімана стверджують наступне:

\ Frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}, \ quad \ frac {\ partial v} {\ partial x} = - \ frac {\ partial u} { \ partial y}, \,

Складаючи і віднімаючи рівняння один з одного, отримуємо:

\ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0, \ quad \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial y ^ 2} = 0. \,

Також можна показати, що будь-яка гармонійна функція є речовинною частиною деякої аналітичної функції.


6.3.2. Граничні задачі

Граничні завдання ставляться наступним чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа в усіх внутрішніх точках області S, а на кордоні області \ Partial S - Деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі кравевие завдання:


7. Рішення рівнянь математичної фізики

Існує два види методів вирішення даного типу рівнянь:

  • аналітичний, при якому результат виводиться різними математичними перетвореннями;
  • чисельний, при якому отриманий результат відповідає дійсному із заданою точністю, але який вимагає багато рутинних обчислень і тому виконаємо тільки за допомогою обчислювальної техніки (ЕОМ).

7.1. Аналітичне рішення

7.1.1. Рівняння коливань

Розглянемо задачу про коливання струни довжини L . Будемо вважати, що на кінцях струни функція u (x, t) звертається в нуль:

u (x, t) \ big | _ {x = 0} = u (x, t) \ big | _ {x = L} = 0

У початковий момент часу задамо початкові умови:

u (x, t) \ big | _ {t = 0} = f (x)
\ Dfrac {\ partial u} {\ partial t} (x, t) \ big | _ {t = 0} = g (x)

Уявімо рішення у вигляді:

u (x, t) \, = X (x) T (t)

Після підстановки у вихідне рівняння коливань, розділимо на твір X (x) T (t) отримуємо:

\ Dfrac {T''(t)} {a ^ 2 T (t)} = \ dfrac {X''(x)} {X (x)}

Права частина цього рівняння залежить від t , Ліва - від x , Отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні постійної величини, яку позначимо через - Λ 2 :

\ Dfrac {T''(t)} {a ^ 2 T (t)} = \ dfrac {X''(x)} {X (x)} =- \ lambda ^ 2

Звідси знаходимо рівняння для X (x) :

X''(x) + \ lambda ^ 2 X (x) \, = 0

Нетривіальні рішення цього рівняння при однорідних крайових умовах можливі тільки при \ Lambda = \ dfrac {\ pi n} {L} і мають вигляд:

X_n (x) \, = \ sin \ left (\ dfrac {\ pi n x} {L} \ right)

Розглянемо рівняння для відшукання T (t) :

T''(t) + a ^ 2 \ lambda_n ^ 2 T (t) \, = 0

Його рішення:

T (t) \, = A_n \ cos \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L} t \ right) + B_n \ sin \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L} t \ right)

Отже, кожна функція виду

u (x, t) \, = \ left [A_n \ cos \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L} t \ right) + B_n \ sin \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L } t \ right) \ right] \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right)

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити рішення початковим умовам, складемо ряд:

u (x, t) \, = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [A_n \ cos \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L} t \ right) + B_n \ sin \ left (\ dfrac {a \ pi n} {L} t \ right) \ right] \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right)

Підстановка в початкові умови дає:

\ Sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} A_n \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right) = f (x), \ quad \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {a \ pi n} {L} B_n \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right) = g (x)

Останні формули являють собою розкладання функцій f (x) і g (x) в ряд Фур'є на відрізку [0, L] . Коефіцієнти розкладань обчислюються за формулами:

A_n = \ dfrac {2} {L} \ int \ limits_ {0} ^ {L} f (x) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right) dx, \ quad B_n = \ dfrac {2} {n \ pi a} \ int \ limits_ {0} ^ {L} g (x) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi nx} {L} \ right) dx

7.1.2. Рівняння дифузії

7.2. Чисельне рішення

7.2.1. Рівняння коливань струни

Даний спосіб рішення називається методом кінцевих диференціалів. Він досить просто реалізуємо за допомогою програмування.

Цей метод заснований на визначенні похідної функції y = y (x) :

~ Y '= \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {\ Delta y \ over \ Delta x} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {{f (x + \ Delta x)} - f (x ) \ over \ Delta x}

Якщо є функція u = u (x, t) , То часткова похідна буде наступна:

~ U_x '= {\ partial u \ over \ partial x} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} {{u (x + \ Delta x, t) - u (x, t)} \ over \ Delta x }

Так як Δ x ми використовуємо досить маленький, знаки меж можна відкинути. Тоді отримаємо такі вирази:

~ U_x '\ approx {{u (x + \ Delta x, t) - u (x, t)} \ over \ Delta x}
~ U_t '\ approx {{u (x, t + \ Delta t) - u (x, t)} \ over \ Delta t}

Для зручності надалі приймемо такі позначення:

u (x, t) = u_i ^ j
u (x + \ Delta x, t) = u_ {i +1} ^ j
u (x, t + \ Delta t) = u_i ^ {j +1}
Δ x = h ,
Δ t = τ

Тоді попередні висловлювання можна записати так: u_x '\ approx {{u_ {i +1} ^ j - u_i ^ j} \ over h} , u_t '\ approx {{u_i ^ {j +1} - u_i ^ j} \ over \ tau}

Ці висловлювання називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: u_x '\ approx {{u_i ^ j - u_ {i-1} ^ j} \ over h} , u_t '\ approx {{u_i ^ j - u_i ^ {j-1}} \ over \ tau} - Це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази отримаємо наступне:

2 u_x '\ approx {{u_i ^ j - u_ {i-1} ^ j + u_ {i +1} ^ j - u_i ^ j} \ over h}
2 u_t '\ approx {{u_i ^ j - u_i ^ {j-1} + u_i ^ {j +1} - u_i ^ j} \ over \ tau}

з яких випливає:

u_x '\ approx {{u_ {i +1} ^ j - u_ {i-1} ^ j} \ over 2h}
u_t '\ approx {{u_i ^ {j +1} - u_i ^ {j-1}} \ over 2 \ tau}

Обидва висловлювання називають диференціалом в центральній точці. Вони наближають похідну з більшою точністю.

Аналогічно можна отримати і диференціали другого порядку:

u_ {xx }^{''} = {{\ partial ^ 2u} \ over {\ partial x ^ 2}} \ approx {{u_ {i-1} ^ j - 2u_i ^ j + u_ {i +1} ^ j} \ over h ^ 2}
u_ {tt }^{''} = {{\ partial ^ 2u} \ over {\ partial t ^ 2}} \ approx {{u_i ^ {j-1} - 2u_i ^ j + u_i ^ {j +1} } \ over \ tau ^ 2}

Рівняння коливань струни записується в такій формі: \ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} .

Додаткові умови задаються у вигляді: u | x = 0 = f 1 (t) , u | x = l = f 2 (t) , u | t = 0 = g 1 (x) , u t | t = 0 = g 2 (x) ,

де f 1 (t) і f 2 (t) - Позиції решт (кріплень) струни в часі,
а g 1 (x) і g 2 (x) - Початковий стан та швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу використовуючи формулу (див. Метод Ейлера):
Сітка значень функції
u_i ^ {j +1} = \ tau \ cdot g_2 (x) + u_i ^ j .

В обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких h (См.ріс).

Значення функції іншим x і t можна обчислити з рівняння коливань струни:

\ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2}
{{\ Partial ^ 2u} \ over {\ partial t ^ 2}} = {{u_i ^ {j +1} - 2u_i ^ j + u_i ^ {j-1}} \ over \ tau ^ 2}
{{\ Partial ^ 2u} \ over {\ partial x ^ 2}} = {{u_ {i +1} ^ j - 2u_i ^ j + u_ {i-1} ^ j} \ over h ^ 2}
{{U_i ^ {j +1} - 2u_i ^ j + u_i ^ {j-1}} \ over \ tau ^ 2} = a ^ 2 {{u_ {i +1} ^ j - 2u_i ^ j + u_ { i-1} ^ j} \ over h ^ 2}
u_i ^ {j +1} = {{\ tau ^ 2 a ^ 2 \ over h ^ 2}} \ left (u_ {i +1} ^ j - 2u_i ^ j + u_ {i-1} ^ j \ right ) + 2u_i ^ j - u_i ^ {j-1}

Таким чином, ми отримали схему, за якою можна отримати значення функції для будь-яких x і t , Використовуючи значення функції при попередніх x і t . Схематично це можна представити так:

Знаходження п'ятої точки по четерем відомим Цей метод дає наближений відповідь, ступінь точності Θ (τ 2 + h 2) . Для досить точних результатів необхідно використовувати інтервали h <0.1 і \ Tau \ le {h ^ 2 \ over 2} .


7.2.2. Рівняння дифузії


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Диференціальне рівняння
Диференціальне рівняння Бернуллі
Лінійне диференціальне рівняння
Неоднорідне диференціальне рівняння
Однорідне диференціальне рівняння
Стохастичне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru