Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Диференціальне числення



План:


Введення

Диференціальне числення - розділ математичного аналізу, в якому вивчаються поняття похідної і диференціала і способи їх застосування до дослідження функцій.


1. Диференціальне числення функцій однієї змінної

1.1. Похідна

Нехай функція g (h) визначена в околиці h = 0 і для будь-якого \ Epsilon > 0 знайдеться таке δ , Що

| G (h) / h ^ n | <\ epsilon , Лише тільки | H | <δ,

тоді кажуть, що g (h) - нескінченно мале порядку o (h n) .

Нехай f (x) - Вещественнозначная функція, задана на відрізку (A, b) . Цю функцію називають нескінченно дифференцируемой на інтервалі (A, b) , Якщо

f (x + h) = f (x) + f '(x) h + \ frac {1} {2!} f''(x) h ^ 2 + \ dots \ frac {1} {n!} f ^ {(n)} (x) h ^ n + o (h ^ n)

для будь-якого x \ in (a, b) і будь-якого n . Таким чином, локально, в околиці будь-якої точки відрізка, функція як завгодно добре наближається многочленом. Гладкі на відрізку (A, b) функції утворюють кільце гладких функцій C ^ \ infty (a, b) .

Коефіцієнти f (n) (x)

f ^ {(m)} (x + h) = f ^ {(m)} (x) + f ^ {(m +1)} (x) h + \ dots \ frac {1} {n!} f ^ {(m + n)} (x) h ^ n + o (h ^ n)

Ці функції називають похідними функції f (x) . Перша похідна може бути обчислена як межа

f '(x) = \ lim \ limits_ {h-> 0} \ frac {f (x + h)-f (x)} {h} .

Оператор, зіставляє функції f (x) її похідну f '(x) позначають як

D = \ frac {d} {dx}

При цьому для двох гладких функцій f і g вірно

D (f + g) = D f + D g і D (f g) = f D g + g D f

Оператор, що володіє вказаними властивостями, називають диференціюванням кільця гладких функцій.

Всяка аналітична функція, голоморфних на відрізку (A, b) , Є гладкою функцією, але зворотне невірно. Головна відмінність аналітичних та гладких функцій полягає в тому, що перші повністю визначаються своєю поведінкою в околиці однієї точки, другі - ні. Напр., Гладка функція може бути дорівнює постійної в околиці однієї точки, але не бути постійною всюди. Елементарні функції у своїй (відкритої) області визначення є аналітичними, а, отже, і гладкими функціями. Однак, на відміну від аналітичних функцій, гладкі функції можуть бути задані на різних інтервалах різними елементарними висловлюваннями.


1.2. Дотична пряма

Графік функції (чорна крива) і дотична пряма (червона пряма)

Пряма

y = f (c) + f '(c) (x - c)

перетинає криву

y = f (x)

в точці (C, f ​​(c)) таким чином, що знак вираження

f (x)-f (c)-f '(c) (xc) = \ frac {1} {2} f''(c) (xc) ^ 2 + o ((xc) ^ 2)

за умови f''(c) \ not = 0 весь час залишається одним і тим же, тому крива

y = f (x)

лежить по одну сторону від прямої

y = f (c) + f '(c) (x - c)

Пряму, що володіє зазначеним властивістю, називають дотичній до кривої в точці x = c (По Б. Кавальєрі). Крапку x = c , В якій крива

y = f (x)

не лежить по одну сторону від прямої

y = f (c) + f '(c) (x - c)

називають точкою перегину, при цьому прямий все одно називають дотичній. Для однаковості часто саме поняття дотичній вводять інакше з тим, щоб обидва випадки підпадали під нього.


1.3. Точки екстремуму

Точка x = c називається точкою локального максимуму ( мінімуму), якщо

f (c)-f (c + h)> 0 \ quad (f (c)-f (c + h) <0)

для всіх досить малих по модулю h . Зі співвідношення

f '(c) h + \ frac {1} {2} f''(c) h ^ 2 + o (h ^ 2) <0

відразу видно, що f '(c) = 0 - Необхідна умова максимуму, а f''(c) <0 - Достатня умова максимуму. Умова f''(c) = 0 виділяє точки максимуму, мінімуму і перегину.


1.4. Безперервні функції

Нехай f визначена і на кінцях інтервалу [A, b] ; Кажуть, що вона неперервна на [A, b] , Якщо для будь-якого \ Epsilon знайдеться таке δ , Що

| F (x)-f (x + h) | <\ epsilon , Лише тільки | H | <δ,

і точки x, \, x + h не виходять за межі інтервалу [A, b] . Теорема Вейєрштрасса стверджує, що гладка на відрізку функція досягає на відрізку свого мінімального і максимального значень. Поняття безперервності функції зазвичай пов'язується з поняттям границі функції. Безупинні на інтервалі [A, b] функції утворюють кільце безперервних функцій C [a, b] .


1.5. Основні теореми диференціального числення

Кільце безперервних на [A, b] і гладких на (A, b) функцій має ряд важливих властивостей:

\ Frac {f (b)-f (a)} {b-a} = f '(c)
\ Frac {f (b)-f (a)} {g (b)-g (a)} = \ frac {f '(c)} {g' (c)}

З теореми Лагранжа виводять формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа: на якому відрізку (A ', b') \ subset (a, b) знайдуться такі точки c n , Що

f (b ') = f (a') + f '(a') (b'-a ') + \ frac {1} {2!} f''(a') (b'-a ') ^ 2 + \ dots \ frac {1} {n!} f ^ {(n)} (a ') (b'-a') ^ n + R_n

де

R_n = \ frac {1} {(n +1)!} F ^ {(n +1)} (c_n) (b'-a ') ^ {n +1}

За допомогою цієї формули можна приблизно обчислювати значення функції в точці b ' по відомим значенням функції та її похідних в точці a ' .

З теореми Коші виводять правило Лопіталя : якщо f (b) = g (b) = 0 або f (b) = g (b) = \ infty , І g '\ not = 0 на (A, b) , То

\ Lim \ limits_ {x \ rightarrow b-0} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim \ limits_ {x \ rightarrow b-0} \ frac {f '(x)} {g '(x)},

причому існування другого межі тягне існування першого.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Диференціальне рівняння
Диференціальне включення
Диференціальне обертання
Диференціальне рівняння Бернуллі
Лінійне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
Однорідне диференціальне рівняння
Стохастичне диференціальне рівняння
Звичайне диференціальне рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru