Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Диференціал (математика)



План:


Введення

Диференціал (від лат. differentia - Різниця, відмінність) - лінійна частина приросту функції.


1. Позначення

Зазвичай диференціал функції f позначається d f . Деякі автори вважають за краще позначати \ Operatorname {d} f шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором.

Диференціал в точці x 0 позначається d_ {x_0} f , А іноді df_ {x_0} або d f [x 0] , А таккже d f , Якщо значення x 0 зрозуміло з контексту.

Відповідно, значення диференціала в точці x 0 від h може позначатися як d_ {x_0} f (h) , А іноді df_ {x_0} (h) або d f [x 0] (h) , А таккже d f (h) , Якщо значення x 0 зрозуміло з контексту.


2. Використання без визначення

  • Диференціал використовується у виразі для інтеграла \ Int f (x) dx . При цьому найчастіше диференціал d x вводиться як частина визначення інтеграла; тобто у визначенні інтеграла обходиться визначення диференціала.
  • Також знак диференціала використовується в позначенні Лейбніца для похідної f '(x_0) = \ frac {df} {dx} (x_0) . Це позначення має сенс оскільки для диференціалів функції f і тотожною функції x правильне співвідношення
    d_ {x_0} f = f '(x_0) \ cdot d_ {x_0} x.

3. Визначення

3.1. Для функцій

Диференціал функції f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} в точці x_0 \ in \ mathbb {R} може бути визначений як лінійна функція

d_ {x_0} f (h) = f '(x_0) h,

де f '(x 0) позначає похідну f в точці x 0 .

Таким чином d f є функція двох аргументів df \ colon (x_0, h) \ mapsto d_ {x_0} f (h) .

Диференціал може бути визначений безпосередньо, тобто, без залучення визначення похідної як функція d_ {x_0} f (h) лінійно залежить від h і для якої вірно наступне співвідношення

d_ {x_0} f (h) = f (x_0 + h) - f (x_0) + o (| h |).

3.2. Для відображень

Диференціалом відображення f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m в точці x_0 \ in \ mathbb {R} ^ n називають лінійний оператор d_ {x_0} f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m такий, що виконується умова

d_ {x_0} f (h) = f (x_0 + h) - f (x_0) + o (| h |).

4. Пов'язані визначення

  • Відображення f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m називається диференційовних в точці x_0 \ in \ mathbb {R} ^ n якщо визначений диференціал d_ {x_0} f \ colon \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m .

5. Властивості

  • Матриця лінійного оператора d_ {x_0} f дорівнює матриці Якобі; її елементами є приватні похідні f .
    • Зазначимо, приватні похідні можуть бути визначені в точці, де диференціал не визначений.
  • Диференціал функції f пов'язаний з її градієнтом \ Nabla f следущие визначальним співвідношенням
    d_ {x_0} f (h) = \ langle \ nabla f (x_0), h \ rangle

6. Історія

Термін "диференціал" введений Лейбніцем. Спочатку d x застосовувалося для позначення " нескінченно малою "- величини, яка менше всякої кінцевої величини і все ж не дорівнює нулю. Подібний погляд виявився незручним у більшості розділів математики за винятком нестандартного аналізу.

7. Варіації і узагальнення


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Семантичний диференціал
Диференціал (диференціальна геометрія)
E8 (математика)
Математика
E6 (математика)
F4 (математика)
G2 (математика)
Рівність (математика)
Фільтр (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru