В алгебрі диференціювання - це операція, узагальнююча властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спочатку це поняття було введено для дослідження интегрируемости виразів в елементарних функціях алгебраїчними методами.


1. Визначення

Нехай A - алгебра над кільцем R . Диференціювання алгебри A - Це R -Лінійне відображення \ Partial: A \ to A , Що задовольняє тотожність Лейбніца:

\ Partial (ab) = (\ partial a) b + a (\ partial b)

У більш загальному випадку диференціювання комутативної A зі значеннями в A -Модулі M - Це R -Лінійне відображення \ Partial: A \ to M , Що задовольняє тотожність Лейбніца. У цьому випадку M називають диференціальним модулем над A Безліч всіх диференційованості зі значеннями в M позначається \ Mathrm {D} (M) ( \ Mathrm {Der} (M) , \ Mathrm {Der} _R (A, M) ) І є A -Модулем. Функтор \ Mathrm {D} є представимо, його представляє об'єкт позначається \ Lambda ^ 1 (A) або \ Omega ^ 1_ {A / R} і називається модулем келерових диференціалів. \ Lambda ^ 1 (A) є початковим об'єктом в категорії диференціальних модулів над A , Тобто існує таке диференціювання d: A \ to \ Lambda ^ 1 (A) , Що будь диференціювання \ Delta \ in \ mathrm {D} (M) пропускається через d :

\ Exists! f: \ Lambda ^ 1 (A) \ to M: ~ \ delta = f \ circ d

2. Властивості

  • \ Mathrm {D} (A) має природну структуру алгебри Лі: \ Mathrm {D} _1, \ mathrm {D} _2 \ in \ mathrm {D} (A) \ implies [\ mathrm {D} _1, \ mathrm {D} _2] = \ mathrm {D} _1 \ circ \ mathrm {D} _2 - \ mathrm {D} _2 \ circ \ mathrm {D} _1 \ in \ mathrm {D} (A)
  • Будь диференціювання є диференціальним оператором (в сенсі комутативної алгебри) першого порядку. Більш того, якщо A - Алгебра з одиницею, то для будь-якого A -Модуля M
\ Mathrm {Diff} _1 (M) = \ mathrm {D} (M) \ oplus M
Тут \ Mathrm {Diff} _1 (M) - Модуль диференціальних операторів 1 порядку з A в M .
  • \ Mathrm {Der} _R (A, M) є функтором з (\ Mathcal {R} ing ^ {op}) \ times (R-\ mathcal {A} lg ^ {op}) \ times (A-\ mathcal {M} od) в A-\ mathcal {M} od .

3. Градуйованою диференціювання

Нехай A - \ Z -Градуйована алгебра, градуювання елемента a \ in A позначимо | A | . Правильним аналогом диференційованості в цьому випадку є градуйовані диференціювання, породжені однорідними відображеннями \ Mathrm {D}: A \ to A ступеня | \ Mathrm {D} | , Що задовольняють наступним градуйованому тотожності Якобі ( \ Varepsilon = \ pm ):

\ Mathrm {D} (ab) = (\ mathrm {D} a) b + \ varepsilon ^ {| a | | \ mathrm {D} |} a (\ mathrm {D} b)

Якщо \ Varepsilon = 1 , То градуйовані диференціювання співпадають із звичайними. Якщо \ Varepsilon = -1 , То їх зазвичай називають супердіфференцірованіямі. Супердіфференцірованія утворюють супералгебру Лі щодо суперкоммутатора

[\ Mathrm {D} _1, \ mathrm {D} _2] = \ mathrm {D} _1 \ circ \ mathrm {D} _2 - (-1) ^ {| \ mathrm {D} _1 | | \ mathrm {D } _2 |} \ mathrm {D} _2 \ circ \ mathrm {D} _1

Прикладами супердіфференцірованій є зовнішнє і внутрішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.


Література