Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дифференцируемая функція



План:


Введення

Дифференцируемая функція - це функція, що має диференціал. Дифференцируемая функція може бути добре наближена лінійною функцією. Дифференцируемость є одним з фундаментальних понять в математиці і має велике число додатків як усередині неї, так і в природничих науках, широко використовують математичний апарат (на даному відрізку).


1. Речовий аналіз

Функція

f \ colon M \ subset \ R ^ n \ mapsto \ R

називається дифференцируемой в точці x 0 своєї області визначення M , Якщо існує така лінійна функція

l \ colon \ R ^ n \ mapsto \ R ,

що для будь-якої точки x області M вірно

f (x)-f (x_0) = l (x) + o (\ | x-x_0 \ |) ,

тобто, розкриваючи символ "o" мале, якщо

\ Lim \ limits_ {x \ to x_0} \ frac {| f (x)-f (x_0)-l (x) |} {\ | x-x_0 \ |} = 0 .

Безліч всіх функцій, визначених і диференційовних у всіх точках області M є кільцем.


1.1. Випадок функції однієї змінної

Графік функції (чорна крива) і дотична пряма (червона пряма)
Функція f (x) = | x | і її похідна.
Графік функції Вейерштрасса на інтервалі [-2, 2]. Цей графік має фрактальний характер: зум (у червоному колі) подібний всьому графіком.

Згідно із загальним визначенням функція

f \ colon M \ subset \ R \ mapsto \ R

однієї змінної є дифференцируемой в точці x 0 своєї області визначення M , Якщо існують такі константи a і b , Що для будь-якої точки x області M вірно

f (x) = a + b (x - x 0) + o (x - x 0) ;

при цьому число a неминуче дорівнює значенню функції в точці x 0 , А число b - Межі

\ Lim \ limits_ {x \ to x_0} \ frac {f (x)-f (x_0)} {x-x_0} ,

який, отже, існує і його, як відомо, називають похідною функції в точці x 0 , Тобто

f (x) = f (x 0) + f '(x 0) (x - x 0) + o (x - x 0) .

Більше того, функція однієї змінної є дифференцируемой в точці x 0 тоді і тільки тоді, вона має похідну в цій точці.

Графік функції y = f (x) являє собою криву на площині O x y , А графік лінійної функції

y = f (x 0) + f '(x 0) (x - x 0)

доставляє дотичну пряму до цієї кривої, проведену в точці x 0 .

Напр., Функція f (x) = x 2 визначена і диференційована в будь речовій точці, оскільки її можна представити у вигляді

f (x) = f (x 0) + 2 x 0 (x - x 0) + (x - x 0) 2 .

При цьому її похідна є f '(x 0) = 2 x 0 , А рівняння дотичної прямої, проведеної в точці x 0 , Має вигляд: y = x_0 ^ 2 + 2x_0 (x-x_0) .

Елементарні функції можуть бути безперервними в деякій точці, але не бути в ній діфференцируєми. Напр., Функція f (x) = | x | є безперервною на всій речовинної осі, але її похідна відчуває стрибок при переході через точку x = 0 , В якому ця функція не є дифференцируемой. У цій точці можна провести і дотичну до графіка функції. Функція y = \ sqrt [3] {x} теж безупинна на всій речовинної осі і її графік має дотичні у всіх точках, однак дотична, проведена в точці x = 0 , Є вертикальною прямою і тому похідна функції y = \ sqrt [3] {x} нескінченно велика в точці x = 0 , А сама функція не дифференцируема в цій точці.

Графіки елементарних функцій вчать, що довільна функція дифференцируема всюди, за винятком виключних і ізольованих значень аргументу. Перша спроба аналітичного докази цього твердження належить Амперу [1], і тому воно носить назву гіпотези Ампера. Це твердження, проте, не вірно в класі аналітично представимо функцій, напр., функція Діріхле не є навіть безперервної ні в одній точці [2]. Не можна також вважати і довільну безперервну функцію дифференцируемой, напр., функція Вейерштрасса визначена і безперервна на всій речовинної осі, але не є дифференцируемой в жодній її точці [3]. Це зокрема означає, що до її графіком в жодній точці не можна провести дотичну пряму. Тим не менш, гіпотезу Ампера можна розглядати як нестрога формулювання наступної теореми Лебега: будь-яка монотонна функція f (x) має певну кінцеву похідну всюди, крім, можливо, деякої безлічі значень x заходи нуль. [4]


1.2. Випадок функції двох змінних

Згідно із загальним визначенням функція

f \ colon M \ subset \ R ^ 2 \ mapsto \ R

двох змінних x, y є дифференцируемой в точці (X 0, y 0) своєї області визначення M , Якщо існують такі константи a, b і c , Що для будь-якої точки (X, y) області M вірно

f (x, y) = a + b (x-x_0) + c (y-y_0) + o (\ sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2}) ;

при цьому число a неминуче дорівнює значенню функції в точці (X 0, y 0) , А числа b і c є приватними похідними функції в тій же точці, тобто

f (x, y) = f (x_0, y_0) + \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial x} \ right | _ {(x_0, y_0)} (x-x_0) + \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial y} \ right | _ {(x_0, y_0)} (y-y_0) + o (\ sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2} ) .

При цьому будь-яка дифференцируемая в точці (X 0, y 0) функція має в цій точці обидві приватні похідні, але не всяка функція, що має обидві приватні похідні є дифференцируемой. Більше того, існування приватних похідних в деякій точці не гарантує навіть безперервність функції в цій точці. Напр., Функція

f (x, y) = \ begin {cases} \ dfrac {2xy} {x ^ 2 + y ^ 2} & (x, y) \ ne (0,0) \ \ 0 & (x, y) = ( 0,0) \ end {cases}

яка має в точці O = (0,0) обидві приватні похідні, але не є в цій точці безперервною. У самому справі,

\ Frac {\ partial f} {\ partial x} (0,0) = \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {f (x, 0) -0} {x} = 0 , \ Frac {\ partial f} {\ partial y} (0,0) = 0 ;

і якщо {A n} - Нескінченно мала послідовність, то

f (a_n, 0) = 0 \ to 0 і f (a_n, a_n) = \ frac {2a_n ^ 2} {a_n ^ 2 + a_n ^ 2} = 1 \ to 1 ,

тому межа

\ Lim \ limits_ {(x, y) \ to O} f (x, y)

не існує.

Графік функції y = f (x, y) являє собою поверхню в просторі O x y z , А графік лінійної функції

y = f (x_0, y_0) + \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial x} \ right | _ {(x_0, y_0)} (x-x_0) + \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial y} \ right | _ {(x_0, y_0)} (y-y_0)

доставляє дотичну площину до цієї поверхні, проведену в точці (X 0, y 0) .


2. Комплексний аналіз

Дане вище визначення діфференцируємості в точці може бути перенесено без змін на випадок функцій комплексного змінного: функція

f \ colon M \ subset \ C ^ n \ mapsto \ C

називається дифференцируемой в точці z 0 своєї області визначення M , Якщо існує така лінійна функція

l \ colon \ C ^ n \ mapsto \ C ,

що для будь-якої точки z області M вірно

f (z)-f (z_0) = l (z) + o (\ | z-z_0 \ |) .

У випадку функції f однієї змінної z воно еквівалентно вимогу існування похідної f '(z 0) . Ця вимога часто записують у вигляді умов Коші - Рімана, що накладаються на речову та уявну частину функції f .

На відміну від речового аналізу, при побудові аналізу для функцій декількох комплексних змінних більше значення має поняття голоморфних. Функція f (z_1, \ dots z_n) , Задана в області M , Голоморфних в цій галузі, якщо в усіх точках цієї області вона володіє всіма приватними похідними по z_1, \ dots, z_n . Цього виявляється достатнім для встановлення низки нетривіальних властивостей. Зокрема вдається довести фундаментальну теорему Гартогса, згідно з якою функція, голморфная в поліціліндре

| Z-z_1 ^ 0 | \ leq R_1, \ dots | z-z_n ^ 0 | \ leq R_n ,

є безперервною в цьому циліндрі. [5]


Примітки

  1. Ampre, AM / / Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  2. Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
  3. Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  4. Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу. М.: Мир, 1979. С. 15.
  5. Фукс Б.А. Введення в теорію аналітичних функцій багатьох комплексних змінних. М.: Физматлит, 1962. C. 29-31.

Література

  • Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу - М .: Світ, 1979. - С. 13-16.
  • Курант Р. Курс диференціального й інтегрального числення - М.-Л.: ГНТІ, 1931. - Т. 2. - С. 60-69.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функція
R-функція
θ-функція
Функція Мебіуса
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Аккермана
Сингулярна функція
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru