Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Довжина кривої



План:


Введення

Полігональне наближення кривої

Довжина кривої (або, що те ж, довжина дуги кривої) в метричному просторі - числова характеристика протяжності цієї кривої [1]. Історично обчислення довжини кривої називалося випрямленням кривої (від лат. rectificatio , Випрямлення). Якщо довжина кривої існує і скінченна, то говорять, що крива спрямлюваних, в іншому випадку - неспрямляемая.


1. Визначення

1.1. Евклідова простір

Для евклідова простору довжина відрізка кривої визначається як точна верхня грань довжин вписаних в криву ламаних. Для наочності розглянемо тривимірний простір. Нехай безперервна крива γ задана параметрично:

x = x (t), \ quad y = y (t), \ quad z = z (t) \ qquad \ qquad , ((1))

де ~ A \ leqslant t \ leqslant b . Розглянемо всілякі розбиття інтервалу параметра [A, b] на m відрізків: ~ A = x_0 <x_1 <\ dots <x_m = b . Поєднавши точки кривої \ Gamma (x_0), \ dots, \ gamma (x_m) відрізками прямих, ми отримаємо ламану лінію. Тоді довжина відрізка кривої визначається як точна верхня грань сумарних довжин всіх таких ламаних.

Будь-яка безперервна крива має довжину, кінцеву або нескінченну. Якщо всі функції в (1) є функціями обмеженою варіації, то довжина кривої існує і кінцева. В математичному аналізі виводиться формула для обчислення довжини s відрізка кривої, заданої рівняннями (1), за умови, що всі три функції безперервно діфференцируєми :

s = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {{x '} ^ 2 (t) + {y'} ^ 2 (t) + {z '} ^ 2 (t)} \, dt ((2))

Формула має на увазі, що a \ leqslant b і довжина відраховується в бік зростання параметра t. Якщо розглядаються два різних напрямки відліку довжини від точки кривої, то часто зручно приписати дузі на одному з цих напрямів знак мінус.

В n-вимірному випадку замість (2) маємо аналогічну формулу:

s = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ n {f'_k} ^ 2 (t)} \, dt .

Можна також обчислити довжину кривої γ через криволінійний інтеграл I роду:

s = \ int \ limits_ \ gamma d \ gamma

1.1.1. Довжина дуги як параметр

Крива допускає безліч різних способів параметричного завдання рівняннями виду (1). Серед них особливе значення має так звана природна параметризація, коли параметром служить довжина дуги кривої, яка відлічується від деякої фіксованої точки.

Серед переваг такої параметризації:

  1. Похідна радіус-вектора \ Frac {d \ mathbf {r}} {dt} має одиничну довжину і тому співпадає з одиничним вектором дотичній.
  2. \ Frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} по довжині збігається з кривизною кривої, а у напрямку - з її головною нормаллю.

1.1.2. Евклідова площину

Якщо плоска крива задана рівнянням y = f (x), то її довжина дорівнює:

s = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {1 + {f '} ^ 2 (x)} \, dx.

У полярних координатах (R, φ):

s = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {r ^ 2 + \ left (\ frac {dr} {d \ varphi} \ right) ^ 2} \, d \ varphi.

1.2. Ріманова простору

В n-вимірному рімановим просторі з координатами x ^ 1 \ cdots x ^ n крива задається параметричними рівняннями:

x ^ i = x ^ i (t) \ qquad \ qquad , ((3))

Довжина кривої в рімановим просторі задається формулою:

s = \ int \ limits_a ^ b \ sqrt {g_ {ij} {dx ^ i \ over dt} {dx ^ j \ over dt}} \, dt ,

де: g i j - метричний тензор. Приклад: крива на поверхні в \ Mathbb {R} ^ 3 .


1.3. Загальна метричний простір

У більш загальному випадку довільного метричного простору (X, ρ) довжиною S кривої називається варіація задає криву відображення, тобто довжина кривої \ Gamma: [a, b] \ to X визначається згідно з формулою:

s = \ sup \ sum \ limits_ {k = 0} ^ m \ rho (\ gamma (x_ {k +1}), \ gamma (x_k)),

де верхня грань береться, як і раніше, за всіма розбиття a = x_0 <x_1 <\ dots <x_m = b відрізка [A, b] .


2. Історія

Завдання випрямлення виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне випрямлення було виконано для окружності. Декарт навіть висловлював думку, що "відношення між прямим і кривим невідомо, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми".

Першим досягненням стало випрямлення параболи Нейла ( 1657), виконане Ферма і самим Нейлом. Незабаром було знайдено довжина арки циклоїди ( Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.


Література

Примітки

  1. Математична енциклопедія (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu - М .: Радянська Енциклопедія, 1982. - Т. 2.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Точка перегину плоскої кривої
Довжина
Планка довжина
Довжина хвилі
Дебаєвської довжина
Афінна довжина
Довжина вільного пробігу
Оптична довжина шляху
Комптонівського довжина хвилі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru