Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дотична пряма



План:


Введення

Графік функції (чорна крива) і дотична пряма (червона пряма)

Дотична пряма - пряма, що проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.


1. Суворе визначення


2. Зауваження

Прямо з визначення випливає, що графік дотичній прямої проходить через точку (X 0, f (x 0)) . Кут α між дотичною до кривої і віссю Ох задовольняє рівнянню

\ Operatorname {tg} \, \ alpha = f '(x_0) = k,

де \ Operatorname {tg} позначає тангенс, а \ Operatorname {k} - Коефіцієнт нахилу дотичній. Похідна в точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f (x) в цій точці.


3. Дотична як граничне положення січною

Derivative-SVG.svg

Нехай f \ colon U (x_0) \ to \ R і x_1 \ in U (x_0). Тоді пряма лінія, що проходить через точки (X 0, f (x 0)) і (X 1, f (x 1)) задається рівнянням

y = f (x_0) + \ frac {f (x_1) - f (x_0)} {x_1 - x_0} (x-x_0).

Ця пряма проходить через точку (X 0, f (x 0)) для будь-якого x_1 \ in U (x_0), і її кут нахилу α (x 1) задовольняє рівнянню

\ Operatorname {tg} \, \ alpha (x_1) = \ frac {f (x_1) - f (x_0)} {x_1 - x_0}.

У силу існування похідної функції f в точці x 0, переходячи до межі при x_1 \ to x_0, отримуємо, що існує межа

\ Lim \ limits_ {x_1 \ to x_0} \ operatorname {tg} \, \ alpha (x_1) = f '(x_0),

а в силу безперервності арктангенса і граничний кут

\ Alpha = \ operatorname {arctg} \, f '(x_0).

Пряма, через точку (X 0, f (x 0)) і має граничний кут нахилу, що задовольняє \ Operatorname {tg} \, \ alpha = f '(x_0), задається рівнянням дотичної:

y = f (x 0) + f '(x 0) (x - x 0).

4. Дотична до кола

Відрізки дотичних

Пряма, що має одну спільну точку з окружністю і лежить з нею в одній площині, називається дотичною до кола.

4.1. Свойств0

  1. Дотична до окружності перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку дотику.
  2. Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямий, що проходить через цю точку і центр кола.
  3. Довжина відрізка дотичної, проведеної до окружності одиничного радіуса, взятого між точкою дотику і точкою перетину дотичної з радіусом, є тангенсом кута між цим радіусом та напрямом від центра кола на точку дотику. "Тангенс" від лат. tangens - "Дотична".

5. Варіації і узагальнення

5.1. Односторонні полукасательние

y = f (x_0) + f'_ + (x_0) (x - x_0), \ quad x \ geqslant x_0.
  • Якщо існує ліва похідна f'_-(x_0) <\ infty, то лівою полукасательной до графіка функції f в точці x 0 називається промінь
y = f (x_0) + f'_-(x_0) (x - x_0), \ quad x \ leqslant x_0.
  • Якщо існує нескінченна права похідна f'_ + (x_0) = + \ infty \; (- \ infty), то правою полукасательной до графіка функції f в точці x 0 називається промінь
x = x_0, \; y \ geqslant f (x_0) \; (y \ leqslant f (x_0)).
  • Якщо існує нескінченна ліва похідна f'_-(x_0) = + \ infty \; (- \ infty), то правою полукасательной до графіка функції f в точці x 0 називається промінь
x = x_0, \; y \ leqslant f (x_0) \; (y \ geqslant f (x_0)).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Пряма
Пряма мова
Пряма кінематика
Пряма демократія
Лапчатка пряма
Пряма Сімсона
Пряма Ейлера
Пряма сума
Пряма Обера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru