Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дотичне простір



План:


Введення

Дотичне простір \ Scriptstyle T_xM і дотичний вектор \ Scriptstyle v \ in T_xM , Вздовж кривої \ Scriptstyle \ gamma (t) , Яка проходить через точку \ Scriptstyle x \ in M

Дотичне простір до гладкому різноманіттю M в точці x - Сукупність дотичних векторів з введеною на ній природною структурою векторного простору. Дотичне простір до M в точці x звичайно позначається T x M або - коли очевидно, про який різноманітті йдеться - просто T x .

Сукупність дотичних просторів у всіх точках різноманіття (разом з самим різноманіттям) утворює векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням. Відповідно, кожне дотичне простір є шар дотичного розшарування.

Дотичне простір в точці p до подмногообразію визначається аналогічно.

У найпростішому випадку, коли гладке різноманіття гладко вкладено в векторний простір (можливо що завжди, згідно Теоремі Уїтні про вкладення), кожне дотичне простір можна природно ототожнити з деяким афинной підпростором осяжний векторного простору.


1. Визначення

Є два стандартних визначення дотичного простори: через клас еквівалентом гладких кривих і через диференціювання в точці. Перше інтуїтивно простіше, але на цьому шляху виникає ряд технічних складнощів. Друге є найбільш простим, хоча рівень абстракції в ньому вище. Друге визначення також легше застосовувати на практиці.

1.1. Як клас еквівалентом гладких кривих

Нехай M - Гладке різноманіття і p \ in M . Розглянемо клас Γ p гладких кривих \ Gamma \ colon \ mathbb I \ to M таких, що γ (0) = p . Введемо на Γ p ставлення еквівалентом: γ ~ γ ' якщо

| Γ (t) - γ '(t) | = o (t)

в деякій (а значить і в будь-який) мапі містить p .

Елементи дотичного простору T p визначаються як ~ -Класи еквівалентності Γ p ; Тобто

T p = Γ p / ~ .

У карті такий, що p відповідає початку коодінат, криві з Γ p можна складати і множити на число наступним чином

(Γ + γ ') (t) = γ (t) + γ' (t)
(K \ cdot \ gamma) (t) = \ gamma (k \ cdot t)

При цьому результат залишається в Γ p .

Ці операції продожаем до класів еквівалентності T p = Γ p / ~ . Більше того, індуковані на T p операції вже не залежать від вибору карти. Так на T p визначається структура векторного простору.


1.2. Через диференціювання в точці

Нехай M - C ^ \ infty -Гладке різноманіття. Тоді дотичним до різноманіття M в точці p \ in M називається простір диференціювання в цій точці, тобто простір операторів X , Що зіставляють кожній гладкої функції f: M \ to \ R число X f і володіють наступними властивостями:

На безлічі всіх диференціювання в точці p постає природна структура лінійного простору:

  • (X + Y) f = X f Y f +;
    (K \ cdot X) f = k \ cdot (Xf).

1.3. Зауваження

  • У випадку C k -Гладких многовидів, у визначенні через диференціювання варто додати ще одну властивість
    X f = 0 якщо f (q) = o (| p - q |)
в деякій (а значить і в будь-який) мапі містить p .
  • В іншому випадку це визначення дасть нескінченновимірних просторів, що включає дотичне простір. Цей простір іноді називається алгебраїчним дотичним простором. Див нижче.
  • Нехай \ Gamma \ in \ Gamma_p . Тоді правило Лейбніца і властивість адитивності для оператора виконуються для Xf = (f \ circ \ gamma) '(0) . Це дозволяє іденціфіціровать дотичні простору одержувані в першому і другим визначенні.

2. Властивості

  • Дотичне простір n -Мірного гладкого різноманіття є n -Мірним векторним простором
  • Для вибраної локальної карти x_1, \ dots, x_n , Оператори X i диференціювання за x i :
    X_if = \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} (p)
являють собою базис T p , Званий голономним базисом.

3. Пов'язані визначення

  • Контактним елементом до різноманіття в деякій точці називається будь-яка гіперплоскость дотичного простору в цій точці.

4. Варіації і узагальнення

4.1. Алгебраїчне дотичне простір

Алгебраїчне дотичне простір виникає, коли ми у визначенні дотичного вектора відмовляємося від додаткової вимоги, озвученого в зауваженні вище (що, втім, має значення тільки для C k -Диференційовних різноманіть, k <\ infty ). Воно узагальнюється на будь локально окільцьовані простір.

Нехай M - C k -Диференціюється різноманіття, C k (M) - кільце диференційовних функцій з M в \ Mathbb {R} . Розглянемо кільце C ^ k_xпаростків функцій в точці x \ in M і канонічну проекцію [-] _x: C ^ k (M) \ to C ^ k_x . Позначимо через \ Mathfrak {m} _xядро гомоморфізму кілець [F] _x \ mapsto f (x) . Введемо на C ^ k_x структуру речовій алгебри за допомогою ін'ектівного гомоморфізму i: \ mathbb {R} \ to C ^ k_x , i (a) = [const a] x і будемо далі ототожнювати \ Mathbb {R} і i (\ mathbb {R}) . Має місце рівність C ^ k_x = \ mathbb {R} \ oplus \ mathfrak {m} _k . [1] Позначимо через C ^ k_ {x, 0} подалгебру C ^ k_x , Що складається з усіх ростків, представники яких мають нульові диференціали в точці x в кожній карті; позначимо C ^ k_ {x, d} = \ mathbb {R} \ oplus \ mathfrak {m _x} ^ 2 . Зауважимо, що C ^ k_ {x, d} \ subset C ^ k_ {x, 0} .

Розглянемо два векторних простору:

  • T_x M: = (C ^ k_x / C ^ k_ {x, 0}) ^ * - Це простір має розмірність \ Operatorname {dim} M і збігається з визначеним раніше дотичним простором до M в точці x ,
  • (C ^ k_x / C ^ k_ {x, d}) ^ * \ cong (\ mathfrak {m _x} / \ mathfrak {m _x} ^ 2) ^ * - Це простір ізоморфно простору диференціювання C ^ k_x = \ mathbb {R} \ oplus \ mathfrak {m} _x зі значеннями в \ Mathbb {R} \ subset C ^ k_x , Його називають алгебраїчним дотичним простором [2] M в точці x .

Якщо k <\ infty , То \ Mathfrak {m} _x / \ mathfrak {m} _x ^ 2 має розмірність континуум, а (\ Mathfrak {m} _x / \ mathfrak {m} _x ^ 2) ^ * містить T x M як нетривіальне підпростір; в разі k = \ infty або k = ω ці простори збігаються (і C ^ k_ {x, 0} = C ^ k_ {x, d} ). [3] У обох випадках T x M можна ототожнювати з (під) простором диференціювання C ^ k_x зі значеннями в \ Mathbb {R} , Для вектора X \ in T_x M формула X (f) = X ([f] x) задає ін'ектівний гомоморфізм T x M в простір диференціювання C k (M) зі значеннями в \ Mathbb {R} (Структура речовій алгебри на C k (M) задається аналогічно C ^ k_x ). При цьому у разі k = \ infty виходить в точності визначення, дане вище.


Примітки

  1. Ж.-П. Серра, Алгебри Лі та Групи Лі, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a C k Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дотичне розшарування
Простір
L p (простір)
Простір Фрідмана
Ультраметріческое простір
Унітарна простір
Зв'язний простір
Простір Мінковського
Інформаційний простір
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru