Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Діаграми Фейнмана


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Діаграми Фейнмана - наочний і ефективний спосіб опису взаємодії в квантовій теорії поля ( КТП).

Метод запропонований Річардом Фейнманом в 1949 для побудови амплітуд розсіювання і взаємного перетворення елементарних частинок в рамках теорії збурень, коли з повного (ефективного) лагранжіана \ Mathcal {L} системи полів виділяється невозмущенной частина (вільний лагранжіана) \ Mathcal {L} _0 , Квадратична по полях, а частина, що залишилася (лагранжіана взаємодії) \ Mathcal {L} _1 трактується як обурення. Найбільш наочну інтерпретацію діаграми Фейнмана набувають в методі інтегралів по траєкторіям.


1. Опис методу

Складовими елементами діаграми Фейнмана є вершини, внутрішні і зовнішні лінії. Кожна з ліній під'єднується до якимось вершин: внутрішня до двох, а зовнішня до однієї. Набір вершин визначається структурою \ Mathcal {L} _1 , А набір зовнішніх і внутрішніх ліній - структурою \ Mathcal {L} _0 . Кожному моному по полях в \ Mathcal {L} _1 відповідає певний тип вершин, а кожному виду поля в \ Mathcal {L} _0 певний тип ліній. Якщо поле нейтральне (відповідна частка збігається зі своєю античастинкою), то лінія вважається ненаправленої, в іншому випадку лінія спрямована і на діаграмі забезпечується стрілкою.

Image1 feynmann diagrams.PNG

Існують так звані правила Фейнмана, які зіставляють кожному елементу діаграми Фейнмана певні математичні об'єкти (величини і операції), так що по діаграмі Фейнмана можна однозначно побудувати аналітичний вираз, що дає внесок в амплітуду розсіювання квантованих полів. Разом з тим діаграми Фейнмана дозволяють таким вкладом дати наочну класичну інтерпретацію у вигляді ряду послідовних локальних перетворень частинок. Кожному окремому перетворенню відповідає вершина, внутрішніх лініях - поширення проміжної частки від одного акту перетворення до іншого ( пропагатор частинки), зовнішніх лініях - хвильові функції початкових і кінцевих частинок, що беруть участь в процесі.

В якості прикладу розглянемо діаграми Фейнмана в квантовій електродинаміці ( КЕД), яка описує взаємодію електронів, позитронів і фотонів між собою. У КЕД є всього один тип вершин (рис. 1) і два типи ліній (рис. 2). Ненаправлена ​​хвиляста лінія відноситься до фотону, а спрямована пряма - до електрона і позитрона.

В останньому випадку поширенню основної частки ( електрона) відповідає рух уздовж лінії за напрямком стрілки, а поширенню античастинки (позитрона) - рух проти стрілки.

Кожна діаграма Фейнмана має декілька інтерпретацій в залежності від напрямку руху вздовж ліній цієї діаграми. Так, для діаграми Фейнмана, зображеної на рис. 3, припустимі наступні варіанти.

  1. Рух по лініях зліва направо - розсіювання фотона на електроні. У вершині 1 початковий електрон поглинає початковий фотон, при цьому утворюється проміжний електрон, який поширюється від вершини 1 до вершини 2. Тут він випромінює кінцевий фотон і перетворюється в кінцевий електрон. Результатом процесу є перерозподіл 4-імпульсу (енергії і імпульсу) між електроном і фотоном.
  2. Рух по лініях справа наліво - розсіяння фотона на позитронів.
  3. Рух знизу вгору - анігіляція електрона і позитрона з перетворенням їх у два фотони.
  4. Рух зверху вниз - народження електрон-позитронної пари при зіткненні двох фотонів.

Згідно з правилами Фейнмана, в кожній вершині взаємоперетворення часток відбувається з інтенсивністю, пропорційною деякої константі зв'язку (константі взаємодії), і з дотриманням закону збереження 4-імпульсу. Разом з тим релятивістське співвідношення між енергією та імпульсом \ Epsilon = \ sqrt {P ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4} ( \ Epsilon - Енергія, Р - звичайний тривимірний імпульс, m - маса) виконується тільки для початкових і кінцевих частинок, які описуються зовнішніми лініями (реальні частки). Це співвідношення порушується для проміжних частинок, які описуються внутрішніми лініями, у зв'язку з чим вони називаються віртуальними частинками. Для них \ Epsilon і Р можуть незалежно приймати значення від - ∞ до + ∞.

Поле може бути як однокомпонентні, так і багатокомпонентним. В КЕД і фотонне (векторне електромагнітне) поле, і електрон-позитроне (спінорно) поле мають по чотири компоненти. Кожна лінія в діаграмі Фейнмана описує відразу всю сукупність компонент відповідного поля. У суперсиметричних моделях лінія в діаграмі Фейнмана описує поширення цілого мультиплета елементарних частинок, які відповідають різним компонентам одного суперполе.

Тип фізичного процесу визначається тільки тими частками, які маються на вході і виході цього процесу. Тому всі діаграми Фейнмана з одним і тим же набором зовнішніх ліній незалежно від своєї внутрішньої структури відповідають одному й тому ж фізичному процесу. Кожна з таких діаграм вносить адитивний вклад в амплітуду процесу. Так, крім діаграми, зображеної на рис. 3, ефекту Комптона відповідають, наприклад, діаграми, наведені на рис. 4.

Image2 feynmann diagrams.PNG

Відмінною рисою цих діаграм є наявність у них замкнутих циклів (петель), що складаються з внутрішніх ліній. Діаграми типу рис. 4, а називаються однопетлевимі, ​​а типу рис. 4, б і рис. 4, в - двопетльовий. Беспетлевие діаграми типу рис. 3 називаються деревними. З усіх діаграм, відповідних даному фізичному процесу, деревні діаграми мають найменше число вершин. Тому в теорії збурень, в якій роль малого параметра грає константа зв'язку, деревні діаграми вносять основний внесок, а діаграми з петлями описують радіаційні поправки.

Крім розкладання всіх величин в ряд теорії збурень по константі зв'язку використовується розкладання в ряд по константі Планка. Виявляється, що внесок діаграми Фейнмана пропорційний \ Hbar ^ n , Де n - число петель в даній діаграмі. Тому в класичному межі (h → 0) внесок дають тільки деревні діаграми. Крім амплітуд розсіювання діаграми Фейнмана використовуються для опису функцій Гріна (в КТП). В обох випадках структури діаграм дуже схожі, що відображає тісний зв'язок між функціями Гріна і амплітудами розсіювання. Істотною відмінністю є лише те, що для функцій Гріна зовнішніх ліній відповідає поширення віртуальних частинок (поза масової поверхні).

Згідно з правилами Фейнмана, кожної петлі в діаграмі Фейнмана відповідає інтегрування по 4-імпульсу, який може циркулювати в даній петлі, не порушуючи законів збереження в вершинах. Деякі з цих інтегралів розходяться за рахунок нескінченного обсягу інтегрування (ультрафіолетові расходимости). Існує послідовний метод, званий процедурою регуляризації і перенормування, який дозволяє позбавитися від цих расходимостей. У цьому методі формулюються правила, за якими деяким внутрішнім блокам (узагальненим вершин, див. нижче) у діаграмі Фейнмана ставляться у відповідність певні математичний операції. З їх допомогою вдається компенсувати ультрафіолетові расходимости.

У виділенні узагальнених вершин, використовуваних у процедурі перенорміровок, істотну роль грає наступна класифікація діаграм Фейнмана. Діаграма називається зв'язною, якщо з будь-якої її вершини можна потрапити в будь-яку іншу, переміщаючись по внутрішніх лініях. В іншому випадку діаграма називається незв'язною. Діаграма називається сильно зв'язної або одночасткової Непріводімие, якщо вона залишається зв'язковий після розриву будь однією внутр. лінії. Різні сукупності вершин і внутрішніх ліній діаграми називаються її поддіаграммамі. Вони мають ту ж класифікацію, що і діаграми. Узагальнені вершини-це сильно зв'язні поддіаграмми, які під'єднуються до інших частин діаграми так само, як звичайні вершини або внутр. лінії. В КЕД три типи узагальнених вершин: власна енергія електрона (під'єднується двома електрон-позитронними лініями), власна енергія фотона або поляризація вакууму (під'єднується двома фотонними лініями), трикутна вершина (під'єднується двома електрон-позитронними лініями і однієї фотонній).

Специфічні особливості має діаграмний техніка для моделей з неабелевимі калібрувальними полями. Це пов'язано з тим, що для їх послідовної релятивістськи інваріантної формулювання доводиться розглядати крім фізичних компонент калібрувальних полів та нефізичні. Виявляється, що зайвий внесок у спостережувані величини від нефізичних компонент можна компенсувати внеском деяких "духових" полів, що мають неправильну зв'язок спина зі статистикою. Відповідно цьому крім діаграм, що описують поширення та взаємодія матеріальних і калібрувальних полів, доводиться розглядати діаграми, в яких фігурують "духові" поля. Так, в квантової хромодинамике крім вершин, що описують взаємодію матеріальних полів (кварків) з калібрувальними полями (глюонами) і глюонів між собою (рис. 5, а і рис. 5, б, 5, в), доводиться вводити вершини, які описують взаємодію глюонів з "духами" (рис. 5, г).

Image3 feynmann diagrams.PNG

Оскільки для фізичних процесів ні в початковому, ні в кінцевому стані "духи" присутній не можуть, то внесок в амплітуду таких процесів дають тільки діаграми, в яких немає зовнішніх "духових" ліній. Однак при розгляді виразів, що не залежать від поляризації початкових і (або) кінцевих калібрувальних полів, іноді технічно більш зручно підсумовувати за всіма компонентами цих полів, а не тільки за фізичними. У цьому випадку внесок нефіз. компонент може бути скомпенсовано внеском від діаграм, в яких в початковому і (або) кінцевому стані "духи" присутні.

Діаграми Фейнмана широко використовуються для аналізу аналітичних властивостей амплітуд розсіювання, зокрема для дослідження їх особливостей (сингулярностей). Іноді це дозволяє з усієї сукупності діаграм, що відповідають даному процесу, виділити деяку подсовокупность, яка вносить основний вклад.

Метод діаграми Фейнмана успішно застосовується також в квантовій теорії багатьох частинок, зокрема для опису конденсованих тіл і ядерних реакцій.


2. Література

3.1. Елементарне виклад

3.1.2. Діаграмний техніка в квантовій електродинаміці

  • Біленький С. М. Введення в діаграмних техніку Фейнмана 1971

3.2.3. Діаграмний техніка у фізиці елементарних частинок

  • Фейнман Р., Теорія фундаментальних процесів, пер. з англ., М., 1978
  • Л. Б. Окунь. Лептони і кварки.
  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантові поля, 2 изд., М., 1993
  • Іціксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантова теорія поля, пров. з англ., т. 1-2, М., 1984.

3.3.4. Діаграмний техніка в теорії багаточастинкових систем


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Точка Фейнмана
Правила Фейнмана
Завдання Фейнмана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru