Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дійсне число



План:


Введення

Речовий, або дійсне число [1] - математична абстракція, яка виникла із потреби виміру геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також проведення таких операцій як витяг кореня, обчислення логарифмів, рішення алгебраїчних рівнянь [2].

Якщо натуральні числа виникли в процесі рахунку, раціональні - з потреби оперувати частинами цілого, то речові числа призначені для вимірювання безперервних величин. Таким чином, розширення запасу розглянутих чисел привело до безлічі дійсних чисел, який, крім чисел раціональних включає також інші елементи, звані ірраціональними числами.

Наочно поняття дійсного числа можна уявити собі за допомогою числової прямої. Якщо на прямий вибрати напрямок, початкову точку і одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному речовинному числа можна поставити у відповідність певну точку на цій прямій, і назад, кожна точка буде представляти якийсь, і притому тільки одне, дійсне число. Внаслідок цієї відповідності термін числова пряма зазвичай вживається як синонім безлічі дійсних чисел.

Поняття речового числа пройшло довгий шлях становлення. Ще в Стародавній Греції в школі Піфагора, яка в основу всього ставила цілі числа і їхні відносини, було відкрито існування несумірних величин (несумірність сторони і діагоналі квадрата), тобто в сучасній термінології - чисел, які не є раціональними. Слідом за цим Евдоксом Кнідський була зроблена спроба побудувати загальну теорію числа, що включала несумірні величини. Після цього, протягом більше двох тисяч років, ніхто не відчував необхідності в точному визначенні поняття дійсного числа, незважаючи на поступове розширення цього поняття [3]. Лише у другій половині XIX століття, коли розвиток математичного аналізу зажадало перебудови його основ на новому, більш високому рівні строгості, у роботах К. Вейєрштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Е. Гейне, Ш. Мере [3] була створена строга теорія дійсних чисел.

З точки зору сучасної математики, безліч речових чисел - суть, безперервне упорядковане поле. Це визначення, або еквівалентна система аксіом, в точності визначає поняття дійсного числа в тому сенсі, що існує тільки одне, з точністю до ізоморфізму, безперервне упорядковане полі.

Безліч дійсних чисел має стандартне позначення - R ("напівжирне R"), або \ Mathbb {R} ( англ. blackboard bold "R") від лат. realis - Дійсний.


1. Історія становлення поняття дійсного числа

1.1. Наївна теорія дійсних чисел

Перша розвинена числова система, побудована в Стародавній Греції, включала тільки натуральні числа і їхні стосунки ( пропорції, у сучасному розумінні - раціональні числа). Однак незабаром з'ясувалося, що для цілей геометрії та астрономії цього недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом. [4]

Для виходу з положення Евдокс Кнідський ввів, на додаток до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у викладі Евкліда ( "Початки", книга V). По суті, теорія Евдокса - це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин - наприклад, досліджуваної і одиничного еталона. Слід, однак, підкреслити, що Евдокс залишився вірним колишньої традиції - він не розглядав таке відношення як число; через це в "Засадах" багато теореми про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекинда для побудови дійсних чисел за своїми принципами надзвичайно схожа на виклад Евдокса. Однак модель Евдокса неповна у багатьох відносинах - наприклад, вона не містить аксіоми безперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин або їх відносин та ін [5]

Ситуація почала змінюватися в перші століття н. е.. Вже Діофант Олександрійський, всупереч колишнім традиціям, розглядає знаки так само, як і натуральні числа, а в IV книзі своєї "Арифметики" навіть пише про один результаті: "Число виявляється не раціональним". [6] Після загибелі античної науки на передній план висунулися індійські і ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання або обчислення вважався числом. Ці погляди поступово взяли верх і в середньовічній Європі [7], де спочатку розділяли раціональні та ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне рівняння в правах ірраціональних чисел пов'язане з працями Симона Стевіна (кінець XVI століття), який проголосив: [6]

Ми приходимо до висновку, що не існує ніяких абсурдних, ірраціональних, неправильних, непояснених або глухих чисел, але що серед чисел існує таке досконалість і злагода, що нам треба міркувати дні і ночі над їх дивовижною закінченістю.

Він же, з деякими застереженнями, легалізував негативні числа, а також розвинув теорію і символіку десяткових дробів, які з цього моменту починають витісняти незручні шестидесятеричной.

Через сторіччя Ньютон у своїй " Універсальної арифметиці "( 1707) дає класичне визначення (речового) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону: [8]

Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої за одиницю.

Довгий час це прикладне визначення вважалося достатнім, так що практично важливі властивості дійсних чисел і функцій не доводили, а вважалися інтуїтивно очевидними (з геометричних або кінематичних міркувань). Наприклад, вважався самоочевидним той факт, що безперервна крива, точки якої розташовані по різні сторони від деякої прямої, перетинає цю пряму. Суворе визначення поняття безперервності також відсутнє. [9] Як наслідок, чимало теорем містили помилки, нечіткі або надмірно широкі формулювання.

Навіть після того, як Коші розробив досить строгий фундамент аналізу, положення не змінилося, оскільки теорії дійсних чисел, на яку зобов'язаний був спиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив чимало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до невірних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду з безперервних функцій завжди неперервна.


1.2. Створення суворої теорії

Першу спробу заповнити прогалину в підставах математики зробив Бернард Больцано в своїй статті "Чисто аналітичний доказ теореми, що між будь-якими двома значеннями, що дають результати протилежного знаку, лежить щонайменше один дійсний корінь рівняння" ( 1817). У цій піонерської роботі ще немає цілісної системи речових чисел, але вже наводиться сучасне визначення безперервності і показується, що на цій основі теорема, згадана в заголовку, може бути строго доведена [10]. В більш пізній роботі [11] Больцано дає начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близькою до канторовской теорії множин [12], але ця його робота залишилася неопублікованою за життя автора і побачила світ тільки в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і не привернули уваги математичної громадськості.

Сучасна теорія дійсних чисел була побудована в другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейерштрасса, Дедекинда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї найважливішої математичної структури і остаточно відокремили це поняття від геометрії та механіки.


2. Конструктивні способи визначення дійсного числа

При конструктивному визначенні поняття дійсного числа, на основі відомих математичних об'єктів (наприклад, безлічі раціональних чисел \ Mathbb {Q} ), Які беруть заданими, будують нові об'єкти, які, в певному сенсі, відображають наше інтуїтивне розуміння про поняття дійсного числа. Істотною відмінністю між речовими числами і цими побудованими об'єктами є те, що перші, на відміну від других, розуміються нами лише інтуїтивно і поки не є строго певним математичним поняттям.

Ці об'єкти і оголошують речовими числами. Для них вводять основні арифметичні операції, визначають відношення порядку і доводять їх властивості.

Історично першими строгими визначеннями дійсного числа були саме конструктивні визначення. У 1872 році були опубліковані одночасно три роботи: теорія фундаментальних послідовностей Кантора, теорія Вейерштрасса (в сучасному варіанті - теорія нескінченних десяткових дробів) і теорія перерізів в області раціональних чисел Дедекинда [3] [13].


2.1. Теорія фундаментальних послідовностей Кантора

У даному підході дійсне число розглядається як межа послідовності раціональних чисел. Щоб послідовність раціональних чисел сходилася, на неї накладається умова Коші :

\ Forall \ varepsilon> 0 \; \ exists N (\ varepsilon): \; \ forall n> N (\ varepsilon) \; \ forall m> 0 \; | a_ {n + m} - a_n | <\ varepsilon

Сенс цієї умови полягає в тому, що члени послідовності, починаючи з деякого номера будуть лежати як завгодно близько один від одного. Послідовності, що задовольняють умові Коші, називаються фундаментальними.

Дійсне число, яке визначається фундаментальною послідовністю раціональних чисел {A n} , Позначимо [A n] .

Два дійсних числа

α = [a n] і β = [b n] ,

визначені відповідно фундаментальними послідовностями {A n} і {B n} , Називаються рівними, якщо

\ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (a_n - b_n \ right) = 0

Якщо дано два дійсних числа α = [a n] і β = [b n] , То їх сумою і твором називаються числа, визначені відповідно сумою і твором послідовностей {A n} і {B n} :

\ Alpha + \ beta \ overset {\ text {def }}{=} [a_n + b_n] \ qquad \ alpha \ cdot \ beta \ overset {\ text {def }}{=} [a_n \ cdot b_n]

Відношення порядку на множині дійсних чисел встановлюється за допомогою угоди, відповідно до якого число α = [a n] за визначенням більше числа β = [b n] , Тобто α> β , Якщо

\ Exists \ varepsilon> 0 \; \ exists N: \; \ forall n> N \; a_n \ geqslant b_n + \ varepsilon

Спосіб побудови безлічі дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей раціональних чисел є окремим випадком конструкції поповнення довільного метричного простору. Як і в загальному випадку, отримане в результаті поповнення безліч речових чисел саме вже є повним, тобто містить межі всіх фундаментальних послідовностей своїх елементів.


2.2. Теорія нескінченних десяткових дробів

Дійсне число визначається як нескінченна десяткова дріб, тобто вираз виду

\ Pm a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n \ ldots

де \ Pm є один із символів + або - , Званий знаком числа, a 0 - Ціле невід'ємне число, a_1, a_2, \ ldots a_n, \ ldots - Послідовність десяткових знаків, тобто елементів числового безлічі \ {0, 1, \ ldots 9 \} .

Нескінченна десяткова дріб інтерпретується як таке число, яке на числовій прямій лежить між раціональними точками виду

\ Pm a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n і \ Pm \ left (a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n + 10 ^ {-n} \ right) для всіх n = 0, 1, 2, \ ldots

Порівняння дійсних чисел у формі нескінченних десяткових дробів проводиться поразрядно. Наприклад, нехай дано два невід'ємних числа

\ Begin {matrix} \ alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n \ ldots \ \ \ beta & = + b_0, b_1 b_2 \ ldots b_n \ ldots \ end {matrix}

Якщо a 0 0 , То α <β ; Якщо a 0> b 0 то α> β . У разі рівності a 0 = b 0 переходять до порівняння наступного розряду. І так далі. Якщо \ Alpha \ neq \ beta , То після кінцевого числа кроків зустрінеться перший розряд n , Такий що a_n \ neq b_n . Якщо a n n , То α <β ; Якщо a n> b n то α> β .

Однак, при цьому слід враховувати, що кількість a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n (9) = a_0, a_1 a_2 \ ldots a_n + 10 ^ {-n} . Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, являє собою періодичну десяткову дріб, у якої в періоді коштує 9, то її слід замінити на еквівалентну запис, з нулем у періоді.

Арифметичні операції над нескінченними десятковими дробами визначаються як безперервне продовження [14] відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел α і β називається дійсне число α + β , Що задовольняє наступній умові:

\ Forall a ', a'', b', b''\ in \ mathbb {Q} \; (a '\ leqslant \ alpha \ leqslant a'') \ and (b' \ leqslant \ beta \ leqslant b ' ') \ Rightarrow (a' + b '\ leqslant \ alpha + \ beta \ leqslant a''+ b'')

Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.


2.3. Теорія перерізів в області раціональних чисел

У підході Дедекинда речові числа визначаються за допомогою перетинів у множині раціональних чисел.

Перетином у множині раціональних чисел \ Mathbb {Q} називається всяке розбиття сукупності всіх раціональних чисел на два непустих класу - нижній A і верхній A ' , Так що кожне число з нижнього класу строго менше всякого числа з верхнього:

\ Mathbb {Q} = A \ cup A '\ quad \ and \ quad A, A' \ neq \ varnothing \ quad \ and \ quad \ forall a \ in A, \ forall a '\ in A' \; (a <a ')

Якщо існує число α , Яке є максимальним в нижньому класі, або мінімальним у верхньому класі, то це число поділяє безлічі A і A ' : Числа нижнього і верхнього класів лежать по різні сторони від α . Кажуть також, що раціональне число α проводить дане перетин безлічі раціональних чисел.

Якщо ж в нижньому класі перетину немає максимального елемента, а у верхньому - мінімального, то не існує жодного раціонального числа, яке розділяло б безлічі A і A ' . У цьому випадку за визначенням вважають, що дане перетин визначає деякий ірраціональне число α , Яке знаходиться між нижнім і верхнім класами, і тим самим проводить дане розтин. Інакше кажучи, для всякого перерізу, не виробленого ніяким раціональним числом, вводять новий об'єкт - ірраціональне число, яке за визначенням більше всякого числа з нижнього класу і менше всякого числа з верхнього класу:

\ Forall a \ in A, \ forall a '\ in A' \; a <\ alpha <a '

Об'єднання всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел називають безліччю речовинних чисел, а його елементи - речовими числами.

Арифметичні операції над числами визначаються як безперервне продовження відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел α і β називається дійсне число α + β , Що задовольняє наступній умові:

\ Forall a ', a'', b', b''\ in \ mathbb {Q} \; (a '\ leqslant \ alpha \ leqslant a'') \ and (b' \ leqslant \ beta \ leqslant b ' ') \ Rightarrow (a' + b '\ leqslant \ alpha + \ beta \ leqslant a''+ b'')

3. Аксіоматичний підхід

Побудувати безліч дійсних чисел можна різними способами. В теорії Кантора речові числа - класи еквівалентних фундаментальних послідовностей раціональних чисел, в теорії Вейерштрасса - нескінченні десяткові дроби, в теорії Дедекинда - перерізу в області раціональних чисел. У всіх цих підходах в результаті ми отримуємо певну множину об'єктів (дійсних чисел), що володіють певними властивостями: їх можна складати, примножувати, порівнювати між собою. Більш того, якщо встановлені властивості цих об'єктів, ми можемо більше не апелювати до тих конкретним конструкціям, за допомогою яких вони були побудовані.

В математики важлива не конкретна природа об'єктів, а лише математичні співвідношення, що існують між ними.

Для людини, яка досліджує математичне поняття кількість елементів, байдуже, про що говорити - про три яблуках або про три камінні, і їх їстівність або неїстівне значення не має. У процесі відволікання від несуттєвих ознак, тобто абстрагування ( лат. abstractio - Відволікання), він приходить до того загального, що є у трьох яблук і трьох каменів - кількості елементів. Так виникає абстрактне поняття натурального числа. З цієї точки зору три яблука і три камені - дві конкретні реалізації, моделі абстрактного поняття "число три".

Точно так само класи фундаментальних послідовностей раціональних чисел, нескінченні десяткові дроби, перетину в області раціональних чисел є лише конкретними реалізаціями, моделями дійсного числа. А саме поняття дійсного числа визначається існуючими для нього математичними співвідношеннями. Коль скоро вони встановлені, визначено і поняття дійсного числа.

Тут доречно навести знаменитий вислів Д. Гільберта, основоположника системного аксіоматичного методу в математиці, який, маючи на увазі аксіоматизації геометрії, якось зауважив:

Слід домогтися того, щоб з рівним успіхом можна було говорити замість точок, прямих і площин про столи, стільці і пивних кухлях.
Давид Гільберт [15]

3.1. Аксіоматика дійсних чисел

Безліч \ R називається безліччю дійсних чисел, а його елементи - речовими числами, якщо виконаний наступний комплекс умов, званий аксіоматикою дійсних чисел:

3.1.1. Аксіоми поля

На безлічі \ R визначено відображення ( операція додавання)

+: \ R \ times \ R \ to \ R

зіставляє кожному впорядкованої парі елементів a, b з \ R певний елемент c з того ж безлічі \ R , Званий сумою a і b ( a + b еквівалентна запис елемента c безлічі \ R ).

Також, на безлічі \ R визначено відображення (операція множення)

\ Cdot: \ R \ times \ R \ to \ R

зіставляє кожному впорядкованої парі елементів a, b з \ R певний елемент a \ cdot b , Званий твором a і b .

При цьому мають місце такі властивості.

I 1. Комутативність складання. Для будь-яких a, b \ in \ R
a + b = b + a
I 2. Асоціативність додавання. Для будь-яких a, b \ in \ R
a + (b + c) = (a + b) + c
I 3. Існування нуля. Існує елемент 0 \ in \ R , Званий нулем, такий, що для будь-якого a \ in \ R
a + 0 = a
I 4. Існування протилежного елементу. Для будь-якого a \ in \ R існує елемент -A \ in \ R , Званий протилежним до a , Такий, що
a + (- a) = 0
I 5. Комутативність множення. Для будь-яких a, b \ in \ R
a \ cdot b = b \ cdot a
I 6. Асоціативність множення. Для будь-яких a, b \ in \ R
a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c
I 7. Існування одиниці. Існує елемент 1 \ in R , Званий одиницею, такий, що для будь-якого a \ in R
a \ cdot 1 = a
I 8. Існування зворотного елементу. Для будь-якого a \ in \ R, a \ neq 0 існує елемент a ^ {-1} \ in \ R , Що позначається також 1 / a і званий зворотним до a , Такий, що
a \ cdot a ^ {-1} = 1
I 9. Дистрибутивний закон множення щодо складання. Для будь-яких a, b, c \ in \ R
a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c
I 10. Нетривіальність поля. Одиниця і нуль - різні елементи \ R :

1 \ neq 0


3.1.2. Аксіоми порядку

Між елементами \ R визначено ставлення \ Leqslant , Тобто для будь впорядкованої пари елементів a, b з \ R встановлено, виконується співвідношення a \ leqslant b чи ні. При цьому мають місце такі властивості.

II 1. Рефлексивність. Для будь-якого a \ in \ R

a \ leqslant a

II 2. Антисиметричність. Для будь-яких a, b \ in \ R

(A \ leqslant b) \ and (b \ leqslant a) \ Rightarrow (a = b)

II 3. Транзитивність. Для будь-яких a, b, c \ in \ R

(A \ leqslant b) \ and (b \ leqslant c) \ Rightarrow (a \ leqslant c)

II 4. Лінійна впорядкованість. Для будь-яких a, b \ in \ R

(A \ leqslant b) \ or (b \ leqslant a)

II 5. Зв'язок складання і порядку. Для будь-яких a, b, c \ in \ R

(A \ leqslant b) \ Rightarrow (a + c \ leqslant b + c)

II 6. Зв'язок множення і порядку. Для будь-яких a, b \ in \ R

(0 \ leqslant a) \ and (0 \ leqslant b) \ Rightarrow (0 \ leqslant a \ cdot b)


3.1.3. Аксіоми безперервності

III 1. Які б не були непорожні множини A \ subset \ mathbb {R} і B \ subset \ mathbb {R} , Такі що для будь-яких двох елементів a \ in A і b \ in B виконується нерівність a \ leqslant b , Існує таке число \ Xi \ in \ R , Що для всіх a \ in A і b \ in B має місце співвідношення
a \ leqslant \ xi \ leqslant b


Цих аксіом достатньо щоб строго вивести всі відомі властивості дійсних чисел [16].

Мовою сучасної алгебри аксіоми першої групи означають, що безліч \ R є полем. Аксіоми другої групи - що безліч \ R є лінійно впорядкованим безліччю ( II 1 - II 4 ), Причому відношення порядку погоджено зі структурою поля II 5 - II 6 . Безліч, що задовольняють аксіомам першої та другої групи, називаються впорядкованими полями. Нарешті, остання група, що складається з однієї аксіоми, стверджує, що безліч дійсних чисел має властивість безперервності, яке також називають повнотою. Резюмуючи, можна дати еквівалентне визначення безлічі дійсних чисел.

Визначення. Безліччю дійсних чисел називається безперервне упорядковане поле.


3.2. Несуперечність і категоричність аксіоматики

3.3. Інші системи аксіом дійсних чисел

Існують і інші способи аксіоматизації дійсних чисел. Наприклад, замість аксіоми безперервності III 1. можна використовувати будь-яке інше еквівалентну їй умову, або групу умов. Наприклад, у системі аксіом, запропонованої Гільбертом, аксіоми груп I і II , По суті, ті ж, що й у наведені вище, а замість аксіоми III 1 використовуються наступні дві умови:

III 1 '. Аксіома Архімеда. Нехай a> 0 [17] і b> 0 . Тоді елемент a можна повторити доданком стільки разів, щоб утворилася в результаті сума перевершила b :

a + a + \ ldots + a> b

III 2 '. Аксіома повноти (в сенсі Гільберта). Систему \ R неможливо розширити ні до якої системи \ R ^ {*} , Так щоб при збереженні колишніх співвідношень між елементами \ R , Для \ R ^ {*} виконувалися б усі аксіоми I - II , III 1 '. .

Таким чином, можна дати наступне еквівалентне визначення:

Визначення. Безліч дійсних чисел є максимальне архимедова упорядковане поле

В якості іншого прикладу аксіоматизації дійсних чисел можна привести аксіоматику Тарського (англ.), що складається всього з 8 аксіом.


4. Властивості

4.1. Зв'язок з раціональними числами

Очевидно, що на числової прямої раціональні числа розташовуються упереміш з речовими, причому безліч речових чисел у відомому сенсі "щільніше" безлічі раціональних. Виникає закономірне питання, наскільки часто на числовій прямій трапляються раціональні і дійсні числа і чи можна одні числа наблизити іншими. Відповідь на це питання дають три леми, засновані, в основному, на аксіомі Архімеда. [18]

Лемма 1. Для будь-якого дійсного числа і будь-якого наперед взятого позитивного раціонального відстані знайдеться пара раціональних чисел, віддалених один від одного менше, ніж на цю відстань, таких що дійсне число лежить на відрізку між цими раціональними числами.

\ Forall a \ in \ mathbb {R} ~ \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ + ~ \ exists q_1, q_2 \ in \ mathbb {Q}: ~ (q_1 \ leq a \ leq q_2) \ land (q_2 - q_1 <\ varepsilon)

Ця лема говорить про те, що будь-дійсне число можна із заданою точністю з двох сторін наблизити раціональними числами.

Лемма 2. Між будь-якими двома різними числами міститься раціональне число.

\ Forall a, b \ in \ mathbb {R}: ~ a \ neq b ~ \ exists q \ in \ mathbb {Q}: a <q <b

Очевидним наслідком з цієї леми є той факт, що між будь-якими двома незбіжними речовими числами міститься ціле безліч раціональних. Крім того, ще більш очевидно, що між будь-якими двома різними раціональними числами міститься речовий.

Лемма 3. Наближення дійсного числа раціональними, описане в лемі 1, ідентифікує дійсне число єдиним чином.

(\ Forall a, b \ in \ mathbb {R} ~ \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ + ~ \ exists q_1, q_2 \ in \ mathbb {Q}: ~ (q_1 \ leq a \ leq q_2 ) \ land (q_1 \ leq b \ leq q_2) \ land (q_2 - q_1 <\ varepsilon)) \ Rightarrow a = b

Ці леми передусім говорять про те, що безліч дійсних чисел не таке "щільне" у порівнянні з безліччю раціональних чисел, як може здатися. Особливо яскраво це ілюструє лема 2. Всі три леми активно використовуються для доказу різних теорем, пов'язаних з операціями додавання і множення дійсних чисел.


4.2. Теоретико-множинні властивості

Спочатку речові числа були природним узагальненням раціональних, але у них вперше було виявлено властивість незліченну, яке говорить про те, що безліч дійсних чисел не можна занумерувати, тобто не існує біекціі між множинами речових та натуральних чисел. Щоб показати незліченну всієї множини дійсних чисел, досить показати незліченну інтервалу \ Left (0, 1 \ right) . [18]

Нехай всі числа зазначеного проміжку вже занумеровані деяким чином. Тоді їх можна виписати в наступному вигляді:

x_1 = 0, a_ {11} a_ {12} \ cdots a_ {1m} \ cdots
x_2 = 0, a_ {21} a_ {22} \ cdots a_ {2m} \ cdots
\ Cdots
x_k = 0, a_ {k1} a_ {k2} \ cdots a_ {km} \ cdots
\ Cdots

Тут a i j - j цифра i -Ого числа. Очевидно, що всі числа зазначеного виду дійсно належать розглядався проміжку, якщо тільки в кожному числі не всі цифри відразу є нулями або дев'ятками.

Далі пропонується розглянути наступне число:

x = 0, d_1 d_2 \ cdots d_m \ cdots

Нехай кожна цифра d i цього числа задовольняє наступним трьом властивостям:

  • d_i \ neq 0
  • d_i \ neq 9
  • d_i \ neq a_ {ii}

Таке число дійсно існує на зазначеному проміжку, так як воно є речовим, не збігається ні з нулем, ні з одиницею, а десяткових цифр достатньо, щоб третя властивість виконувалося. Крім цього, x цікаво тим фактом, що воно не збігається з жодним із чисел x j , Виписаних вище, адже інакше j -Я цифра числа x збіглася б з j -Ой цифрою числа x j . Прийшли до суперечності, що полягає в тому, що як би числа розглянутого проміжку не були пронумеровані, все одно знайдеться число з цього ж проміжку, якому не присвоєно номер. [18]

Це свідчить про те, що безліч дійсних чисел не є рахунковим. Його потужність називається потужністю континууму.


5. Узагальнення дійсних чисел

Поле дійсних чисел \ Mathbb {R} постійно служило в математиці джерелом узагальнень, причому в різних практично важливих напрямках. Безпосередньо до поля \ Mathbb {R} примикають наступні варіанти узагальнених числових систем.

  1. Комплексні числа. Особливо плідними в алгебри і аналізі.
  2. Інтервальні числа. Використовуються переважно в теорії наближених обчислень і в теорії ймовірностей.
  3. Нестандартний аналіз, який додає до речових числах нескінченно малі та нескінченно великі числа (різних порядків).

6. Прикладні застосування

Математична модель дійсних чисел повсюдно застосовується в науці і техніці для вимірювання безупинно мінливих величин. Однак це не головне її застосування, тому що реально виміряні величини завжди мають кінцеве число десяткових знаків, тобто є раціональними числами. Основне призначення цієї моделі - служити базою для аналітичних методів дослідження. Величезний успіх цих методів за останні три століття показав, що модель дійсних чисел в більшості випадків досить адекватно відображає структуру безперервних фізичних величин.

Сказане, звичайно, не означає, що речова числова пряма є точний образ реальної безперервної величини. Наприклад, сучасній науці поки не відомо, дискретні чи простір і час або подільні необмежено, а проте навіть у другому випадку модель дійсних чисел для цих величин повинна розглядатися як наближена, оскільки поняття точки простору і моменту часу являють собою ідеалізації, не мають реального аналога. Цей фундаментальний питання широко обговорюється в науці, починаючи з апорій Зенона. Наближеною ця модель є і в застосуванні до величин, які в класичної фізики розглядалися як безперервні, але насправді виявилися дискретними (квантуемого).


7. Примітки

  1. Назви дійсне число дійсне число рівнозначні. Історично в Московській математичній школі використовували термін дійсне число, а в Ленінградській - дійсне число. Як приклад можна навести дві класичні роботи:
    • Лузін, Н. М. Теорія функцій дійсного змінного. (Московська школа)
    • Натансон, І. П. Теорія функцій дійсної змінної. (Ленінградська школа)
    У сучасних університетських підручниках вживаються обидва терміни:
    • Зорич В. А. Математичний аналіз. ( МДУ, мехмат) - дійсне число
    • Ільїн В. А., Позняк В. Г. Основи математичного аналізу. ( МДУ, фізфак) - дійсне число
    • Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу. ( МФТІ) - дійсне число
    • Фіхтенгольц, Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення. ( СПбДУ) - дійсне число
  2. Див Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу - Т. 1. - С. 35-36. , А також Бурбаки Н. Нариси з історії математики - С. 146.
  3. 1 2 3 Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи та лабіринти. Нариси з історії математики - С. 287-289.
  4. Бурбаки Н.. Архітектура математики. Нариси з історії математики - С. 147.
  5. Історія математики - Т. I. - С. 96-101.
  6. 1 2 Бурбаки Н.. Архітектура математики. Нариси з історії математики - С. 150-151.
  7. Історія математики - Т. I. - С. 190-191, 304-305.
  8. Історія математики - Т. II. - С. 35.
  9. Бурбаки Н.. Архітектура математики. Нариси з історії математики - С. 154.
  10. Хрестоматія з історії математики. Математичний аналіз. Теорія ймовірностей / Под ред. А. П. Юшкевича - М .: Просвещение, 1977. - С. 171-178. - 224 с.
  11. Бернард Больцано. Парадокси нескінченного. - bbi-math.narod.ru/bolzano/p0000.html
  12. Рихлік Карел. Теорія дійсних чисел в рукописному спадщині Больцано / / ІМІ, 1958. № 11. С. 515-532.
  13. Рибніков К. А. Історія математики - Т. 2. - С. 196.
  14. Оскільки на безлічі дійсних чисел вже введено відношення лінійного порядку, то ми можемо визначити топологію числової прямої: як відкритих множин візьмемо всілякі об'єднання інтервалів виду {X: α <β}
  15. Рід К. Гільберт - С. 79.
  16. Див Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу Т. 1.
  17. (A> 0) \; \ overset {\ text {def}} {\ Leftrightarrow} \; (a \ geqslant 0) \ and (a \ neq 0)
  18. 1 2 3 В. А. Ільїн , В. А. Садовничий , Бл.Х. Сенд . Глава 2. Речові всіх / / Математичний аналіз - sci-lib.com/book000401.html / Під ред. А. Н. Тихонова - 3-е изд. , Перераб. і доп. - М .: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 44 - 45, 63 - 64. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7.

Література

9.1. Використана література

  • Арнольд І. В. Теоретична арифметика - М .: Учпедгиз, 1938.
  • Бурбаки Н. Нариси з історії математики / пров. з франц. І. Г. Башмакова під ред. К. А. Рибникова - М .: Видавництво іноземної літератури, 1963.
  • Гільберт Д. Підстави геометрії = Grundlagen der Geometrie / пер. з 7-го німецького видання І. С. Градштейна під ред. П. К. Рашевського - М.-Л.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1948.
  • Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи та лабіринти. Нариси з історії математики - Пер. з франц .. - М .: СВІТ, 1986. - 432 с.
  • Зорич В. А. Математичний аналіз. Частина I - 4-е изд., Испр .. - М .: МЦНМО, 2002. - XVI +664 с. - ISBN 5-94057-056-9.
  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу: В 2-х ч. Частина I - 7-е изд .. - М .: Физматлит, 2005. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1.
  • Історія математики з найдавніших часів до початку XIX століття. У трьох томах / під ред. Юшкевича - М .: НАУКА, 1970. - Т. 1.
  • Кантор Г. Праці з теорії множин / під ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведєв, А. П. Юшкевич, - М .: НАУКА, 1985. - (Класики науки).
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рід К. Гільберт / пер. з англ. І. В. Долгачева під ред. Р. В. Гамкрелідзе - М .: НАУКА, 1977.
  • Рибніков К. А. Історія математики - М .: Видавництво Московського університету, 1963. - Т. 2.
  • Тер-Крікоров А. М., Шабунін М. І. Курс математичного аналізу - 3-е изд., Виправлю .. - М .: Физматлит, 2001. - 672 с. - ISBN 5-9221-0008-4.
  • Фіхтенгольц Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: Физматлит, 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

9.1.2. Рекомендовано література

Тим, хто цікавиться історією становлення поняття дійсного числа, можна порекомендувати наступні дві книги:

  • Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи та лабіринти. Нариси з історії математики.
  • Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М.: Наука.

Прекрасне докладний виклад теорії побудови дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей, а також теорії побудови дійсних чисел за допомогою перерізів в області раціональних чисел можна знайти в такій:

Бажаючим ознайомитись з оригінальним ходом думки самого Р. Дедекинда можна порекомендувати ту саму брошуру, в якій у 1872 році Дедекинда виклав свою теорію дійсного числа. Ця книжка на сьогоднішній день залишається одним з найкращих і доступних викладів предмета. Є російський переклад:

Також прекрасне виклад теорії Дедекинда мається на класичному підручнику

  • Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: Физматлит, 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

Побудова теорії дійсного числа за допомогою нескінченних десяткових дробів можна знайти в книгах

  • Тер-Крікоров А. М., Шабунін М. І. Курс математичного аналізу.
  • Ільїн В. А., познако Е. Г. Основи математичного аналізу: В 2-х ч. Частина I.

Аксіоматичне виклад теорії дійсного числа можна знайти в книгах

  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: Дрофа, 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
  • Зорич, В. А. Математичний аналіз. Частина I - Вид. 4-е, испр .. - М .: "МЦНМО", 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

Сутність аксіоматичного методу і його порівняння з конструктивним підходом викладені Д. Гільбертом на кількох сторінках у Додатку VI. Про поняття числа в наступному виданні класичної роботи

  • Гільберт Д. Підстави геометрії = Grundlagen der Geometrie - пер. з 7-го німецького видання І. С. Градштейна під ред. П. К. Рашевського. - М.-Л.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1948.
1, \; 2, \; \ ldotsНатуральні числа
0, \; 1, \; -1, \; \ ldotsЦілі числа
1, \; -1, \; \ frac {1} {2}, \; \ frac {2} {3}, \; 0 {,} 12, \; \ ldotsРаціональні числа
1, \; -1, \; \ frac {1} {2}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; \ sqrt {2}, \; \ ldots Речові числа
-1, \; \ Frac {1} {2}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; 3i +2, \; e ^ {i \ pi / 3}, \; \ ldotsКомплексні числа
1, \; i, \; j, \; k, \; \ pi j-\ frac {1} {2} k, \; \ dotsКватерніони
Числові системи
Рахункові
безлічі
Натуральні числа ( \ Scriptstyle \ mathbb {N} ) Цілі ( \ Scriptstyle \ mathbb {Z} ) Раціональні ( \ Scriptstyle \ mathbb {Q} ) Алгебраїчні ( \ Scriptstyle \ overline {\ mathbb {Q}} ) Періоди Вичіслімих
Речові числа
та їх розширення
Речові ( \ Scriptstyle \ mathbb {R} ) Комплексні ( \ Scriptstyle \ mathbb {C} ) Кватерніони ( \ Scriptstyle \ mathbb {H} ) Числа Келі (октави, октоніони) ( \ Scriptstyle \ mathbb {O} ) Седеніони ( \ Scriptstyle \ mathbb {S} ) Процедура Келі-Діксона (en) Дуальні Гіперкомплексні Superreal number (англ.) Hyperreal number (англ.) Surreal number (англ.)
Інші
числові системи
Кардинальні числа Порядкові числа (трансфінітних, ордінал) p-адіческіе Супернатуральние числа
Див також Подвійні числа Ірраціональні числа Трансцендентні Числовий промінь


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
80 (число)
e (число)
31 (число)
-1 (Число)
60 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru