Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ділення (математика)



План:


Введення

20:4 = 5

Ділення (операція ділення) - одне з чотирьох найпростіших арифметичних дій, зворотне множенню. Поділ - це така операція, в результаті якої виходить число (приватне), яке при множенні на дільник дає ділене. Існує кілька символів, що використовуються для позначення оператора поділу.

Приблизно так, як множення замінює неодноразово повторене складання, ділення замінює неодноразово повторене віднімання.

Розглянемо, наприклад, таке питання:

Скільки разів 3 міститься в 14?

Повторюючи операцію віднімання 3 з 14, ми знаходимо, що 3 "входить" в 14 чотири рази, і ще "залишається" число 2.

У цьому випадку число 14 називається діленим, число 3 - дільником, число 4 - (Неповним) приватним і число 2 - залишком (від ділення).

Результат ділення також називають ставленням.


1. Розподіл натуральних чисел

Кільце цілих чисел не замкнуто щодо поділу. Простою мовою це означає те, що результат ділення одного цілого числа на інше може бути не цілим. У випадку, якщо все-таки результат є цілим числом, кажуть про поділ без залишку.

Ділення чисел здавна вважалося найважчою з арифметичних операцій. В Середні століття "секрет" поділу знало не дуже багато присвячених людей. Відбувалося це тому, що існуючі алгоритми поділу були дуже громіздкі, складні для виконання і запам'ятовування (наприклад, поділ у вигляді корабля (Англ.) ). Поява ділення стовпчиком радикально змінило цю ситуацію - тепер поділ входить в ранню шкільну програму з математики поряд з іншими арифметичними діями. Однак так само, як і у випадку з множенням (див. швидке множення), останнім часом відкриті більш ефективні алгоритми (див. en: Division (digital), що застосовуються в обчислювальній техніці.

Існують правила, що дозволяють швидко визначити, чи ділиться число на заданий дільник без залишку ( ознаки подільності). Найбільш відомі ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 і їх похідні, також існує ознаки подільності на 7, 13, 1001 та інші числа.

Ціле число, на яке одночасно діляться без залишку кілька чисел, називається їхнім спільним дільником.

Визначення кількості дільників натурального числа призводить до двох важливих понять: складене і просте число. У простого числа є рівно два різних дільника - 1 і саме число. У складених чисел різних дільників більше двох. 1 не є ні складовим, ні простим числом.

У випадку, якщо одне натуральне число не ділиться на інше без залишку, можна говорити про розподіл із залишком. Розгляд залишків, їх порівняння і формалізація у вигляді відрахувань призвели до цілої науці - теорії чисел.

Зазвичай на залишок накладаються наступні обмеження (щоб він був коректно, тобто однозначно, визначений):

a = p \ cdot q + r . 0 \ leqslant r <| p | .

Де a - Ділене, p - Дільник, q - Приватне і r - Залишок.


2. Розподіл цілих чисел

Розподіл довільних цілих чисел неістотно відрізняється від ділення натуральних чисел - досить поділити їх модулі і врахувати правило знаків.

Однак поділ цілих чисел із залишком визначається неоднозначно. В одному випадку, (так само як і без залишку) розглядають спочатку модулі і в результаті залишок набуває той же знак, що дільник або ділене (наприклад, - 7 / (- 3) = 2 із залишком (-1)); в іншому випадку поняття залишку безпосередньо узагальнюється та Обмеження запозичуються з натуральних чисел:

-7 \ Equiv 2 \ pmod 3 .

3. Ділення раціональних чисел

Замикання безлічі цілих чисел по операції ділення призводить до розширення його до безлічі раціональних чисел. Це призводить до того, що результатом ділення одного цілого числа на інше завжди є раціональне число. Більше того, отримані числа (раціональні) вже повністю підтримують операцію ділення (замкнуті щодо неї).

Правило ділення звичайних дробів: \ Frac {a} {b}: \ frac {c} {d} = \ frac {a \ cdot d} {b \ cdot c} = \ frac {ad} {bc}


4. Розподіл дійсних чисел

Розподіл також замкнуто в поле ненульових дійсних чисел. Дедекіндово перетин дозволяє однозначно визначити результат ділення.

5. Розподіл комплексних чисел

Комплексні числа знову замкнуті щодо операції поділу.

  • В алгебраїчній формі результат можна отримати шляхом домноженія на поєднане число:
. Результат визначений для всіх c + di \ neq 0 = 0 +0 i
  • У експоненційної формі найлегше отримати результат:
\ Frac {r_1 e ^ {i \ varphi_1}} {r_2 e ^ {i \ varphi_2}} = \ frac {r_1} {r_2} e ^ {i (\ varphi_1-\ varphi_2)} . Видно, що при цьому модулі діляться, а аргументи віднімаються.
  • Аналогічно в тригонометричній формі:
\ Frac {r_1 (\ cos \ varphi_1 + i \ sin \ varphi_1)} {r_2 (\ cos \ varphi_2 + i \ sin \ varphi_2)} = \ frac {r_1} {r_2} (\ cos (\ varphi_1-\ varphi_2 ) + i \ sin (\ varphi_1-\ varphi_2)) .

6. Розподіл в алгебрі

На відміну від простих арифметичних випадків на довільних множинах і структурах розподіл може бути не тільки не визначено, але й володіти множинністю результату.

Зазвичай в алгебрі розподіл вводиться через поняття одиничного і зворотного елементів. Якщо одиничний елемент вводиться однозначним чином (зазвичай аксіоматично або за визначенням), то зворотний елемент часто може бути як лівим ( x - 1 * x = e ), Так і правим ( x * x - 1 = e ). Ці два зворотних елемента можуть окремо існувати або не існувати, дорівнювати або не дорівнювати один одному.

Приміром, відношення матриць визначається через обернену матрицю, при цьому навіть для квадратних матриць може бути:

B ^ {-1} \ cdot A \ neq A \ cdot B ^ {-1} .

Ставлення тензорів в загальному випадку не визначено.


7. Розподіл многочленів

У загальних рисах воно повторює ідеї поділу натуральних чисел, бо натуральне число є не що інше, як значення многочлена, у якого коефіцієнти - цифри, а замість змінної варто підставу системи числення:

5334_8 = 5 \ cdot 8 ^ 3 + 3 \ cdot 8 ^ 2 + 3 \ cdot 8 ^ 1 + 4 \ cdot 8 ^ 0 = \ left. (5x ^ 3 +3 x ^ 2 +3 x +4) \ right | _ {x = 8} .

Тому аналогічно визначаються: приватне, дільник, ділене і залишок (з тією лише різницею, що обмеження накладається на ступінь залишку). Тому до поділу многочленів також застосовується поділ стовпчиком.

Відмінність же полягає в тому, що при розподілі многочленів основний упор робиться на ступені діленого і дільника, а не на коефіцієнти. Тому зазвичай вважається, що приватне і дільник (а отже і залишок) визначені з точністю до постійного множника.


8. Поділ на нуль

За правилами стандартної арифметики поділ на число 0 заборонено. Інша справа - розподіл на нескінченно малу функцію або послідовність. Розподіл кінцевих функцій на нескінченно малі призводить до появи нескінченно великих, а відношення двох нескінченно малих називається невизначеністю 0 / 0, яку можна перетворити (див. розкриття невизначеностей) з тим, щоб отримати певний результат.

Як випливає з визначення операції ділення, результатом операції 0:0 може вважатися будь-яке дійсне число, таким чином, значення операції 0:0 невизначено. Це не відповідає стандартному визначенню бінарної операції, згідно з яким результатом операції з двома числами може бути тільки єдине значення.

Операції ділення ненульового числа на нуль не відповідає ніяке дійсне число.
Результат цієї операції вважається нескінченно великим і рівним нескінченності :
a: 0 = \ infty , Де a \ neq 0
Сенс цього виразу полягає з тому, що якщо дільник наближається до нуля, а ділене залишається рівним a або наближається до нього, то приватне необмежено збільшується (по модулю).
Оскільки нескінченність не є дійсним числом, то така операція виходить за межі алгебри дійсних чисел, якщо бінарна операція в ній визначається як R \ times R \ to R .

.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Спонтанне ділення
Ритмічне ділення
Ділення на нуль
Знак ділення
Залишок від ділення
Поштове ділення Москви
Поштове ділення Росії
Поштове ділення України
Ділення многочленів стовпчиком
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru