Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дія групи



План:


Введення

Обертання на кути кратні 120 навколо центру рівностороннього трикутника діє на множині вершин цього трикутника, циклічно переставляючи їх.

Дія групи на деякій множині об'єктів дозволяє вивчати симетрії цих об'єктів за допомогою апарату теорії груп.


1. Визначення

1.1. Дія зліва

Кажуть, що група G діє зліва на безлічі M , Якщо задано гомоморфізм \ Phi: G \ to S (M) з групи G в симметрическую групу S (M) безлічі M . Для стислості (g)) (m) часто записують як g m або g. m . Елементи групи G називаються в цьому випадку перетвореннями, а сама група G - Групою перетворень безлічі M .

Іншими словами, група G діє на множині M , Якщо поставлено відображення G \ times M \ to M . позначуване (G, m) = g m , Таке що

  1. (G h) m = g (h m) для всіх g, \; h \ in G , m \ in M і
  2. e m = m , Де e - Нейтральний елемент групи G . Можна сказати, що одиниця групи співвідносить кожному елементу M його ж; таке перетворення називається тотожним.

1.2. Дія справа

Аналогічно, праве дію групи G на M задається гомоморфізмом \ Rho: G ^ {op} \ to S (M) , Де G o p - інверсна група групи G . При цьому часто використовують скорочену нотацію: ρ (g) m =: x g . При цьому аксіоми гомоморфізму записуються таким чином:

  1. m (g h) = (m g) h,
  2. m e = m.

1.3. Коментарі

  • Будь праве дію групи G - Це ліве дію групи G o p . Також, так як кожна група ізоморфна своєї інверсної групі (изоморфизмом є, наприклад, відображення g \ mapsto g ^ {-1} ), То з кожного правого дії можна за допомогою такого ізоморфізму отримати ліве дію. Тому, як правило, досліджуються тільки ліві дії.
  • Якщо безліч M забезпечено якоїсь додаткової структурою то звичайно передбачається, що кожне відображення m \ mapsto gm зберігає цю структуру.
    • Наприклад якщо M топологічний простір, то m \ mapsto gm передбачається безперервним (а значить автоморфізмом). Більш правильно в цьому випадку говорити про безперервній дії.

2. Типи дій

  • Вільне, якщо для будь-яких різних g, \; h \ in G і будь-якого m \ in M виконується gm \ ne hm .
  • Транзитивне якщо для будь-яких m, \; n \ in M існує g \ in G такий, що g m = n . Іншими словами, дія транзитивній, якщо G m = M для будь-якого елемента m \ in M .
  • Ефективне, якщо для будь-яких g, \; h \ in G існує m \ in M такий, що gm \ ne hm .

На топологічних просторах і гладких многообразиях також особливо розглядають дії груп, наділених відповідними додатковими структурами: топологічних груп і груп Лі. Дія \ Rho: G \ to \ mathrm {X} топологічної групи на топологічному просторі називають безперервним, якщо воно безперервно як відображення двох топологічних просторів. Аналогічно визначається гладке дію групи Лі на гладкому різноманітті.


3. Орбіти

Підмножина

Gm = \ {gm \ mid g \ in G \} \ subset M

називається орбітою елемента m \ in M .

Дія групи G на множині M визначає на ньому відношення еквівалентності

\ Forall n, \; m \ in M ​​\; (n \ sim_G m) \ Longleftrightarrow (\ exists g \ in G \; gn = m) \ Longleftrightarrow (Gn = Gm).

При цьому класами еквівалентності є орбіти елементів. Тому, якщо загальна кількість класів еквівалентності одно k , То

M = Gm_1 \ sqcup Gm_2 \ sqcup \ ldots \ sqcup Gm_k,

де m_1, \; m_2, \; \ ldots, \; m_k \ in M попарно нееквівалентний. Для транзитивного дії k = 1 .


3.1. Стабілізатори

Підмножина

G_m = \ {g \ in G \ mid gm = m \} \ subset G

є підгрупою групи G і називається стабілізатором або стаціонарної підгрупою елемента m \ in M .

Стабілізатори елементів однієї орбіти пов'язані, тобто якщо n ~ G m , То знайдеться такий елемент g \ in G , Що

G m = g G n g - 1.

3.2. Кількість елементів в орбіті

| G m | = [G: G m] , G m - Стабілізатор елемента m і [G: G m] - індекс підгрупи G_m \ subset G , У разі кінцевих груп дорівнює \ Frac {| G |} {| G_m |} .

Якщо M = Gm_1 \ sqcup Gm_2 \ sqcup \ ldots \ sqcup Gm_k , То

| M | = \ sum_ {t = 1} ^ k [G: G_ {m_t}] - Формула розкладання на орбіти.

Ця формула також спричиняє такі тотожності:

  1. \ Forall m \ in M ​​\; \ sum_ {n \ in Gm} | G_n | = | G |;
  2. \ Sum_ {m \ in M} | G_m | = k | G |;
  3. лема Бернсайда.

4. Приклади дій

4.1. Дії на собі

4.1.1. Зліва

Дія на собі зліва є найбільш простим прикладом дії, в цьому випадку, M = G і гомоморфізм \ Phi: G \ to S (G) заданий як (g)) (h) = g h .

4.1.2. Праворуч

Аналогічно визначається дію на собі праворуч, (g)) (h) = h g - 1 .

4.1.3. Ліворуч і праворуч

Ці дві дії є діями підгруп прямого твори G \ times G на M = G з гомоморфізмом \ Phi: G \ times G \ to S (G) заданим як (\ Phi (g_1, \; g_2)) (h) = g_1hg_2 ^ {-1} .

4.1.4. Сполученнями

Нехай M = G і гомоморфізм \ Phi: G \ to S (G) заданий як (g)) (h) = g h g - 1 . При цьому для кожного елемента h \ in G стабілізатор G h збігається з централізаторів C (h) :

G_h = \ {g \ in G \ mid ghg ^ {-1} = h \} = \ {g \ in G \ mid gh = hg \} = C (h).

Наприклад, для елемента h з центру групи G (Тобто h \ in Z (G) ) Маємо C (m) = G і G h = G .


5. Варіації і узагальнення

Література

  • Винберг, Е. Б. Курс алгебри - 3-е изд. - М .: Видавництво "Факторіал Пресс", 2002. - ISBN 5-88688-0607. .
  • Кострикін, А. І. Введення в алгебру. Частина III. Основні структури - 3-е изд. - М .: Физматлит, 2004. - 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6. .

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дія
Тератогенна дія
Соціальна дія
Революційна дія
Пряма дія (Франція)
Дія (фізична величина)
Пряма дія (теорія)
Групи Google
Завдання групи
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru