Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Дія (фізична величина)



План:


Введення

Дія у фізиці - одна з найбільш фундаментальних фізичних величин, що входить в сучасну формулювання більшості основних фізичних теорій у всіх фундаментальних розділах фізики, що має при цьому і величезна технічне значення в теоретичній фізиці. Кілька менше значення може мати в порівняно більш прикладних областях, хоча і там нерідко буває споживані. Вживається також і в квантової, і в класичній, і в релятивістській фізиці.

Має фізичну розмірність енергія час = імпульс відстань, збігається з розмірністю моменту імпульсу. За фізичним змістом дія - фаза квантової "хвилі ймовірності", точніше - через інший розмірності в традиційних системах фізичних одиниць (у тому числі СІ) - пропорційна цій фазі: S = \ hbar \ phi - З постійним розмірним коефіцієнтом - константою Планка.

Якщо для якоїсь системи написано дію, то це в принципі визначає і її класичне поведінка (тобто поведінка системи в класичному наближенні), і її квантове поведінку. Перше - через принцип стаціонарного (найменшого) дії, друге - через Фейнмановськие інтеграл по траєкторіям. При цьому сама дія записується однаково, в одній і тій же формі, і для класичного і для квантового випадку, що робить його дуже зручним інструментом (для квантування через Фейнмановськие інтеграл в принципі треба знати тільки дія, визначене для звичайних класичних траєкторій, тобто, записане так само, як і для класичного застосування).


1. Термінологія

Історично термінологія досить сильно коливалася, але в даний час прийнято називати дією величину

S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot q, t) dt

або

S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ bigg (\ sum_i p_i \ dot q_i - H (q, p, t) \ bigg) dt ,

де t - Час, q = \ {q_1, q_2, \ dots, q_N \} - Повний набір координат, що характеризують динамічну систему (її конфігураційний простір), \ Dot q = \ {\ dot q_1, \ dot q_2, \ dots, \ dot q_N \} - Набір швидкостей (похідних q за часом), L - функція Лагранжа, що залежить від N координат, N швидкостей, і іноді ще явно від часу, у класичній механіці збігається з різницею кінетичної і потенційної енергій; H - функція Гамільтона, що представляє собою повну енергію системи, виражену через N координат, N сполучених їм імпульсів і іноді ще явно через час.

(Обидві величини в принципі збігаються, але по-різному виражені - перша відповідно до лагранжевих формалізмом, друга відповідно до Гамільтона).

Укороченим дією прийнято називати

S_0 = \ int \ limits_ {A} ^ {B} \ sum_i p_i d q_i = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sum_i p_i \ dot q_i dt = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ vec p \ cdot \ vec vdt ,

де позначення збігаються з використаними вище, а вираз в останньому інтегралі - скалярний добуток векторів імпульсу і швидкості, яке в разі однієї частинки можна розглядати в звичайному ньютонівському сенсі.

Взагалі в цьому пункті під q_i, \ dot q_i і p i маються на увазі узагальнені координати (не обов'язково збігаються з декартовими), що відповідають цим координатам узагальнені швидкості і канонічно зв'язані цим координатам імпульси. В окремому випадку вони можуть бути обрані у вигляді декартових координат, тоді (в механіці) відповідні імпульси являють собою звичайні компоненти векторних імпульсів матеріальних точок системи.

Для розподілених систем (наприклад, для полів або пружних суцільних середовищ) дія звичайно може бути записано так:

S = \ int \ mathcal L (q, \ dot q, x, t) dV dt

або

S = \ int \ bigg (\ sum_i p_i \ dot q_i - \ mathcal H (q, p, x, t) \ bigg) dV dt ,

де \ Mathcal L, \ mathcal H - Щільності функції Лагранжа і Гамільтона відповідно, x - точка простору, зайнятого середовищем або полем (часто - звичайного тривимірного простору), d V - Елемент обсягу цього простору, q i, p i - Значення узагальнених координат (наприклад, зсувів пружного середовища або - для поля - польовий змінної, такий, як, наприклад, електромагнітний потенціал) і узагальнених імпульсів для даної точки x розподіленої системи (середовища або поля). Інтегрування проводиться і по простору і за часом. Загальна кількість координат і імпульсів q i, p i , Що описують систему, як бачимо, в цьому випадку нескінченно, тому що звичайно їх кількість лише для одного x, а безліч самих x нескінченно.


2. Загальний огляд

З сучасної точки зору дія має сенс фази хвильової функції (правда, вираженої традиційно - для більш прямого зв'язку з класичною механікою - в інших одиницях, а конкретно S = \ hbar \ phi , Де S - Дія, φ - Фаза в радіанах, а \ Hbar - Універсальна постійна Планка).

Класична фізика (механіка і теорія поля) є високочастотним і короткохвильовим наближенням квантової, коли фази хвиль дуже великі ( S / \ hbar>> 1 ), Що означає, що за даних ("класичних") умовах експерименту (характерні розміри, характерні імпульси і характерні енергії розглянутої задачі) квантові поправки до класичної теорії будуть досить малі (на практиці найчастіше настільки малі, що експериментально не обнаружіми). У цьому випадку квантова задача в цілому сильно спрощується, переходячи в класичну, і можна користуватися принципом найменшої дії і / або рівнянням Гамільтона - Якобі, в яких дія продовжує грати ключову роль.

У квантовій фізиці ж - при вирішенні тієї ж задачі без умови S / \ hbar>> 1 , Дія грає особливо велику роль у формалізмі Фейнмановськие інтеграла по траєкторіях. Крім того, частина результатів теорії класичного поля досить прямо переноситься в певному сенсі на квантовий випадок, а оскільки дія є одним з найпростіших об'єктів, маніпулювання з ним (а насамперед саме написання дії для даної динамічної системи - поля, частки, що взаємодіють полів або часток , або інших об'єктів) часто є одним з ефективних інструментів при формулюванні квантової теорії різних полів, навіть якщо це не пов'язано з написанням інтеграла по траєкторіях і роботи з ним в явному вигляді.


3. Історія

Мопертюї в роботах 1740 (?), 1741 - 1746 рр.. вперше сформулював принцип найменшої дії для механіки і висловив думку про те, що це універсальний закон природи, проінтерпретувати й оптику ( принцип Ферма) в термінах дії (він використовував те, що зараз прийнято називати укороченим дією). Мопертюї був схильний до теологічної інтерпретації цього принципу, яке свідчило, на його думку, про певне досконало створеного Богом світу.

Ще за життя Мопертюї ці його роботи були підтримані і розвинені Ейлером, до того ж розробив варіаційне числення, що дозволяло найбільш ефективно реалізувати переваги принципу.

Потім Лагранж (в "Аналітичній механіці" ("Mcanique analytique"), опублікованої в 1788 р.) розвинув застосування принципу найменшої дії в механіці, використавши варіаційне числення та ввівши узагальнені координати. Також він виклав у 1795 р. метод невизначених множників, що дозволяє значно поліпшити використання принципу найменшої дії в задачах з зв'язками.

Todo: Гамільтон Якобі

Дія для швидко рухається ("релятивістської") частинки було виправлено (порівняно зі старим ньютоново-лагранжевих варіантом, район застосовності якого - руху, повільні в порівнянні зі швидкістю світла) на початку XX століття, вперше це зроблено явно, очевидно, Планком в 1907 [1], також у зв'язку з цим можна згадати роботи Минковского ( 1907) і Борна ( 1909) [2]. Воно прийняло для вільної точкової частинки вид інтервалу (довжини - власного часу - в просторі-часі Мінковського) вздовж світової лінії (просторово-часової траєкторії) частинки з протилежним знаком, замінивши звичайну ньютонівської вираження в механіці швидких частинок. Тому принцип найменшої дії для релятивістських частинок призводить до максимально можливий власним часу вздовж траєкторії.

В 1915 Гільберт, використавши варіаційний метод по відношенню до дії Ейнштейна-Гільберта, отримав вірні рівняння гравітаційного поля в загальної теорії відносності. При цьому, мабуть, вперше було в такій повноті використано перевагу простоти підходу, що виходить з написання із загальних міркувань скалярного (інваріантного) дії (явний вигляд якого заздалегідь не відомий), а потім - отримання рівнянь руху для поля (рівнянь поля) варіюванням цього функціонала .

На початку XX століття Планк, Бор, Зоммерфельд, Шварцшильд та інші використовували дію (зазвичай вкорочене дія) для ранньої формулювання квантової теорії, що є з сучасної точки зору таким собі варіантом квазікласичному наближення, що опинилася досить добре підходить для опису таких ключових завдань, як гармонійний осцилятор і атом з круговими і еліптичними орбітами електрона (принаймні, це стосується простого випадку - атома водню). Правило квантування, широко використовувалося на даному етапі розвитку квантової теорії, зводилося до квантування укороченого дії на замкнутих орбітах у відповідності до розділу

\ Oint \ sum p_i d q_i = n \ hbar або (в декартових координатах для однієї частки): \ Oint \ vec p \ cdot \ vec {dr} = n \ hbar .

Луї де Бройль (1923-1924 рр.). використовував такий формалізм для формулювання своїх тверджень про хвильову природу електрона і взагалі матеріальних частинок.

Помітну роль в обгрунтуванні сучасної форми квантової механіки (в сенсі з'ясування її співвідношення з класичною) зіграло має справу з дією як функцією координат і часу рівняння Гамільтона - Якобі, вже має форму, близьку до форми основного рівняння квантової механіки - рівняння Шредінгера - і є при цьому по суті його класичним межею.


Фейнман розробив у квантовій механіці метод інтегрування за траєкторіями ( 1938), переформулювати квантову механіку так, що в ній органічно використовувався класичний функціонал дії, а відмінність повного квантового опису від класичного зводилося до необхідності підсумувати величину e i S по всіх мислимих траєкторіями (а не тільки по одній класичної траєкторії або по близьких до неї). Цей формалізм є одним з найбільш популярних в сучасній теоретичній фізиці високих енергій, знаходячи програми (разом з технікою діаграм Фейнмана) та в інших галузях фізики, а також в чистій математиці. Згодом ( 1949) Фейнман розробив тісно пов'язаний з інтегруванням по траєкторіях, хоча і припускає переформулювання, не використовує явно цього підходу, метод діаграм Фейнмана, який став одним з основних у квантовій теорії поля і забезпечив один із шляхів подолання труднощів квантової електродинаміки, яка в результаті стала однією з найбільш точних фізичних теорій і стандартним зразком при побудові інших квантовополевих теорій.

Починаючи з другої половини XX століття був винайдений ряд узагальнень дії для точкової частинки, наприклад, в області теорії струн - дія Намбу - Гото (дія-площа) і дію Полякова.

На закінчення слід сказати, що в сучасних абстрактних областях теоретичної фізики дія є одним з основних інструментів формулювання конкретної теорії вже з початкового етапу. Наприклад, один із дуже поширених способів формулювання нової теорії зводиться до того, що для досліджуваної системи в першу чергу намагаються написати дію, обмежуючи можливі варіанти накладенням умов симетрії, і часто - ще міркуваннями простоти.


4. Дія в класичній механіці

Дія в класичній механіці записується в двох формах, в кінцевому підсумку еквівалентних:

лагранжевої:

S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot q, t) dt

або гамильтоновой:

S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ bigg (\ sum_i p_i \ dot q_i - H (q, p, t) \ bigg) dt .

(Про скороченому дії - див параграфі "Термінологія" вище).

Незважаючи на еквівалентність в кінцевому підсумку, лагранжевих і гамильтонова форма запису дії мають не співпадаючими технічними та ідейними перевагами. Кожна з них може вважатися основою для побудови (на основі принципу найменшої (чи стаціонарного) дії) відповідно лагранжевої і гамильтоновой форм механіки. А саме, здійснюючи пряме варіювання першої дії по кожному δ q i незалежно від інших - або - що еквівалентно - надіславши для цього функціонала рівняння Ейлера - Лагранжа, для другої ж форми - варіюючи незалежно по кожному δ q i і δ p i (Записавши рівняння Гамільтона), неважко отримати рівняння руху відповідно в лагранжевої і гамильтоновой формі. В окремому випадку використання декартових координат це будуть ньютонівські рівняння руху.

Проводячи висновок рівнянь руху з відповідним вибором координат (взагалі кажучи не декартових) і з використанням методу невизначених множників Лагранжа, неважко отримати в зручному вигляді і рівняння руху для систем зі зв'язками, іноді виключаючи з них реакції зв'язків (що може помітно спрощувати рівняння).

Слід зауважити, що при всій фундаментальній значимості концепція дії не покриває деяких випадків макроскопічної механіки, наприклад, не дозволяє написати дію в разі наявності довільних дисипативних сил, і відповідно не дозволяє скористатися для їх опису принципом найменшої дії.

Класичне дію - з сучасної точки зору - це величина, пропорційна фазі квантової хвильової функції відповідної частки або системи (по суті це і є фаза, тільки виміряна в інших одиницях, а проте коефіцієнт пропорційності всередині класичної механіки невідомий - це істотно квантова величина, з точки зору класичної механіки важливо тільки, що він дуже малий). Сама ж класична механіка є короткохвильовий межа квантової, і може бути отримана з неї переходом \ Hbar / S \ rightarrow 0 .


5. Дія для розподілених систем

Для механічних розподілених систем (наприклад, для пружних суцільних середовищ) дія звичайно може бути записано так:

S = \ int \ mathcal L (q, \ dot q, x, t) dV dt

або

S = \ int \ bigg (\ sum_i p_i \ dot q_i - \ mathcal H (q, p, x, t) \ bigg) dV dt ,

де d V - Елемент обсягу, тривимірний в разі опису полів у тривимірному просторі, \ Mathcal L, \ mathcal H - Щільності функції Лагранжа і функції Гамільтона, q, \ dot q і p - Польові змінні (наприклад, потенціали), відповідні швидкості \ Dot q = \ partial q / \ partial t і канонічно пов'язані імпульси. Кожна така польова змінна, швидкість і імпульс є функція q = q (x, y, z, t), \ dot q = \ dot q (x, y, z, t), p = p (x, y, z, t) "Просторових" змінних і часу, являючи собою, таким чином, нескінченновимірних (з урахуванням фізичного представлення про можливу атомної дискретизації розподіленої системи - просто дуже багатовимірний) вектор. Виділення окремої координати q_i \ in \ R зводиться до розкладання q за якимось базису (це може бути, наприклад, базис з дельта-функцій, що зводить все по суті до межі дискретної задачі, але, мабуть, ще частіше застосовується через свою зручність перетворення Фур'є).

Для немеханічних розподілених систем подібний запис можлива на базі аналогією з механічними. Зокрема, подібний спосіб працює для фундаментальних полів, формально також відповідних під визначення розподілених систем (хоча можна вважати і це лише аналогією, питання того чи іншого вибору тут - по суті термінологічний). Детально фундаментальні фізичні поля розглянуті в окремому параграфі, хоча звичайні розподілені системи, механічні особливо, дають загалом досить хороші моделі, що сприяють розумінню побудови динаміки цих полів і, зокрема, питань, пов'язаних з дією.

Приклади:

  • Для однорідного ізотропного суцільний лінійної (підкоряється закону Гука; в реальності це майже завжди передбачає обмеження застосовності моделі випадками малих деформацій) пружного середовища, що заповнює тривимірний простір або його область, можна в простому випадку записати дію як
S = \ int ({\ rho \ over 2} (\ dot u) ^ 2 - {E \ over 2} (\ nabla u) ^ 2) dx dy dz dt ,
де ρ = c o n s t - Щільність середовища, E = c o n s t - Модуль пружності, u = u (x, y, z, t) - Відхилення пружного середовища в даній точці в даний момент часу від умовного положення рівноваги - це розподілена узагальнена координата (в даній задачі це тривимірний вектор, але саме при сформульованих умовах можна розглядати кожну з його компонент окремо), \ Dot u - Швидкість зміни u згодом - розподілена швидкість, теж, звичайно, функція x, y, z, t. \ Nabla тут - оператор градієнта, який можна тут вважати застосовуваним окремо до кожної компоненті u, при додаванні потім квадратів трьох компонент.
Варіювання цього функціонала по u дає рівняння руху у вигляді звичайного хвильового рівняння незалежно для кожної компоненти u, тобто для u x, u y, u z .
Виписане дію легко може бути використано і для неоднорідного середовища, тобто для непостійних ρ і: E , Також воно прямо узагальнюється на анізотропні середовища з тензорним E . У всіх цих випадках рівняння руху середовища буде вже помітно відрізнятися від звичайного хвильового, але може бути практично настільки ж легко отримано варіюванням цієї дії.

6. Дія в класичній теорії поля

Дія в класичній теорії поля використовується для отримання рівнянь поля (як вільних, так і з джерелами) з принципу стаціонарного (найменшого) дії (варіюванням по польових змінним). Також воно використовується для отримання рівнянь руху частинок при взаємодії з даним полем, також через принцип стаціонарного (найменшого) дії, але варіюванням вже за координатами (а в гамильтоновой варіанті - і по імпульсах) часток.

Сам вид дії для поля (яке застосовується як в класичному, так і в квантовому сенсі) у загальному дуже схожий на вид дії для розподілених систем (зокрема, для механічних розподілених систем, таких, як струна, мембрана і т. п.). Це дозволяє встановити іноді пряму, іноді умовну, аналогію між тим і іншим випадком, хоча в деталях те й інше може помітно відрізнятися (так що пряма механічна аналогія можлива не завжди, а іноді її просто виявляється не дуже легко побудувати і використовувати).

Найчастіше (у разі лінійних полів або вивчення їх у лінійному наближенні) дія має досить простий вигляд і розпадається на три члена:

S = S f + S i n t + S s ,

де S f - "Дію вільного поля" - яке істотно для вивчення поведінки поля без його взаємодії з "речовиною" (іншими полями), S i n t - Член взаємодії, з якого виводиться дію "речовини" (інших полів) на цьому полі, S s - Дія для вільного "речовини" (інших полів), що визначає їхню поведінку під час відсутності даного поля, зокрема, такі властивості "речовини", як його інертність. Форма другого члена визначає в рівняннях поля члени, що представляють його джерело (і), і визначає дію даного поля на "речовина" (інші поля), наприклад, рівняння руху зарядженої частинки в даному полі (конкретніше, сили, що діють на неї) виводяться з S i n t і S s .

Однак для істотно нелінійних полів таке розбиття на три окремих доданків, взагалі кажучи, не вдається (і навіть при виокремлення лінійного наближення часто залишаються певного роду проблеми, хоча саме по собі воно часто буває осмислено і можливо). Наприклад, в загальної теорії відносності (та інших метричних теоріях гравітації) гравітаційне поле потрапляє в член, що стосується "речовини" (і негравітаціонних полів) у вигляді метрики, що входить в елемент обсягу і в коваріантний похідні. Цей факт забезпечує взаємодію гравітації з "речовиною", не вимагаючи окремого члена S i n t (Випадок так званої мінімальної зв'язку), і він же робить рівняння гравітаційного поля суттєво нелінійним. Інший приклад (правда, що відноситься до квантової теорії поля, але він має і аналогії в класичній): квантова електродинаміка - її лінійне наближення при розрахунку по теорії збурень у петльових діаграмах призводить до нескінченних безглуздим результатами, пов'язаних з дійсною неможливістю виділити голі (початковий, невзаємодіючі) поля зарядженої частинки і електромагнітного поля. Шляхом вирішення цієї проблеми стала програма перенорміровок, яка відновлює лагранжіан дійсних (взаємодіючих) полів.


6.1. Скалярний поле

Серед фундаментальних фізичних полів скалярні поля, хоча й присутні в теорії, але поки саме їх існування носить значною мірою гіпотетичний характер, а властивості, відповідно, досить погано відомі. Однак це самий простий випадок, до того ж, крім фундаментальних полів становлять інтерес такі макроскопічні поля, як, наприклад, поле тиску газу в акустиці, яке в разі малих (і гладких) відхилень від рівноваги може бути в даному разі прямо уподібнено абстрактного скалярному полю .

Найпростішим видом дії для скалярного поля φ , Провідним до лінійного рівняння поля, є вигляд:

S = S_f + S_ {int} + S_s = \ int \ frac {1} {\ alpha} (\ frac {1} {c ^ 2} (\ partial_t \ phi) ^ 2 - (\ nabla \ phi) ^ 2 - m ^ 2 \ phi ^ 2) dV dt + S_ {int} + S_s ,

(Записано у формі, що відповідає полю в тривимірному просторі; тут α - "Силова константа", c - Швидкість поширення хвиль поля φ , Яка для фундаментальних полів зазвичай - щоб не порушувався принцип відносності - покладається рівної швидкості світла, \ Nabla - Тривимірний градієнт, m - маса поля φ ( m = 0 для безмассових полів), d V - Елемент тривимірного обсягу). Як бачимо, S f Лоренц-інваріантної, і його дуже легко переписати в чотиривимірних позначеннях, в яких це ще більш очевидно.

Будучи проварьіровано по φ (Для вільного поля, тобто для S i n t = S s = 0 ), Ця дія дає рівняння Клейна - Гордона, а при m = 0 - хвильове рівняння. Випадок m 2 <0 дає варіант рівняння Клейна - Гордона для Тахіон скалярного поля, яке також може мати застосування в теорії (це поле з нестійким рівновагою при φ = 0 в нескінченному просторі або без накладення граничних умов, що призводять до стійкості).

  • Член взаємодії S i n t не будемо тут конкретизувати, так як ми не розглядаємо тут якесь конкретне скалярний поле і його взаємодію з чимось конкретним ще. Однак зауважимо, що якщо ми не хочемо порушення принципу відносності, цей член повинен бути також Лоренц-інваріантним (як і S f, S s ). Наприклад, для взаємодії з іншим скалярним полем u цей член може бути const \ cdot \ int \ phi u \, dV dt або const '\ cdot \ int (\ partial_i \ phi) (\ partial ^ iu) \, d ^ 4x або їх сумою і т. п.).

6.2. Електромагнітне поле

Стандартне дію для електромагнітного поля записується так

S = S f + S i n t + S s ,

де

S_f = - \ frac {1} {2 \ alpha} \ int F_ {ij} F ^ {ij} dx dy dz dt = \ frac {1} {\ alpha} \ int (E ^ 2 - H ^ 2) dx dy dz dt

- Дія для вільного поля ( F i j тут - тензор електромагнітного поля, α - Константа, що залежить від використовуваної системи одиниць, мається на увазі підсумовування за i, j по правилом Ейнштейна),

член взаємодії може бути записаний по-різному:

S_ {int} = - \ int A_i j ^ i dx dy dz dt

або

S_ {int} = - \ int q A_i u ^ id \ tau = - \ frac {1} {c} \ int q A_i dx ^ i = \ int (- q \ phi + q \ vec A \ cdot \ vec v / c) dt ,

(Перша форма зручна для виведення рівняння (рівнянь) поля (з джерелами), а друге - для виведення рівняння руху зарядженої частинки; тут A i - електромагнітний потенціал, q - Заряд частки, u i - 4-швидкість, d τ - Диференціал власного часу (інтервалу, діленого на c ), φ і \ Vec A - Електричний і тривимірний векторний потенціал, \ Vec v - Тривимірна швидкість, c - Швидкість світла, а d x i = (d x 0, d x 1, d x 2, d x 3) = (c d t, d x, d y, d z) - Чотиривимірні просторово-часові координати; для декількох часток слід взяти кілька членів такого виду - по одному для кожної),

S s - Дія для "речовини" (вільних частинок), яке разом з S i n t використовується для виведення рівнянь руху заряджених частинок. Для швидких ("релятивістських") часток (див. нижче) слід взяти (в нехтуванні спіном) дію
S_s = - \ int mc ^ 2 d \ tau = - \ int mc ^ 2 \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} dt ,

де m - Маса (маса спокою) частки, c - Швидкість світла, d τ - Диференціал власного часу (для декількох часток треба взяти суму кількох членів такого виду).

Якщо ж рух частинок повільне в порівнянні зі швидкістю світла і досить ньютоновского наближення, то можна взяти відповідне наближене дію, звичайне для класичної механіки:

S_s = \ int \ frac {m v ^ 2} {2} dt .

Найпростіше отримати рівняння Максвелла у формі

\ Partial_i F ^ {ik} = \ alpha j ^ k,

варіюючи записане вище дію по A i і використовуючи визначення F_ {ij} = \ partial_i A_j - \ partial_j A_i .

Варіюючи по x i , Отримують рівняння руху, які найпростіше виглядають в чотиривимірний формі:

d p ​​^ i / d \ tau = m d u ^ i / d \ tau = q F ^ i_j u ^ j ,

де права частина збігається зі звичайною силою Лоренца, яка може бути також записана (а при бажанні і отримана явно) і в тривимірному вигляді; тобто, в тривимірному вигляді рівняння руху буде таким:

\ Frac {d \ mathbf p} {dt} = q \ mathbf E + q \ \ mathbf v \ times \ mathbf B .

7. Релятивістське дію

Дія для електромагнітного поля (і його член для вільного поля, і член, що описує взяімодействіе з струмами) з самого початку Лоренц-інваріантної. Те ж можна сказати про дію для всіх фундаментальних полів, відомих в сучасних теоріях (кажучи кілька точніше - в загальновизнаних теоріях, які пройшли експериментальну перевірку).

Однак дія класичної (ньютонівської) механіки, не важливо, в якій формі воно записано, гамильтоновой або лагранжевої, не володіє властивістю Лоренц-інваріантності. Історично в певний момент (на межі XIX і XX століть) виникла необхідність привести механіку у відповідність із принципом відносності, а значить, зробити її Лоренц-коваріантний. Найпростіший шлях для цього - написати для частинки ("матеріальної точки") така дія, яка б було Лоренц-інваріантним, а потім звичайною процедурою варіювання отримати з нього рівняння руху, який буде вже Лоренц-коваріантний (приблизно, при повільних рухів, така механіка повинна збігатися з ньютонівської, тому що та добре перевірена для малих швидкостей).

Найпростіше дію для вільної частинки, яке можна запропонувати, виходячи з геометрії Маньківського, - це величина, з точністю до постійного множника збігається з довжиною світової лінії даної частинки (а міркування розмірності визначать коефіцієнт):

S = - \ int mc ^ 2 d \ tau = - \ int mc \ ds =-mc ^ 2 \ int u ^ i u_i \ d \ tau = - mc ^ 2 \ int \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} \ dt ,

де m - Маса (маса спокою), τ - власний час, виміряний вздовж світової лінії частки, d s - Елемент інтервалу уздовж неї, u i - 4-швидкість, v - Тривимірна швидкість, t - Час ("координатне час", час лабораторної системи відліку).

Розклавши \ Sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} по порядків малості величини v 2 / c 2 (У випадку, коли вона досить мала, багато менше одиниці), легко отримуємо нерелятивистской дію класичної механіки:

S = - mc ^ 2 \ int \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} dt \ approx \ int (-mc ^ 2 + \ frac {mv ^ 2} {2}) dt = const \ cdot (t_2 - t_1) + \ int \ frac {mv ^ 2} {2} dt = const \ cdot (t_2 - t_1) + S_ {newtonian} ,

де перший член можна відкинути, тому що він не дає ніякого вкладу в рівняння руху (за винятком вкладу в рівняння гравітаційного поля, в яких його вплив не зникає навіть у цьому наближенні; тут же йдеться про рівняння руху самої частинки, для якої написано дію , а гравітація в ейнштейнівської сенсі не розглядається). При бажанні можна в виконану розкладанні зберегти і члени наступних порядків по v 2 / c 2 , Що дають релятивістські поправки для випадку малих швидкостей (замість того, щоб використовувати точне релятивістське дію і точні рівняння руху, якщо таке чомусь доцільно).


8. Дія в теорії гравітації

Для ньютонівської теорії тяжіння дію можна б було записати як S = {1 \ over 16 \ pi G} \ int (\ nabla \ phi) ^ 2 dxdydzdt + S_m , Де S m - Дія "матерії", як прийнято говорити в теоріях гравітації - тобто все, крім гравітації, а \ Nabla \ phi - Тривимірний градієнт гравітаційного потенціалу (що означає нескінченну швидкість поширення гравітаційної взаємодії). Ця величина явно не Лоренц-інваріантна, тому, як і вся класична механіка, може поширюватися - приблизно - на випадок повільного (в порівнянні зі швидкістю світла) руху і не дуже сильних гравітаційних полів (хоча б тому, що сильні поля, взагалі кажучи, розганятиме тіла до великих швидкостей). Є багато теорій, які тим чи іншим чином вносили поправки в цю дію з метою зробити його Лоренц-інваріантним (див. Альтернативні теорії гравітації), проте більшість з них мають зараз лише історичне значення або навпаки поки не довели науковій спільноті своїх переваг. Також деякі перспективні для опису гравітації (хоча і теж досить далекі від остаточного затвердження) теорії, такі, як, наприклад, теорія струн та її узагальнення, до того ж досить складні і охоплюють не тільки гравітацію, тому заслуговують окремого розгляду.

Тому тут обмежимося тим, що наведемо дію, відповідне основний (неквантовой) теорії гравітації сучасної фізики - загальної теорії відносності. Ця дія Ейнштейна - Гільберта:

S = {1 \ over 16 \ pi G} \ int R \ sqrt {-g} d ^ 4 x + S_m \,,

де G \, - гравітаційна стала Ньютона, R = R_ \ mu ^ \ mu \, - скалярна кривизна (скаляр Річчі) простору-часу, g = | g_ {\ mu \ nu} | \, - Визначник матриці компонентів метричного тензора, а S_m \, - Дія для негравітаціонних полів (масивних частинок, електромагнітного поля і так далі).

Варіюванням цієї дії по метриці g i j простору-часу (що грає роль гравітаційного потенціалу, тобто польових змінних в цій теорії) виходять рівняння Ейнштейна (іноді звані також рівняннями Ейнштейна - Гільберта) у вигляді:

R_ {\ mu \ nu} - {R \ over 2} g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T_ {\ mu \ nu}

(Саме таким чином їх отримав вперше в 1915 Гільберт, Ейнштейн ішов іншим шляхом).

Член рівняння, що описує джерело гравітаційного поля (права частина) виходить при цьому тому, що метрика g μν , За якою здійснюється варіювання, входить і в S_m = \ int \ mathcal L \ sqrt {-g} d ^ 4x як мінімум через множник \ Sqrt {-g} , Що входить у вираз елемента (чотиривимірного) обсягу (тут \ Mathcal L - Щільність функції Лагранжа для "речовини" - тобто всіх негравітаціонних полів, а T μν - Їх тензор енергії-імпульсу).

Дія для гравітаційного поля ОТО може бути переписано і в іншому вигляді, еквівалентному даному за винятком граничних умов (а якщо граничні чому-небудь обнуляються, то в повністю еквівалентному), і містить під інтегралом замість тензора кривизни конструкцію з \ Gamma ^ \ lambda_ {\ mu \ nu} , Яку можна інтерпретувати як квадрат напруженості гравітаційного поля - тобто у формі, аналогічній тому, як зазвичай записується дію для простіших - скалярних і векторних - полів, наприклад електромагнітного.

Доповнюючи ж написане вище дію членом \ Int \ Lambda \ sqrt {-g} d ^ 4 x , Отримуємо рівняння Ейнштейна з Λ -Членом:

R_ {\ mu \ nu} - {R \ over 2} g_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T_ {\ mu \ nu}

Цілком задовільною квантової теорії гравітації, наскільки відомо, в даний час ( 2009) не існує. Однак багато з теорій, які з більшим чи меншим підставою можуть претендувати на цю роль, дають зазвичай ефективна дія Ейнштейна - Гільберта в низькоенергетичним межі.


9. Дія і квантова механіка

9.1. Дія для ферміони полів

Для ферміони (зокрема, для спінорно) полів можна не тільки написати дію, а й отримати формально класичні рівняння для цих полів, варіюючи таку дію. Однак на відміну від бозони, ферміони поля наблюдаеми в їх класичному вигляді гірше, так як принцип Паулі забороняє більш ніж одному ферміони перебувати в одному стані, що дозволено для бозонів і дозволяє їм, перебуваючи в однаковому квантовому стані у великій кількості, спостерігатися як звичайне класичне поле, наприклад, електромагнітне. Але при цьому є теорема, яка стверджує (принаймні в рамках застосовності теорії збурень), що результат вторинного квантування для таких ферміони полів збігається з інтерпретацією таких "класичних" полів як хвильових функцій ферміонів в сенсі первинного квантування.

Таким чином, наприклад, отримане за допомогою принципу стаціонарного дії з тієї чи іншої форми запису дії для частинки зі спіном 1 / 2 рівняння Дірака має пряме відношення до квантового опису такого ферміонів (наприклад, електрона).

У рівняння Дірака є властивість, що представляє певні труднощі для отримання його з дії з квадратичним лагранжіаном (та й будь-яким іншим, якщо користуватися звичайними правилами варіювання і вважати компоненти Спінор звичайними числами). Це властивість - перший порядок похідних в рівнянні Дірака.

З положення іноді виходять, просто ввівши штучні формальні модифікації обмеження на правила варіювання або дії операторів похідних.

Більше систематичний, мабуть, підхід полягає в тому, що ферміони поля (Спінор і їхні компоненти) вважаються грассмановимі, ​​тобто антікоммутірующімі числами, що змінює знак членів з похідними першого і другого порядку в порівнянні зі звичайним, через що члени другого порядку при варіюванні знищуються, а першого залишаються.


9.2. Фейнмановськие інтеграл по траєкторіям

Фейнмановськие інтеграл по траєкторіям застосуємо до квантового опису як точкових частинок в звичайному просторі, так і полів (як розподілених систем) в конфігураційному просторі (і ця застосовність до обох випадках у принципі недивна, оскільки формальне відмінність між точкової часткою і багатовимірної, навіть безконечномірному, динамічної системою - лише в розмірності конфігураційного простору, що в цілому добре зрозуміло вже в рамках класичної механіки).

Якщо дія S [x] (по суті, збігається із звичайним класичним дією, принаймні для систем, опис яких не настільки екзотично, щоб ускладнювати таке слововживання) відомо, тобто його можна написати для звичайної класичної траєкторії x (τ) в "звичайному" або конфігураційному просторі ( τ може бути часом або просто змінної при параметричному завданні в чотиривимірний записи), то квантова хвильова функція такої системи c точковим джерелом в просторово-часової точці x 1 [3] може бути записана у вигляді функціонального інтеграла

\ Psi (x_2, x_1) = \ int Dx e ^ {iS [x] / \ hbar} ,

де x - траєкторія, що починається в x 1 і кінчається в x 2 , Інтеграл означає підсумовування по всіх мислимих таким траєкторіях, для кожної з яких дія S [x] має своє значення. Причому в релятивістському випадку серед траєкторій є і траєкторії з ділянками зворотного руху в часі, які можуть бути інтерпретовані як траєкторії віртуальної античастинки в часі вперед, а точки повороту - як віртуальне народження і знищення пар частка-античастинка.

У квантовій теорії поля застосовується інтегрування як по траєкторіях частинок в звичайному просторі (точніше, в просторі-часі), яке зазвичай називають у цьому випадку первинним квантуванням, так і по траєкторіях в просторі польових змінних, що називається вторинним квантуванням. Той і інший спосіб, наскільки відомо, дає еквівалентні результати в рамках теорії збурень.

Фейнмановськие інтеграл по траєкторіям - один з найбільш популярних у сучасних фізиків-теоретиків способів квантування (побудови квантової теорії). Одночасно це один з найбільш прямих способів зіставлення квантової картини з класичною, що є одним із серйозних його психологічних переваг, тому що кожна траєкторія в ньому в принципі сприймається як класична, а дія обчислюється в точності за класичним рецептом, що в ряді випадків і аспектів робить теорію помітно більш доступній для огляду і легко розуміється, ніж інші підходи. У числі іншого це властивість зручно для здійснення граничного переходу до класики (див. нижче), і перехід до неї виходячи з інтеграла по траєкторіях є в цьому сенсі одним з найбільш стандартних шляхів у сучасній фізиці. Те ж відноситься і до достатнього зручності отримання таким шляхом квазікласичному наближення (також див нижче).

У ряді випадків (вельми обмеженому - коли дія квадратично за координатами або польовим змінним і їх похідних, і інтеграл зводиться до багатомірного гауссову з граничним переходом до безконечномірному випадку) Фейнмановськие інтеграл по траєкторіям може бути обчислений явно і точно. Практикується його розрахунок чисельними методами. У багатьох випадках цей інтеграл корисний в різних перетвореннях та інших теоретичних розрахунках.

Неважко встановити еквівалентність підходу інтегрування за траєкторіями рівнянню Шредінгера, принаймні при тривіальної топологічної ситуації.

Для вільних (не взаємодіють один з одним) полів на порожньому плоскому просторі інтегрування за траєкторіями дозволяє часто отримати в явному вигляді пропагатор, який виявляється збігається з пропагатор, що одержуються з диференціального рівняння для відповідного поля (наприклад, з хвильового рівняння для безмассового скалярного поля). При цьому виявляється, що для взаємодіючих полів інтеграл по траєкторіям є, мабуть, найбільш природним (і популярним серед сучасних теоретиків) способом обгрунтування техніки діаграм Фейнмана. Справа в тому, що інтеграл по траєкторіям для системи взаємодіючих частинок (полів) легко розбивається на частини, де взаємодії немає (а результат, як ми говорили трохи вище, для цього випадку відомий - це пропагатор, відповідний поведінки вільного поля, який може бути досить легко обчислений будь-яким способом), доповнені точковим взаємодією, яка вже зводиться до звичайного скiнченновимiр-інтегруванню - відповідно до правилами Фейнмана.

Однак квантування за допомогою інтеграла по траєкторіях не обмежена теорією збурень (діаграмами Фейнмана). Цей спосіб знаходить і більше нетривіальні застосування, як в теоретичній фізиці, так і в деяких областях чистої математики. [4] [5] [6]


9.3. Дія і граничний перехід до класики

9.3.1. Просте обговорення

9.3.2. Рівняння Шредінгера і рівняння Гамільтона-Якобі

9.3.3. Перехід до принципу стаціонарного дії від Фейнмановськие інтеграла по траєкторіях

9.4. Квазіклассіка

10. Дія в квантовій теорії поля

11. Дія в нових теоріях

Примітки

  1. Доповідь на засіданні Німецького фізичного товариства 23 березня 1906р. Verh. d. Deutsch. Phys., B.4, s.136. - Переклад з німецької - див "Принцип відносності. Збірка робіт з спеціальної теорії відносності", Москва, Атомиздат, 1973, - стор 163.
  2. В. Паулі 31. Інваріантний принцип дії в електродинаміки / / Теорія відносності / Под ред. В. Л. Гінзбурга і В. П. Фролова. - 3-е, испр .. - М .: Наука, 1991. - С. 125-127. - 328 с.
  3. По суті в такому формулюванні йдеться про пропагатор ( функції Гріна).
  4. Witten E. Quantum field theory and the Jones polynomial. - Commun. Math. Phys., 1989. - В. 3. - Т. 121. - С. 351-399. - DOI : 10.1007/BF01217730 - dx.doi.org/10.1007/BF01217730
  5. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem. - Commun. Math. Phys., 1983. - В. 2. - Т. 90. - С. 161-173. - DOI : 10.1007/BF01205500 - dx.doi.org/10.1007/BF01205500
  6. Kontsevich, M. Deformation Quantization Of Poisson manifolds - arxiv.org/abs/q-alg/9709040. - Letters in Math. Phys., 2003. - В. 3. - Т. 66. - С. 157-216. - DOI : 10.1023 / B: MATH.0000027508.00421.bf - dx.doi.org/10.1023/B: MATH.0000027508.00421.bf

13. Література, посилання



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Фізична величина
Сила (фізична величина)
Дія
Соціальна дія
Дія групи
Революційна дія
Тератогенна дія
Пряма дія (Франція)
Пряма дія (теорія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru